任意角的三角函數(shù)

1、1 1.2.1 任意角的三角函數(shù) 2 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能、知識(shí)與技能 借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)借助單位圓理解任意角的三角函數(shù);從任意角三角從任意角三角 函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域，函數(shù)值的符號(hào)函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域，函數(shù)值的符號(hào);已知角已知角 終邊上一點(diǎn)終邊上一點(diǎn),會(huì)求角會(huì)求角的各三角函數(shù)值的各三角函數(shù)值; 記住三角記住三角 函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）. 2、過(guò)程與方法、過(guò)程與方法 利用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值利用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值 ;各各 個(gè)三角函數(shù)值的象限符號(hào)；誘導(dǎo)公式一的熟練應(yīng)個(gè)三角函數(shù)值的象限符號(hào)；誘導(dǎo)

2、公式一的熟練應(yīng) 用。用。 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的 科學(xué)精神科學(xué)精神. 3 教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) v 重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在 每個(gè)象限的符號(hào)，特殊角的三角函數(shù)值每個(gè)象限的符號(hào)，特殊角的三角函數(shù)值. v 難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)的自變量的多值性的理難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)的自變量的多值性的理 解，三角函數(shù)的求值中符號(hào)的確定解，三角函數(shù)的求值中符號(hào)的確定. 4 1.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？ sin

3、cos tan c a c b b a 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 O a bM P c 5 O a bM P y x 2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？ 新課新課 導(dǎo)入導(dǎo)入 6 22 : barOP bMP aOM 其中 y x 2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？ r a OP OM cos r b OP MP sin a b OM MP tan baP, Mo 7 如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？ P M OP MP sin OP O

4、M cos OM MP tan OMPPMO PO PM PO OM MO PM 誘思誘思 探究探究 MO y x P(a,b) 8 OP MP sin OP OM cos OM MP tan ，則若1 rOP b a a b 1.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中） 以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓，稱(chēng)為長(zhǎng)度為半徑的圓，稱(chēng)為單位圓單位圓. y O P ),(ba x 1 M 9 2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記

5、作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ； cosx xcos （3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 x y tan x y tan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都 是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點(diǎn)上點(diǎn) 的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的 函數(shù)，我們將他們稱(chēng)為函數(shù)，我們將他們稱(chēng)為三角函數(shù)三角函數(shù). 0 , 1A O y x yxP , )0(x 使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合 即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域. 10 )0 , 1 (A x y o

6、P),(yx 的終邊的終邊 說(shuō)說(shuō) 明明 （1）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn) 橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. . 的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與 . . （2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y 橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， x y tan 無(wú)意義，此時(shí)無(wú)意義，此時(shí) )( 2 zkk 軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的 （3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系一一對(duì)應(yīng)關(guān)系， 三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù). 11

7、任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程：任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程： 直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) a b r a r b tan,cos,sin 直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) a b r a r b tan,cos,sin 單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) a b abtan,cos,sin 單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcos x y tan, 12 例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 AOB 解：解：在直角坐標(biāo)系中，作在直角坐標(biāo)系中，作 AOB ，易知

8、，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 13 ( ,). 22 所以所以 53 sin, 32 51 cos, 32 5 tan3. 3 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin , 2 3 6 7 cos 3 3 6 7 tan 實(shí)例實(shí)例 剖析剖析 x y o A B 3 5 P15.1 P15.3 13 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)， 點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 . ),( yxP 0 22 yxrP 那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 r y r y sin 叫

9、做叫做 的余弦，即的余弦，即 r x r x cos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 x y 0tanx x y 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的 終邊上的位置無(wú)關(guān)終邊上的位置無(wú)關(guān). P 定義推廣：定義推廣： 14 例例2.已知角已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 . )4, 3( 0 P 22 0 ( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得 設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP 分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、 0 PMPP 00P

10、Mx 4 00 PM 于是，于是， ; 5 4| 1 sin 0 00 OP PM OP MPy y yMP 3 0 OM xOM OMP 00P OM ; 5 3 1 cos 0 0 OP OM OP OMx x sin4 tan. cos3 y x 4, 3 0 P 0 M O y x M yxP , 15 13512 2 2 22 yxr 13 12 cos r x 12 5 tan x y 5 sin, 13 y r 于是于是， 鞏固鞏固 提高提高 練習(xí)練習(xí): 1.已知角已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值. 5 ,12P 解：解：由已知可得：由已知

11、可得： P15.2 16 2P15 ,8aaaa.已知角 的終邊上一點(diǎn)R且0 ， sin,cos ,tan求角 的的值. -15 ,8 ,xa ya解：由于 22 158170raaaa所以 1017 ,ara若則于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 20-17 ,ara若則于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 17 32sin,cos,tan.yx.已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)， 22 1,2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r= 225152 sin,

12、cos,tan2 55155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)， 22 1, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則 22 5152 sin,cos,tan2 55155 18 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域 （弧度制）（弧度制） 探探 究究 三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域 sin cos tan R )( 2 Zkk 2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) y x o sin y x o cos y x o tan +（ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ） （ ） R + - +- - + +- + - 1

13、9 y xo + - + + + + - - - - - y xo y x o 全為+ y xo sin costan sin y r cos x r tan y x 三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào) 心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符號(hào)象限定符號(hào). .P15.3 20 例例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角 為第三象限角為第三象限角.反之也對(duì)反之也對(duì) 0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)槭揭驗(yàn)槭?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正

14、半軸上； 0sin 又因?yàn)槭接忠驗(yàn)槭?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)槭蕉汲闪ⅲ越且驗(yàn)槭蕉汲闪?，所以?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限. 于是角于是角 為第三象限角為第三象限角. 反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明. P15.6 21 如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩 個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一公式一） tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin(

15、 k k k 其中其中 zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為 求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 . 020360到或 ？ 22 例題例題 23 534 4 cossintantan . ( )sin .cos .tan() 例例4 4. .確確定定下下列列三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào), ,然然后后用用計(jì)計(jì)算算器器驗(yàn)驗(yàn)證證: : ( (1 1) )2 25 50 0; ;( (2 2) )( (- -) ); ;( (3 3) )( (- -6 67 72 2 ) ); ;( (4 4) )3 3 4 4 （1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第

16、三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos （3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 )672tan( tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48 解：解： （2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以 4 sin0; 4 20tantan()tan. ( (4 4) )3 3 23 o 5. 911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-) 46 例 求下列三角函數(shù)值: ooo o (1)sin1480 10 = sin(40 10+ 4360 ) = sin40 100.645; 92 (

17、2)coscos(2 )cos; 4442 113 (3)tan()tan(2 )tan. 6663 解：解： 24 6.已知已知 在第二象限在第二象限, 試確定試確定 sin(cos ) cos(sin ) 的符號(hào)的符號(hào). 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1, 1 , 2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) O x y 2 ( ,) 33 pp a P P M M P P1 1P P2 23 2 y= 34 2 1 sin x y o P1P2 x y o T A 21

18、0 30 例利用單位圓尋找適合下列條件的例利用單位圓尋找適合下列條件的0 到到360 的角的角. 3030 150150 解解: 3030 9090 或或210210 270270 3 tan 3 35 例例3 3. .若若, ,試試比比較較的的大大小小. . 0sin,tan, 2 . 解：如圖，在單位圓中，設(shè) AOP=（0，）,則AP= 2 PPMOAMAATOAOPT過(guò)點(diǎn) 作于，過(guò)點(diǎn) 作交的延長(zhǎng)線于 ， .MPAT則角 的正弦線為，正切線為 POAPOAAOT的面積扇形的面積的面積， 111 222 OA MPOAOA AT， 即MPAT. sintan . P O x y M A T

19、36 5 4 sin 3 2 sin 與與 A B o S2 S1 P2 P1 M1 例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?解：解： 如圖可知：如圖可知： 5 4 tan 3 2 tan 與與 5 4 sin 3 2 sin M2 37 5 4 sin 3 2 sin 與與 A B o T2 T1 S2 S1 例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?解：解： 如圖可知：如圖可知： 5 4 tan 3 2 tan 與與 5 4 sin 3 2 sin 5 4 tan 3 2 tan 38 例例5.5.求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=- Ox y P2 M P1 1 2 x