機械行業(yè)工程管理控制基礎(DOC 109頁).doc

1、機械工程控制基礎（修訂本）陳康寧（主編）西安交通大學出版社，1997年11月第1版習題解答山東理工大學機械工程學院機電工程系2009年第1章 緒 論復習思考題1. 控制論的中心思想是什么？解答：它抓住一切通訊和控制系統(tǒng)所共有的特點，站在一個更概括的理論高度揭示了它們的共同本質，即通過信息的傳遞、加工處理和反饋來進行控制，這就是控制論的中心思想。2. 機械工程控制論的研究對象及任務是什么?解答：機械工程控制論實質上是研究機械工程中廣義系統(tǒng)的動力學問題。具體地說，它研究的是機械工程技術中的廣義系統(tǒng)在一定的外界條件（即輸入或激勵，包括外加控制與外加干擾）作用下，從系統(tǒng)的一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經歷的由

2、其內部的固有特性（即由系統(tǒng)的結構與參數(shù)所決定的特性）所決定的整個動態(tài)歷程：研究這一系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動態(tài)關系。從系統(tǒng)、輸入、輸出三者之間的關系出發(fā)，根據(jù)已知條件與求解問題的不同，機械工程控制論的任務可以分為以下五方面（1）已知系統(tǒng)和輸入求系統(tǒng)的輸出（響應），并通過輸出來研究系統(tǒng)本身的有關問題，即系統(tǒng)分析問題；（2）己知系統(tǒng)和系統(tǒng)的理想輸出，設計輸入，使輸出盡可能符合給定的最佳要求，即最優(yōu)控制問題；（3）已知輸入和理想輸出，設計系統(tǒng)，使得輸出盡可能符合給定的最佳要求，即最優(yōu)設計問題；（4）系統(tǒng)的輸入和輸出已知，求系統(tǒng)的結構與參數(shù)，即建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，即系統(tǒng)辨識問題；（5）系統(tǒng)和輸出已

3、知，識別輸入或輸入中的有關信息，此即濾波與預測問題。3. 什么是信息及信息的傳遞？試舉例說明。解答：信息：一切能表達一定含義的信號、密碼、情報和消息。信息傳遞：是指信息在系統(tǒng)及過程中以某種關系動態(tài)地傳遞，或稱轉換。如圖題1-1所示機床加工工藝系統(tǒng)，將工件尺寸作為信息，通過工藝過程的轉換，加工前后工件尺寸分布有所變化，這樣，研究機床加工精度問題，可通過運用信息處理的理論和方法來進行。圖題11 工藝過程中信息的傳遞工藝過程毛坯尺寸工件尺寸x0nn0y4. 么是反饋及反饋控制？試舉例說明。解答：反饋：所謂信息的反饋，就是把一個系統(tǒng)的輸出信號不斷直接地或經過中間變換后全部或部分地返回，再輸入到系統(tǒng)中去

4、。如果反饋回去的訊號（或作用）與原系統(tǒng)的輸入訊號（或作用）的方向相反，則稱之為“負反饋”；反饋回去的信號（或作用）與系統(tǒng)的輸入信號（或作用）的方向相同，則稱之為“正反饋”。舉例1：圖題1-2是一個薄膜反饋式徑向靜壓軸承。圖題1-2(a)是其結構示意圖，圖題1-2(b)是其方框圖。當主軸受到負荷W后，產生偏移e，因而使軸承下油腔壓力p2增加，軸承上油腔壓力p1減小，這樣，與之相通的薄膜反饋機構的下油腔壓力亦隨之增加，上油腔壓力則減小，從而使薄膜向上產生凸起變形，因此薄膜下半部高壓油輸入軸承的通道擴大，液阻下降，從而使軸承下部壓力上升。而基于與此相反的理由，軸承上半部壓力減小，于是軸承下半部油腔產

5、生反作用力，與負荷相平衡，以減少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即達到“無窮大”的支承剛度。圖題 11 靜壓軸承薄膜反饋控制系統(tǒng)舉例2：以數(shù)控機床工作臺的驅動系統(tǒng)為例。開環(huán)控制：一種簡單的控制方案是根據(jù)控制裝置發(fā)出的一定頻率和數(shù)量的指令脈沖驅動步進電機，以控制工作臺或刀架的移動量，而對工作臺或刀架的實際移動量不作檢測，其工作原理如圖1-5(a)所示。這種控制方式簡單，但問題是從驅動電路到工作臺這整個“傳遞鏈”中的任一環(huán)的誤差均會影響工作臺的移動精度或定位精度。閉環(huán)控制：為了提高控制精度，采用圖1-1(b)所示的反饋控制，以檢測裝置隨時測定工作臺的實際位置(即其輸出信息)；然后反饋送回輸入端，與

6、控制指令比較，再根據(jù)工作臺實際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動作，達到消除誤差的目的。圖題12 兩種控制方式5. 日常生活中有許多閉環(huán)和開環(huán)控制系統(tǒng)，試舉例說明。解答：普通電風扇、普通洗衣機、全自動洗衣機在順序控制模式下、電動攪拌機等均屬開環(huán)控制。電冰箱、電飯鍋、空調等均屬閉環(huán)控制。第2章 拉普拉斯變換的數(shù)學方法復習思考題1. 拉氏變換的定義是什么？解：有時間函數(shù)f(t)，t0，則f(t)的拉氏變換記作：Lf(t)或F(s)，并定義為s為復數(shù)，。稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。若式(2-1)的積分收斂于一確定的函數(shù)值，則f(t)的拉氏變換F(S)存在，這時f(t)必須滿足：在任一有限

7、區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點，如圖2-f1的ab區(qū)間。當t時，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足f(t)Meat式中M、a均為實常數(shù)。這一條件是使拉氏變換的被積函數(shù)f(t)est絕對收斂，由下式看出因為所以只要是在復平面上對于Re(s)a的所有復數(shù)s，都能使式(2-1)的積分絕對收斂，則Re(s)a為拉氏變換的定義域，a稱作收斂坐標，見圖2-f2。圖2f1 在a，b上分段連續(xù)0f(t)tba圖2f2 拉氏變換定義域a0Im(s)Re(s)定義域2. (t)，1(t)，t，sint，cost，eat，tn的拉氏變換是什么？解：3. 拉氏變換的線性性質、微分定理、積分定理、

8、時域的位移定理、復域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么？如何應用？解答：（1）線性性質：若有常數(shù)K1，K2，函數(shù)f1(t)，f2(t)，且Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，則（2）微分定理：若f(t)的拉氏變換為F(s)，則f(0)為t=0時的f(t)值。此定理需考慮在t0處是否有斷點。如果在t0處有斷點，f(0)f(0)，則該定理需修改成f(0)為由正向使t0時的f(t)值；f(0)為由負向使t0時的f(t)值；進而可推出f(t)的各階導數(shù)的拉氏變換：式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i階導數(shù)在t=0時的取值。如果在t0處有斷點，f(0)f(0)，則該定

9、理需修改成式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i階導數(shù)在t從正向趨近于零時的取值。f (i)(0)（0in）表示f(t)的i階導數(shù)在t從負向趨近于零時的取值當初始條件均為零時，即則有（3）積分定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，則是對不定積分的拉普拉斯變換。式中，是在t = 0時的值。如果f(t)在t0處包含一個脈沖函數(shù)，則，此時，必須將上述定理修正如下：式中，是在t = 0時的值；，是在t = 0時的值。對于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級的，則上述定理修改如下：如果f(t)在t0處包含一個脈沖函數(shù)，則，此時依此類推如果，該定理也要修正成（4）時域的位移定理若f(t)的拉氏

10、變換為F(s)，對任一正實數(shù)a，有f(ta)為延遲時間a的函數(shù)f(t)，當ta時，f(t)0。（5）復域位移定理f(t)的拉氏變換為F(s)。對任一常數(shù)a（實數(shù)或復數(shù)），有（6）初值定理若函數(shù)f(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的初值為即原函數(shù)f(t)在自變量t趨于零（從正向趨于零）時的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)的自變量s趨于無窮大時sF(s)的極限值。（7）終值定理若函數(shù)f(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點處唯一的極點外，sF(s)在包含j軸的右半s平面內是解析的（這意味著當t時f(t)趨于一個確定的值），則函數(shù)f(t)的的終值為（8）卷積定理若，則有式中，

11、積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。4. 用部分分式法求拉氏反變換的方法。解答：（1）F(s)無重極點的情況F(s)總是能展開為下面簡單的部分分式之和：式中K1、K2、Kn為待定系數(shù)（系數(shù)Ki為常數(shù)，稱作極點spi上的留數(shù)）。式中pi為A(s)0的根，。求得各系數(shù)后，則F(s)可用部分分式表示因從而可求得F(s)的原函數(shù)為當F(s)的某極點等于零，或為共軛復數(shù)時，同樣可用上述方法。注意，由于f(t)是個實函數(shù)。若p1和p2是一對共軛復數(shù)極點，那么相應的系數(shù)K1和K2也是共軛復數(shù)，只要求出K1或K2中的一個值，另一值即可得。（2）F(s)有重極點的情況假設F(s)有r個重極點p1，其余極點均不相

12、同，則式中K11、K12、K1r的求法如下：其余系數(shù)Kr1、K r2、Kn的求法與第一種情況所述的方法相同，即求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)(s)的反變換為5. 用拉氏變換求解微分方程的步驟。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。習 題2-1 試求下列函數(shù)的拉氏變換，假設當t0時f(t)0。（1）（2）（3） （用和角公式展開）（4）（1）解：利用拉氏變化的線性疊加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏變換結果和復數(shù)域位移定理解法2：直接按定義并與cost的拉氏變換進行比較解法3：直接按定義求解解法4

13、：直接套用教材表2-1中第14項結果（3）（用和角公式展開）解法1：利用和角公式展開，然后利用拉氏變換的線性疊加性所以解法2：直接利用定義求解，令，則有（1）而（2）（3）將（3）式和（2）式代入（1）得【注】本題不可直接利用延時定理，因為函數(shù)不是延時函數(shù)，如果使用了延時定理，則將改變定義域。（4）解法1：，利用復域平移特性得解法2： 利用復域微分特性得解法3：直接按定義并與tn的拉氏變換進行比較解法4：直接按定義求解得到遞推關系如下：所以解法5：直接套用教材表2-1中第9項結果2-2 求下列函數(shù)的拉氏變換。（1）（2）（3）（4）（1）解：設t0時，f(t)0利用拉氏變換的線性特性（2）解：

14、利用拉氏變換的性質：線性性質，復域平移特性（3）解：設t0時，f(t)0。利用拉氏變換線性特性、延時特性和復域平移特性【注】本題不可對第二項(t1)2e2t采用如下方法：因為，利用時域位移定理得，再利用復域平移定理得。這樣計算的結果是錯誤的，原因在于：在利用時域位移定理時，將(t1)2的定義域變成了，而原題中(t1)2的定義域為。換句話說，這里(t1)2并不是t2的延時函數(shù)。（4）解法1：，如圖2-2所示。所以 2 3 4 56-1-0.500.51tf(t)圖題2-2sin(t)sin(t)1(t)解法2：直接按定義求解。2-3 已知（1） 利用終值定理，t時的f(t)值。（2） 通過取F(

15、s)的拉氏反變換，求t時的f(t)值。解：（1）（2）根據(jù)部分分式法得所以所以所以，與（1）中計算結果相同。【注】本題求拉氏反變換時，可以利用教材表2-1中的第10項。2-4 已知（1） 利用初值定理，求f(0)和f (0)的值。（2） 通過取F(s)的拉氏反變換，求f(t)，再求f (t)，然后求f(0)和f (0)。解：（1）根據(jù)拉氏變換的微分特性得知f (t)的拉氏變換為則再次利用初值定理得（2）則結果與（1）中計算的一致。2-5 求圖題25所示的各種波形所表示的函數(shù)的拉氏變換。圖題25解：（a）解法1：設，則（見圖2-5-1(a)）由此得解法2：令根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利

16、用拉氏變換定義則（b）解法1：設，則由圖2-5-1(b)可知所以解法2：令根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義則（c）解法1：利用拉氏變換的積分特性。由圖可見根據(jù)拉氏變換的積分特性得圖題5-2-1f1(t)f1(t2)101(t2)f1(t)f1(t1)21(t3)f1(t3)1(t1)2-6 試求下列象函數(shù)的拉氏反變換（1）解法1：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式因為兩個極點共軛，所以K2與K1共軛，即即所以解法2：查表法利用拉氏變換對照表查得（2）解法1：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式令即所以根據(jù)拉氏變換線性特性得解法2：利用拉氏變換復域平移定理及線性

17、性質得（3）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即所以（4）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即（5）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即則（6）解：利用拉氏變換的實數(shù)域位移定理（延時定理）得（7）解：將F(s)展開成部分分式即所以2-7 求下列卷積（1） 1*1解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換得（2） t*t解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換得（3） t*et解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換（可查表）得（4） t*sint解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換得2

18、-8 用拉氏變換的方法解下列微分方程（1）解：對微分方程等號兩邊同時求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對X(s)求拉普拉斯逆變換得到（2）解：對微分方程等號兩邊同時求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對X(s)求拉普拉斯逆變換（查表）得到第3章 系統(tǒng)的數(shù)學模型復習思考題1. 什么是數(shù)學模型？解答：數(shù)學模型是系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學表達式。數(shù)學模型有多種形式，如微分方程、傳遞函數(shù)、單位脈沖響應函數(shù)、頻率響應函數(shù)及狀態(tài)空間表達式等等。2. 線性系統(tǒng)的特點是什么？解答：凡是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)有很多特點，其中最重要的特點就是它滿足疊加原理。所謂疊加原理是，系統(tǒng)在幾

19、個外加作用下所產生的響應，等于各個外加作用單獨作用的響應之和。3. 傳遞函數(shù)的定義和特點是什么？解答：定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的Laplace變換與引起該輸出的輸入量的Laplace變換之比。傳遞函數(shù)具有以下特點（1）傳遞函數(shù)的分母反映了由系統(tǒng)的結構與參數(shù)所決定的系統(tǒng)的固有特性，而其分子則反映了系統(tǒng)與外界之間的聯(lián)系。（2）當系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時，對于給定的輸入，系統(tǒng)輸出的Laplace變換完全取決于其傳遞函數(shù)。但是，一旦系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，則傳遞函數(shù)不能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)歷程。（3）傳遞函數(shù)分子中s的階次不會大于分母中s的階次。（4）傳遞函數(shù)有無量綱和取何種量綱，取決于系統(tǒng)輸出的量綱與

20、輸入的量綱。（5）不同用途、不同物理元件組成的不同類型系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同形式的傳遞函數(shù)。（6）傳遞函數(shù)非常適用于對單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性進行描述。但對于多輸入、多輸出系統(tǒng)，需要對不同的輸入量和輸出量分別求傳遞函數(shù)。另外，系統(tǒng)傳遞函數(shù)只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量的數(shù)學關系（描述系統(tǒng)的外部特性），而未表示系統(tǒng)中間變量之間的關系（描述系統(tǒng)的內部特性）。4. 傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)有哪些？它們的表達式是什么？5. 如何計算串聯(lián)、并聯(lián)及反饋聯(lián)結所構成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？6. 方塊圖的簡化法則主要有哪些？如何應用這些法則進行簡化并計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？7. 如何推導一些簡單機電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？

21、8. 信號流圖的概念及梅遜公式的應用。9. 狀態(tài)空間基本概念。10. 如何從高階微分方程推出狀態(tài)方程？如何由傳遞函數(shù)推出狀態(tài)方程？習 題3-1 列出圖題31所示各種機械系統(tǒng)的運動微分方程式(圖中未注明x(t)均為輸入位移，y(t)為輸出位移)。圖題31解：（a）對y(t)點利用牛頓第二定律得即（b）對m利用牛頓第二定律得整理得（c）對y(t)點利用牛頓第二定律得整理得（d）對圖(d)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有其中（e）對m利用牛頓第二定律得整理得3-2 列出圖題32所示系統(tǒng)的運動微分方程式，并求輸入軸上的等效轉動慣量J和等效阻尼系數(shù)B。圖中T1、1為輸入轉矩及轉角，TL為輸出轉矩。圖題32解：對J

22、1列寫平衡方程得（1）（2）（3）（4）式中T2為J1的輸出轉矩，T3為J2的輸入轉矩，2為J2的轉角。將（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再將求得的T2代入（1）式得輸入軸上的等效轉動慣量J為輸入軸上的等效阻尼系數(shù)B為3-3 求圖題33所示各電氣網絡輸入和輸出量間關系的微分方程式，圖中ui為輸入電壓，uo為輸出電壓。圖題33解：（a）方法1：設流過LC回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2）對（2）式求導得 （3）（3）式代入（1）得方法2：設流過LC回路的電流為iL，利用基爾霍夫電流定律得iL=iC即對上式求導，并整理得（b）方法1：設流過L的電流為i，利用基爾霍夫電壓

23、定律得消除中間變量i（過程同(a)）得方法2：設流過L的電流為i，流過C1、C2的電流分別為i1和i2，利用基爾霍夫電流定律得i = i1 + i2即對上式求導，并整理得（c）方法1：設流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2） （3）由（1）得 （4）（4）代入（2）并后求導得 （5）（5）、（4）代入（3）后，求導，再整理得方法2：設流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，流過R2、C2的電流為i，電阻C2上的電壓為uC2，利用基爾霍夫電流定律得i = i1 + i2即（1） （2）由式（2）得 （3）將式（3）及其一階導數(shù)代入（2），并整理得（

24、d）解法1：設流過回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2）（1）C1（2）C2得 （3）對（2）求導得 （4）（3）代入（4）并整理得或解法2：利用基爾霍夫電流定律，過程略。3-4 列出圖題34所示機械系統(tǒng)的作用力f(t)與位移x(t)之間關系的微分方程。abx(t)f(t)圖題34kBm圖題35解：設杠桿轉角為，對m使用牛頓第二定律得整理得3-5 如圖題35所示的系統(tǒng)，當外力f(t)作用于系統(tǒng)時，m1和m2有不同的位移輸出x1(t)和x2(t)，試求f(t)與x2(t)的關系，列出微分方程式。解：對m1使用牛頓第二定律得（1）對m2使用牛頓第二定律得（2）由公式（2）得（3）對

25、（1）式等號兩邊同時求微分一次得（4）將（3）式表示的及其二、三階導數(shù)代入（4）并整理得到3-6 求圖題36所示的各機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。x3(t)圖題36(a)、(b)中：f(t)輸入，x(t)輸出(c)、(d)中：x1(t)輸入，x2(t)輸出解：（a）對m利用牛頓第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(xiàn)(s)=Lf(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）對m利用牛頓第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(xiàn)(s)=Lf(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為x3(t)式中：， rads-1，（c）引入中

26、間變量x3(t)，分別對x2(t)點和x3(t)點利用牛頓第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X3(s)=Lx3(t)，在初始條件為0的條件下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得（1）（2）由（1）式得代入（2）式并整理得此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，（d）對x2(t)點利用牛頓第二定律得即令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，3-7 圖題37所示f(t)為輸入力，系統(tǒng)的彈簧剛度為k，軸的轉動慣量為J，阻尼系數(shù)為B，系統(tǒng)的輸出為軸的轉角(t)，軸的半徑為r。求系統(tǒng)的傳遞

27、函數(shù)。解：利用相應力學定律得即令F(s)=Lf(t)，(s)=L(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得所以傳遞函數(shù)為3-8 證明圖題38(a)和(b)所示的系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。圖題37圖題38x證明：（a）在3-3題中已經得到圖題3-8（a）所示電路的微分方程為令Ui(s)=Lui(t)，Uo(s)=Luo(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得其傳遞函數(shù)為（b）引入中間變量x，分別對x和x2利用牛頓第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X(s)=Lx(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得消去X(s)得

28、（a）和（b）具有相似的傳遞函數(shù)，故這兩個系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。比較兩式可知，兩者參數(shù)相似關系為或【注】若兩個系統(tǒng)的數(shù)學模型（如微分方程、傳遞函數(shù)等）具有相同的形式，則稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)數(shù)學模型中占據(jù)相同位置的物理量，稱為相似量。3-9 若某系統(tǒng)在階躍輸入x(t)1(t)作用時，系統(tǒng)的輸出響應為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應函數(shù)。解：(1)求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。因為y(0)=1-1+10，所以，題中所給的單位階躍響應為非0初始條件下的響應，因此，不能直接利用y(t)的拉氏變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法1：由響應可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響

29、應為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應有2項指數(shù)衰減項，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個極點，分別為2和1，即系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，而且因為穩(wěn)態(tài)響應為1，故可知系統(tǒng)微分方程的特解為1，由此可知，系統(tǒng)微分方程中不存在輸入的微分項，所以，系統(tǒng)的微分方程形式為在考慮初始條件的情況下，對上式做拉氏變換得即亦即 （1）（1）式中第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換。由單位階躍響應得將上述結果及X(s)=1/s代入(1)式得單位階躍響應的拉氏變換 （2）對題中給定的單位階躍響應求拉氏變換得 （3）因為（2）和（3）式相等，所以（3）式分母與（2）式公分母比較得代入（2）式得 （4）因為（1）式中第一項即

30、為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換，所以（4）式中的第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換，即：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為方法2：由題中單位階躍響應可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應有2項，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個極點，分別為2和1，故系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應（對線性因果系統(tǒng)就是零狀態(tài)響應）應該具有如下形式：因為初始條件為0，所以有聯(lián)立上兩式解得A = 1，B = 2所以，系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應為其拉氏變換為已知輸入信號為單位階躍信號，其拉氏變換為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2）求單位脈沖響應由傳遞函數(shù)的定義可知而所以所以這樣求得響應為零初始條件下的

31、響應（零狀態(tài)響應）。3-10 運用方塊圖簡化法則，求圖題310各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。R(s)C(s)(a)R(s)C(s)(b)圖題310解：（a）簡化過程如圖題解3-10（a）所示，傳遞函數(shù)為（b）簡化過程如圖題解3-10（b）所示，傳遞函數(shù)為圖題解3-10（a） 圖題3-10（a）的簡化過程R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)相加點前移分支點后移消去兩個反饋回路消去反饋回路（b）圖題解3-10（b） 圖題3-10（b）的簡化過程分支點前移消去反饋回路和并聯(lián)回路消去反饋回路消去反饋回路R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(

32、s)C(s)圖題3113-11 畫出圖題311所示系統(tǒng)的方塊圖，并寫出其傳遞函數(shù)。解：分別對質量m和x1(t)利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的情況下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得上兩式的方塊圖分別如圖題解3-11（a）、（b）所示。圖題解3-11（a）（b）X(s)X1(s)F(s)F(s)X1(s)X (s)（c）X(s)（d）X(s)F(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3-11（c）所示，化簡得方塊圖（d）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖題312x1(t)k1Bm2m1k2x(t)f(t)說明本題也可以先求出兩個串聯(lián)彈簧的等效剛度，然后用一個方程即可求出傳遞函數(shù)。3

33、-12 畫出圖題312所示系統(tǒng)的方塊圖，該系統(tǒng)在開始時處于靜止狀態(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力f(t)，輸出為位移x(t)，并寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：設m1的位移為x1(t)，如圖題3-12所示。分別對質量m1和m2利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的條件下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得即上兩式的方塊圖分別如圖題解3-12（a）、（b）所示。圖題解3-12（a）（b）F(s)X1(s)X (s)X(s)X1(s)（c）F(s)X(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3-12（c）所示，化簡一次得方塊圖（d）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3-13 求圖題313所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖題313

34、解：利用梅遜公式（）前向通路只有一條，該前向通路的傳遞函數(shù)為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式為因為兩個回路都與唯一的前向通路相接觸，故從中去掉兩個回路的傳遞函數(shù)即可得到前向通路的特征式的余因子11=1將上述結果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）前向通路有兩條，這兩條前向通路的傳遞函數(shù)分別為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式為因為兩個回路都與兩個前向通路相接觸，故從中去掉兩個回路的傳遞函數(shù)即可得到兩個前向通路的特征式的余因子1=12=1將上述結果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3

35、-14 圖題314所示為發(fā)動機速度控制系統(tǒng)的方塊圖。發(fā)動機速度由轉速測量裝置進行測量。試畫出該系統(tǒng)的信號流圖。圖題314參考速度轉速測量裝置液壓伺服機構負載干擾發(fā)動機實際速度解：其信號流圖如圖題解3-14所示。圖題解3-14N(s)R(s)C(s)1113-15 對傳遞函數(shù)試推導對應的狀態(tài)方程表達式。解法1：（套公式笨辦法）。與教材式（3-121）比較得到代入教材式（3-130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。解法2：（參考現(xiàn)代控制工程Modern Control Engineering美Katsuhiko Ogata緒方勝彥著盧伯英，于海勛等譯北京：電子工業(yè)出版社，2000年5月第3版

36、）令式中，0，1由下式確定代入上式得而所以狀態(tài)空間表達式為【注】結果與解法1不同，這是因為狀態(tài)空間表達式不是唯一的（取決于所選取的狀態(tài)變量，可能有無窮多個）。解法3：利用拉氏反變換即令則對上面三式做拉氏反變換得所以狀態(tài)方程為輸出方程為3-16 圖題316所示系統(tǒng)，以圖中所標記的x1、x2、x3為狀態(tài)變量，推導其狀態(tài)空間表達式。u、y分別為輸入、輸出，1、2、3是標量。圖題316解：由圖可知所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為3-17 設系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：這是一個三階系統(tǒng)，輸入變量為u，輸出變量為y。選取3個狀態(tài)變量x1，x2，x3，它們分別為代入原微分方程中得故系統(tǒng)的狀態(tài)方程

37、和輸出方程為（合稱狀態(tài)空間表達式）輸出方程為3-18 給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試寫出它的狀態(tài)空間表達式。解：（套公式）。與教材式（3-121）比較得到代入教材式（3-130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。第4章 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析復習思考題1. 時間響應由哪兩部分組成，它們的含義是什么？解答：時間響應是指系統(tǒng)的響應（輸出）在時域上的表現(xiàn)形式，或系統(tǒng)的動力學方程在一定初始條件下的時域解?；蛘哒f系統(tǒng)在輸入信號激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關系。按分類的原則不同，時間響應有不同的分類方法。按響應的來源分：零狀態(tài)響應，即初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的輸入引起的響應；零輸入響應，即系統(tǒng)的輸入為零時，

38、由初始狀態(tài)引起的響應。按響應的性質分為強迫響應項和自由響應項。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其時間響應又可分為瞬態(tài)響應項和穩(wěn)態(tài)響應項。2. 脈沖響應函數(shù)的定義及如何利用脈沖響應函數(shù)來求系統(tǒng)對任意時間函數(shù)輸入時的輸出時間響應？解答：當一個系統(tǒng)受到一個單位脈沖激勵(輸入)時，它所產生的反應或響應(輸出定義為脈沖響應函數(shù)。系統(tǒng)對任意時間函數(shù)輸入時的輸出時間響應：式中g(t)為脈沖響應函數(shù)。0.2210g(t)t圖4-1fs 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線T 0.5T 1T 53. 一階系統(tǒng)的脈沖響應、階躍響應的定義及其曲線形狀。解答：一階系統(tǒng)的脈沖響應：一階系統(tǒng)對脈沖函數(shù)的響應。曲線形狀如圖4-1fs所示。一階系統(tǒng)的

39、階躍響應：一階系統(tǒng)對階躍函數(shù)的響應。曲線形狀如圖4-2fs所示。圖42fs一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線4. 如何描述二階系統(tǒng)的階躍響應及其時域性能指標。5. 試分析二階系統(tǒng)n和對系統(tǒng)性能的影響。6. 試分析二階系統(tǒng)特征根的位置及階躍響應曲線之間的關系。7. 誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的定義以及與系統(tǒng)哪些因素有關。8. 如何計算干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。習 題4-1 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個系統(tǒng)的單位階躍響應。解法1：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）所以系統(tǒng)的單位階躍響應的拉氏變換為利用部分分式法計算得到，所以對上式做拉普拉氏反變換得到單位階躍響應為解法2：利用教材上的結論系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假

40、定為負反饋）上式等號兩邊比較得，解得： rads-1（負根舍掉），這是一個過阻尼二階震蕩系統(tǒng)，有兩個不相等的負實數(shù)極點：，所以，該單位階躍響應為式中：，代入上式得階躍響應為4-2 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、最大超調量和調整時間。解法1：直接套用教材上的結論。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）等號兩邊比較得n=1 rads-1（負根舍掉），=0.5。這是一個欠阻尼二階震蕩系統(tǒng)，所以上升時間：峰值時間：最大超調量：調整時間（用近似公式）：調整時間的較準確值（用Matlab按準確的理論響應曲線測量的結果）：解法2：直接按指標定義求解。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定

41、為負反饋）等號兩邊比較得n=1 rads-1（負根舍掉），=0.5。這是一個欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應為然后按著指標的定義求解（參見教材中的求解過程）。4-3 設有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為為了使系統(tǒng)對階躍輸入的響應，有約5%的超調量和2s的調整時間，試求和n的值應等于多大。解：設允許的誤差范圍為%，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，則根據(jù)題意得到 (1) (2)由（1）式解得（舍掉負根0.69）0.69將%=5%和0.69代入（2）式解得n2.405 rads-1將%=2%和0.69代入（2）式解得n3.069 rads-14-4 圖題44所示系統(tǒng)，當輸入r(t) 10t和r(t) 4 6t 3t2時，求系

42、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題44解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10/4=2.5。復域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結論。這是一個1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為當r(t) 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導。當r(t) 10t時，R(s) 10/s2，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）解法1：利用教材的結論。這是一個1型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為Kp=，Kv=K=2.5，Ka=0根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2響應的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導。當r(t) 4 6t 3t2時，代入上述誤差的拉

43、氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為4-5 設題44中的前向傳遞函數(shù)變?yōu)檩斎敕謩e為r(t) 10t，r(t) 4 6t 3t2和r(t) 4 6t 3t2 1.8t3時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益為K=10/1=10。復域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結論。這是一個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=10，所以其單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為當r(t) 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導。當r(t) 10t時，R(s) 10/s2，代入上述誤差公式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）當r(t) 4 6t 3t2時利用上述方法可分別求得系統(tǒng)對單

44、位階躍信號1(t)、單位斜坡信號（t）和加速度信號（t2）的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2響應的穩(wěn)態(tài)誤差為（3）當r(t) 4 6t 3t2 1.8t3時系統(tǒng)對信號t3的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2 1.8t3響應的穩(wěn)態(tài)誤差為【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（因為有一對共軛極點的實部大于0。特征方程的根=閉環(huán)傳遞函數(shù)極點：-1.4857，0.2069j0.7974），所以上述計算結果毫無意義。若將系統(tǒng)改成，則系統(tǒng)穩(wěn)定。4-6 圖題46為由穿孔紙帶輸入的數(shù)控機床的位置控制系統(tǒng)方塊圖，試求圖題46（1）系統(tǒng)的無阻尼自然

45、頻率n和阻尼比。（2）單位階躍輸入下的超調量Mp和上升時間tr。（3）單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。（4）單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（1）由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，這是一個二階震蕩系統(tǒng)（2）最大超調量：上升時間：（3）當r(t) 1(t)時，R(s) 1/s，復域系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位階躍輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為也可以利用教材上的結論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位階躍輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。（4）當r(t) t時，R(s) 1/s2，復域的系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為也可

46、以利用教材上的結論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為ess=1/K=1/9）。4-7 求圖題47所示帶有速度控制的控制系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n，阻尼比及最大超調量Mp（取K 1500，d 0.01(s)）。圖題47解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為等號兩邊比較得 rads-1當輸入為單位階躍信號時，R(s)=1/s，所以利用部分分式法計算得到K3=1對C(s)進行拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應為將K1、K2、K3代入上式中，并整理得令解得第一個峰值時間為將tp代入c(t)中可得到最大超調量為將n和代入上式求得4-8 求圖題48所示系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka，

47、當輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差等于多少？圖題48解：這是一個1型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10。靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)當輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差為或者【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（可以用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別）（閉環(huán)傳遞函數(shù)的三個極點為：-7.4572，0.2286j3.6548），所以上述計算結果毫無意義。4-9 控制系統(tǒng)的結構如題49所示。（1）試求在單位階躍輸入信號1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）試求外部擾動N1(s)和N2(s)分別單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（3）假設R(s) 0，N2(s) 0，和，試求出外部擾動N1(s)為單位階躍函數(shù)時系

48、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題49圖解：（1）由圖可知求得復域的系統(tǒng)誤差為則在單位階躍輸入信號1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）外部擾動N1(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差外部擾動N2(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（3）4-10 已知系統(tǒng)如圖題410所示。在輸入信號為單位階躍r(t) 1(t)和干擾信號亦為階躍信號n(t) 21(t)作用下，試求：（1）當K 40和K 20時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）若在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，對穩(wěn)態(tài)誤差有什么影響？在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，結果又將如何？題410（圖中K1應為K）解：（1）由圖可知求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得【注】此題原題可能有數(shù)據(jù)錯誤。當K=40時ess=0當K=20時ess=0（2）若在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結果說明：在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以同時消除對階躍型輸入信號和干擾信號響應的穩(wěn)態(tài)誤差。若在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為