優(yōu)品課件之圖形的折疊、剪拼與分割

1、優(yōu)品課件 圖形的折疊、剪拼與分割 第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割 一頁(yè)普通的紙，童年時(shí)我們用 稚氣的雙手把它折成有趣的動(dòng)物，民間藝人可以把它剪成美麗的圖 案.折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，是豐富想象 力與心靈手巧的結(jié)合. 對(duì)圖形進(jìn)行折疊與剪拼，是學(xué)習(xí)幾何不可 或 缺的重要一環(huán)，通過(guò)折疊與剪拼圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何結(jié)論 并知曉這些結(jié)論是怎樣被證明的.把圖形或部分沿某直線翻折叫圖 形的折疊，對(duì)圖形通過(guò)有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的 剪拼.解與圖形折疊或剪拼相關(guān)的問(wèn)題，利用不變量解題是關(guān)鍵， 在折疊過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)保持不變；在剪拼過(guò)程中，新 圖形與原圖形

2、的面積一般保持不變. 例題求解【例1】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 M BC=8 M現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與 AE重合，則CD等于.（南通市中考題）思路點(diǎn)撥 設(shè)CD=x由折疊 的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換，將條件集中到Rt BDE中，建立x的方程.注 圖形折疊與剪拼問(wèn)題可考壹我們的動(dòng)手操作能力和分析推理能力，解 題時(shí)需要把計(jì)算、推理與合 情想象結(jié)合起來(lái). 折疊問(wèn)題可以對(duì)稱觀 點(diǎn)認(rèn)識(shí)：（1）折痕兩邊是全等的；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平 分.解折疊問(wèn)題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識(shí)與方 法.【例2】如圖，在矩形ABCD中 AB=8 BC=4將矩形沿AC

3、折 疊，則重疊部分 AFC的面積 為（）A . 12 D10 C. 8 D. 6 （2004年 武漢市選拔賽試題） 思路點(diǎn)撥 只需求出AF長(zhǎng)即可.【例3】取一張矩形的紙進(jìn)行折疊， 具體操作過(guò)程如下：第一步：先把矩形ABCD寸折，折痕為MN如 圖1;第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE點(diǎn)B在MN 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,得Rt ABE，如圖2;第三步：沿EB線折疊得 折痕EF,如圖3.利用展開(kāi)圖4探究：（1） AEF是什么三角形？證 明你的結(jié)論.（2）對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三 角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.（山西省中考題）思路點(diǎn)撥 本例沒(méi)有現(xiàn)成的結(jié)論, 需經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)

4、活動(dòng)，從而探究得到結(jié)論.【例 4】如圖，是從邊長(zhǎng)為40cm寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一 塊長(zhǎng)為20cm寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料.工人師傅要 將它作適當(dāng)?shù)厍懈?，重新拼接后焊成一個(gè)面積與原下腳料的面積相 等，接縫盡可能短的正方形工件.（1）請(qǐng)根據(jù)上述要求，設(shè)計(jì)出將這 塊下腳料適當(dāng)分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案（在圖2 和圖3中分別畫出切割時(shí)所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形， 保留拼接的痕跡）；（2）比較（1）中的兩種方案，哪種更好一些？說(shuō)說(shuō) 你的看法和理由.（山東省中考題） 思路點(diǎn)撥 拼接后正方形的邊長(zhǎng)為 ？ M它恰是以30cm和 10cm為兩 直角邊的直角三角

5、形的斜邊的長(zhǎng)，為此可考慮設(shè)法在原鋼板上構(gòu)造兩 直角邊長(zhǎng)分別為30? M和10cm的直角三角形，這是解本例的關(guān)鍵.注 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶，應(yīng)該通過(guò)觀察、實(shí) 驗(yàn)、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理 解和有效的學(xué)習(xí)策略，從而使知識(shí)得到內(nèi)化，形成能力.近年中考 中涌現(xiàn)的設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問(wèn)題，注重對(duì)動(dòng) 手實(shí)踐操作、應(yīng)用意識(shí)、學(xué)習(xí)潛能的考查.【例5】 用10個(gè)邊長(zhǎng) 分別為3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24, 25的正方形，可以拼接 成一個(gè)矩形.（1）求這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬；（2）請(qǐng)畫出拼接圖.思路 點(diǎn)撥利用拼接前后

6、圖形面積不變求矩形的長(zhǎng)和寬；運(yùn)用矩形對(duì)邊相 等這一性質(zhì)畫拼接圖.【例6】如圖，已知 ABC中，/ B二/ C=30 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將 ABC分割成四個(gè)三角形，使得其中兩個(gè) 是全等三角形，而另外兩個(gè)是相似但不全等的直角三角形.請(qǐng)畫出分 割線段，標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的所得三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)角度數(shù)（或記 號(hào)）.（畫圖工具不限， 不要求證明，不要求寫出畫法）（溫州市中考 題）思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用幾何計(jì)算、推理和作圖，綜合運(yùn)用動(dòng)手操作、 空間想象、解決問(wèn)題. 學(xué)力訓(xùn)練1 .將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖 所示可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次 的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到

7、7條折痕，那么對(duì)折 四次可以得到 條折痕，如果對(duì)折n次，可以得到 條折痕.（2002年 南寧市中考題） 2.一張直角三角形的紙片，像圖中那樣折疊，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn) A、B 重合，若/ B=30,AC=，則折痕DE的長(zhǎng)等于.（三明市中考題）3.如 圖，將一塊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD勺頂點(diǎn)A折至DC邊上的點(diǎn)E, 使DE= 5,折痕為PQ則線段PM=. 4.在 ABC中，已知AB=20 / A=30, CD是 AB邊的中線，若將 ABC沿 CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小三角形 ACD與三角形BCD重疊 部分的面積恰好等于折疊前 ABC的面積的，有如下結(jié)論：AC邊 的長(zhǎng)可以等于a;折疊前的 ABC勺面積

8、可以等于：折疊后，以 A B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等，其中，正確結(jié)論有 個(gè).（天津市中考題）5 .將四個(gè)相同的矩形（長(zhǎng)是寬的3倍），用不 同的方式拼成一個(gè)大矩形，設(shè)拼得大矩形的面積是四個(gè)小矩形的面積 和，則大矩形周長(zhǎng)的值只可能有（）A . 1種B . 2種C . 3種D . 4 種（2003年南昌市中考題）6.如圖，把 ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn) A落在四邊形BCDE部時(shí)，則/A與/ 1+/2之間有一種數(shù)量關(guān)系始 終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 （） A.Z A二/ 1+Z2 B. 2/A=Z 1+Z2 C. 3/A= 2/ 1+Z2 D. 3/A=2（/l+ /

9、 2）（北京市海淀區(qū)中考題）7 .將一張矩形紙對(duì)折 再對(duì)折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到、兩部分.將 展開(kāi)后得到的平面圖形是（）A.矩形B .三角形C .梯形D.菱形（陜 西省中考題） 8如圖1,小強(qiáng)拿一張正方形的紙，沿虛線對(duì)折一次得圖 2,再對(duì)折 一次得圖3,然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個(gè)角，再打開(kāi)后的形 狀是（）（濟(jì)南市中考題） 9.如圖，東風(fēng)汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形 的小鋼板，其中AB=AC該沖壓廠為了降低汽車零件成本，變廢為寶， 把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠粉碎機(jī)上的零件，銷售給紅星農(nóng) 業(yè)機(jī)械廠，這些零件的形狀都是矩形.現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三 角形

10、鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正 好等于該三角形的面積，每次切割的次數(shù)最多兩次 （切割的損失可忽 略不計(jì)）.（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的切割 焊接方案，并用簡(jiǎn)要的文字 加以說(shuō)明；（2）若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件（只切 割一次），則該三角形需滿足什么條件？（十堰市中考題）10 .如圖， ABCD是矩形紙片，E是AB上一點(diǎn)，且BE EA= 5: 3, EC=15 ,把厶BCE 沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F,求AB BC的長(zhǎng).11 .如圖，在 ABC中, AB= 3, AC= 4, BC=5現(xiàn)將它折 疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則折痕的長(zhǎng)是.（四

11、川省競(jìng)賽題）12 .如 圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A,處，第二次過(guò)A,再 折疊，使折痕DE/ BC若AB=2 AC=3則梯形BDEC勺面積為.（“宇 振杯”上海市競(jìng)賽題）13 .如圖，將矩形ABCD勺四個(gè)角向內(nèi)折起， 恰好拼成既無(wú)縫隙又無(wú)重疊的四邊形 EFGH若EH= 3, EF= 4,那么 線段AD與 AB的比等于.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 14.要剪切如圖1（尺寸單位mm所示的兩種直角梯形零件，且使兩種 零件的數(shù)量相等.有兩種面積相等的矩形鋁板，第一種長(zhǎng)500mm寬 300mm如圖2）;第二種長(zhǎng)600mm寬250mm如圖3）;可供選用. 兩種零件共個(gè)，剪出這些零件后，剩余的邊

12、角料的面積是mm2 （2） 畫圖，從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖，在上面畫出剪切線， 并把邊角余料用陰影表示出來(lái).15 .如圖，EF為正方形ABCD勺對(duì) 折線，將/A沿DK折疊使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)，則/ DKG為（） A. 15 B. 30 C. 55 D. 75 16.某班在布置新年聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度 不等的矩形彩條，如圖，在Rt ABC中，/ C= 90, AC=3CP MAB=50cm 依次裁下寬為1? M的矩形紙條a1, a2, a3,，若使裁得的矩形紙 條的長(zhǎng)都不小于5cm則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總 數(shù)是（）A . 24 B. 25

13、 C. 26 D . 27 （山東省濟(jì)南市中考題）17 .女口 圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)a= 1,則 這個(gè)正方形的面積為（）A. B . C . D. （2003年山東省競(jìng)賽題）18.如 圖，已知Rt ABC中，/ C= 90,沿過(guò)點(diǎn)月的一條直線BE折疊這個(gè) 三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)為D,要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，問(wèn) 在圖中還需添加什么條件？ （1）寫出兩個(gè)滿足邊的條件；（2）寫出兩 個(gè)滿足角的條件；（3）寫出一個(gè)滿足除邊角以外的其他條件.（黃岡 市競(jìng)賽題）19 .如圖，正方形紙片ABCD中, E為BC的中點(diǎn)，折疊正 方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平后，得折痕 MN設(shè)梯形ADMN勺面積 為S1,梯形BCM的面積為S2,求的值 20.已知一個(gè)三角形紙片 ABC面積為25, BC的長(zhǎng)為10 ,/ B、/C 都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)