§2.4運動方程式的變換全解

1、 2.4 運動方變換通過上節(jié)課對運動方程的求解我們看出， 交流電機運動方程的系 數(shù)都是時變函數(shù)，因此，求截這種微分方程是非常繁瑣的。為了簡化 運動方程的求解，我們這一節(jié)研究采用變數(shù)變換的方法。 即用新的變 數(shù)電壓和電流來替換運動方程中的實際變數(shù)。 我們稱這種變數(shù)變換為 坐標(biāo)變換。電機理論中用到的變換基本上都是線性變換，而且坐標(biāo)變換的種 類也很多，究竟采用哪一種需要根據(jù)具體問題來選擇。一、 電流、電壓和阻抗變換的一般公式設(shè)有電路方程 比=Zidi + 乙2：2 + Z13ui Zi u23U2 = Z21i1 Z22i 2 Z23i3IIU3 = Z31i1Z32i2Z33i31Z21Z12Z1

2、3Z22Z23Z32illJ 3 一01 I Z33 -3 _寫成向量形式為其中u、i是電壓、電流矩陣,Z是阻抗矩陣?，F(xiàn)在引入坐標(biāo)變換，將u和iU = CUi = Ci變?yōu)閡 和i，設(shè)變換矩陣是C,即:可見，若變換枕C為一常值矩陣，電壓方程組的形式保持不變，此時i hu = i H cH cu系統(tǒng)的功率為如果要求滿足功率不變的約束，則必須有Cc=E或CH=C-1 即C是酉矩陣，而這種變換矩陣采 用酉矩陣的坐標(biāo)變換稱為酉變換。酉變換滿足“功率不變”要求，且 有：i 二 ci 二 cHiu = cu 二 cHuu =z z = CH zc在分析三相交流電機是常用的一些酉矩陣，如a (3 0陣，dq

3、O陣，對稱分量陣等等會在下面介紹。二、對稱分量變換交流電機不對稱運行最常用的方法是對稱分量法。其基本思想就 是利用對稱分量變換，將系統(tǒng)的阻抗矩陣變換為對角陣，從而簡化問題的求解。1、公式及其含義對于三相對稱電路，若外加的電源電壓不對稱時可以證明，總可 以把不對稱的電源電壓U、UB、UC分解成正序、負(fù)序和零序三組對稱電壓，即其中稱原來不對稱電壓的對稱分量，U+、a2u、aU是一組對稱的三相正序電壓，U、aU-、aU是一組對稱的三相負(fù)序電壓，是為了滿 足功率平衡而引入的系數(shù)。寫成矩陣的形式丄 Zo。對于交流三相旋轉(zhuǎn)電機來說，若不計轉(zhuǎn)子反應(yīng)或者對正、負(fù)序磁場具有相同的轉(zhuǎn)子反應(yīng)時，就屬于這種情況。（3

4、）對稱三相交流電機。對稱三相交流電機是指定子繞組為三 相對稱、轉(zhuǎn)子繞組為三相或多相對稱，電機的磁路亦為對稱的電機。 此類電機的阻抗矩陣為循環(huán)對稱，但當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，由于轉(zhuǎn)子對正、 負(fù)序磁場的反應(yīng)不同，所以 B、C 兩相對 A 相的等效互感具有不同的 值，即ZbM Zc。此時一般來講，Z+工Z-豐Zo 且正序和負(fù)序阻抗的值與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速有關(guān)。 正序、負(fù)序和零序阻抗互不 相等，這是旋轉(zhuǎn)電機的特點，亦是它與靜止電路的主要差別。（4）轉(zhuǎn)子為凸極的三相交流電機。這種電機的釘子裝有三相 對稱繞組，但轉(zhuǎn)子為凸極，且交、直軸上的繞組互不對稱，例如三相 凸極同步發(fā)電機。 這種電機在電和磁兩方面都不對稱， 屬于不對稱機

5、。 因此，它的阻抗不是循環(huán)對稱，即使進行對稱分量變換，阻抗矩陣仍 為非對角矩陣。這樣，一方面各相序的電路之間具有耦合，另外還會 出現(xiàn)高次諧波。 所以嚴(yán)格來講， 凸極同步發(fā)電機的正序和負(fù)序阻抗并 非總是一個常值，而是與運行方式有關(guān)。三、 dq0 變換 基本思想：旋轉(zhuǎn)電機理論中的另一種常用的坐標(biāo)變換是 dq0 變換。 它是把固定軸線 u、v、w 變換成隨轉(zhuǎn)子 d、q 軸同時旋轉(zhuǎn)的 dq0 軸線，這樣可 以把變化的自感和互感系數(shù)電感矩陣，變換為電感為常值的對角矩 陣，是變系數(shù)微分方程變?yōu)槌Ｏ禂?shù)微分方程，從而簡化求解。1、 變換公式極其含義i d=2/3i aCOS 0 + i bCOS ( 0 -1

6、200) + i ccos ( 0 +1200)i q=2/3i Asin 0 + i Bsin ( 0 -1200) + i csin ( 0 +1200)=1/3 (i a+ i b+i c)或i a= i dcos 0 + iqsin 0+ i0i b= i dcos ( 0 -1200)+ iq sin(0 -1200) + i 0i c= i dcos ( 0 -+1200)+ iq sin(0 +1200) + i 0變換陣為cocossin 日仁Co = cos但120) sin (0-120) 1 jcos(日+120) sin( 0+120) 1 一上面的變換式的含義就是把電

7、機定子三相繞組的電流iA、iB、ic分別投影到與轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的d軸和q軸上去，得到新的直軸電流i d和交 軸電流i q,還有一組孤立的零軸電流i。，它與轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)角0無關(guān)。 上面的第二組公式說明把旋轉(zhuǎn)軸線上的電流id和iq投影到A、B C相繞組的固定軸線上，加上零軸電流，以得到 iA、iB、ic。所以這種 變換代表一種固定軸線與旋轉(zhuǎn)軸線之間的變換。從物理上看，這就相當(dāng)于把實際的三相繞組變換成一個換相器繞組，其換相器上裝有兩組隨凸極轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的電刷，一組與 d軸重合，一組與q軸重合。 例1.用派克提出的dq0變換，將凸極同步電機定子繞組中的對稱三 相正序電流變換為dq0分量。解：設(shè)定子的對稱電

8、流為i a= i ncos 3 ti b= i ncos ( 3 t-120 0)i c= i mcos ( 3 t+1200)轉(zhuǎn)子為同步旋轉(zhuǎn)，t=0時轉(zhuǎn)子的初相角為0 ,即0 =3 t+ 0 0于是根據(jù) dq0 變換(派克變換)的定義可知：i d=2/3i Acos0 + i Bcos(0 -1200) + i Ccos(0 +1200) =2/3i m cos 3tcos (3t+0 0) + cos(3 t-120 0) cos(3t+0 0-1200)+ cos ( 3 t+120 0) cos( 3 t+ 0 0+1200) =Imcos0 0iq=2/3i Asin0 + i Bs

9、in(0 -1200) + i Csin(0 +1200) =2/3i m sin 3tsin (3t+0 0) + sin (3 t-120 0) sin (3t+0 0-1200)+ sin (3t+1200) sin(3t+ 0 0+1200) =Imsin 0 0i 0=1/3(i A+ i B +i C)=1/3I mcos 3 t+ cos (3 t-120 0) + cos ( 0 +1200) =0從上式可見， 經(jīng)過 dq0 變換以后， 三相繞組內(nèi)的對稱正序交流將變成dq0系統(tǒng)內(nèi)的一組直流，其中直軸電流i d二I mcos 0 ,交軸電流i q= I msin0 0，零軸電流為

10、零。從物理上看，這是不難理解的，因為經(jīng)過 dq0變換,定子繞組的軸線已變換為與凸極轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸線。 在等效的dq0繞組中，通以id和iq (均為直流)，其所形成的磁勢將與靜止的三相繞組中通以iA、iB、i c （三相交流）時等效。可以看出，采用派克變換時，變換前、后的磁勢相等，這是它的 優(yōu)點。但是前面的矩陣C0不是酉矩陣，因此派克變換不滿足功率不變約束。為了滿足功率不變約束，在dq0變換的變換矩陣中引入系數(shù)3，COSdcosQ -1200)cos +12O0)si nvsin -1200)sin(= 1200)21一212cos 日sin 8cos。-1200) sin(r -1200

11、) cosQ 120) sin(r 120)于是laaL ABL ACLbaLbbLbc-LcaLcbLee其中定子的自感和互感均為B或20的正弦函數(shù)，即idiqJ0 -所以，矩陣采用C以后將滿足功率不變的約束2、凸極同步電機定子電感矩陣的對角線化和常數(shù)化對于三相凸極同步電機，其定子繞組的電感矩陣Ls為LaA=Ls0+Ls2COS2 0LbB=Ls0+Ls2COs2( 0 -120 )Lcc=Ls0+Ls2COs2( 0 +120)0Lab= L ba =-M s0-Ms2 cos2( 0 +30)B(= L CB =-Ms0-Ms2 cos2( 0 -90 )C= L ac =-M s0-M

12、s2 cos2( 0 +150)引入dqO變換，定子電感矩陣變?yōu)長sLs 二 CLC-cos日sin B1cos(v -1200)sin(v - 1200)LaalabL AC 1* 1LbaL BBL BClcalcbLCCcos 1200)sin(r 1200)COST.3cos但-1200)sin(二-1200)cos但 +1200)sin(=1200)經(jīng)過冗長的運算，可得Ld 00 Lq.0 00【0L0式中Ld、Lq、L0分別稱為凸極同步電機的直軸、交軸和零軸電感，它 們分別等于3Ld 丄0 M so 石 Ls23Lq =Ls0 嘰一產(chǎn)L0=Ls0-2Ms0由上面的推導(dǎo)可以看出，經(jīng)過

13、 dq0變換，定子的電感改用d、q、 0三根特定軸線上的電感值來表示，由于 d、q軸與轉(zhuǎn)子之間無相對 運動，所以變換后的電感矩陣中的元素不再是 0的函數(shù)，使電感矩陣 常數(shù)化；同時，由于d軸和q軸線互相垂直，它們之間不存在互感，而零軸又是一個孤立系統(tǒng)，所以變換后的電感矩陣為對角線矩陣。 這 是dqO變換的主要優(yōu)點。四、a B 0變換a P 0坐標(biāo)系是一個兩相坐標(biāo)系，其中a軸和B軸互相垂直，構(gòu)成對稱兩相繞組中的兩根軸線，0軸為一孤立系統(tǒng)，與dq0坐標(biāo)系中的零 軸相同。所以ABO a B0之間的變換相當(dāng)與三相到兩相繞組之間的 坐標(biāo)變換。設(shè)三相繞組的A相軸線與兩相繞組的a相軸線相重合，B軸超前 a軸900電角度。把iA、iB、ic分別投影到兩相繞組的a