高中數(shù)學(xué)選修2-2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實(shí)例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式.3.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)一般不超過三次).知識點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減常函數(shù)f(x)0f(x)0f(x)0思考 以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，在假設(shè) x x 的前提下，比較 f(x )與 f(x )1212的大小，在函數(shù) yf(x)比較復(fù)雜的情況下，比較 f(x )與 f(x )的大小并不很容易，如何利用導(dǎo)12數(shù)來

2、判斷函數(shù)的單調(diào)性？答案 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數(shù)曲線呈上升的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數(shù)曲線呈下降的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞減.知識點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù) f(x)的定義域.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x).(3)解不等式 f(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式 f(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.知識點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)絕對值的大小與函數(shù)圖象的關(guān)系1 一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化較快，

3、這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.也就是說導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度.如圖，函數(shù)yf(x)在(a,0)和(0，b)內(nèi)的圖象“陡峭”，在(，a)和(b，)內(nèi)的圖象“平緩”.題型一 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)3x 2ln x；(2)f(x)x e ；22x1(3)f(x)x .x2x3333解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?d(0，).f(x)6x ，令 f(x)0，得 x ，x 12(舍去)，用 x 分割定義域 d，得下表：1x0，f(x)f(x)033 3函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)

4、間為 0，單調(diào)遞增區(qū)間為， .3(2)函數(shù)的定義域?yàn)?d(，).f(x)(x )e x (e )2xe x e e (2x2x2xx2xxx )，令 f(x)0，由于 e 0，x 0，x 2，用 x ，x 分割定義域 d，得下表：2x1212x(，0)(0,2)20(2，)f(x)f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和(2，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).(3)函數(shù)的定義域?yàn)?d(，0)(0，).1f(x)1 ，令 f(x)0，得 x 1，x 1，用 x ，x 分割定義域 d，得下表：x212122 x(1,0)(0,1)10f(x)f(x)0函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)和(0,

5、1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，).反思與感悟 首先確定函數(shù)定義域，然后解導(dǎo)數(shù)不等式，最后寫成區(qū)間的形式，注意連接同類單調(diào)區(qū)間不能用“”.跟蹤訓(xùn)練 1 求函數(shù) f(x)x33x 的單調(diào)區(qū)間.解 f(x)3x233(x21).當(dāng) f(x)0 時(shí)，x1 或 x1，此時(shí)函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) f(x)0 時(shí)，1x1，此時(shí)函數(shù) f(x)單調(diào)遞減.函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是(，1)，(1，)，遞減區(qū)間是(1,1).題型二 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的大致圖象例 2 畫出函數(shù) f(x)2x33x236x16 的大致圖象.解 f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2).由 f(x)0 得 x2 或

6、 x3，函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是(，2)和(3，).由 f(x)0 得2x3，函數(shù) f(x)的遞減區(qū)間是(2,3).由已知得 f(2)60，f(3)65，f(0)16.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù) f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一).反思與感悟 利用導(dǎo)數(shù)可以判定函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的大致走向.當(dāng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定以后，再通過描出一些特殊點(diǎn)，就可以畫出一個(gè)函數(shù)的大致圖象.跟蹤訓(xùn)練 2 已知導(dǎo)函數(shù) f(x)的下列信息：當(dāng) 2x3 時(shí)，f(x)0；當(dāng) x3 或 x2 時(shí)，f(x)0；當(dāng) x3 或 x2 時(shí)，f(x)0；3 試畫出函數(shù) f(x)圖象的大致形狀.解 當(dāng)

7、2x3 時(shí)，f(x)0，可知函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng) x3 或 x2 時(shí)，f(x)0，可知函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng) x3 或 x2 時(shí)，f(x)0，在這兩點(diǎn)處的兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變.綜上可畫出函數(shù) f(x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一).題型三 利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍例 3 已知函數(shù) f(x)2axx3，x(0,1，a0，若函數(shù) f(x)在(0,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解 f(x)2a3x2，又 f(x)在(0,1上是增函數(shù)等價(jià)于 f(x)0 對 x(0,1恒成立，且僅有有限個(gè)點(diǎn)使得 f(x)0，32x(0,1時(shí)，2a3x20，也就是 a x2 恒成立.3

8、232又 x(0,1時(shí)， x2 0， ，3a .232a 的取值范圍是 ， .反思與感悟 已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，解決此類問題的主要依據(jù)就是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，其常用方法有三種：利用充要條件將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即 f(x)0(或 f(x)0)在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立問題；利用子區(qū)間(即子集思想)，先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求出的增或減區(qū)間的子集；利用二次方程根的分布，著重考慮端點(diǎn)函數(shù)值與 0 的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間的位置.12跟蹤訓(xùn)練 3 已知函數(shù) f(x)ln x，g(x) ax22x，a0.(1)若函數(shù)

9、 h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍；(2)若函數(shù) h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求 a 的取值范圍.12解 (1)h(x)ln x ax22x，x(0，)，1h(x) ax2.xh(x)在(0，)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，4 1當(dāng) x(0，)時(shí)， ax20 有解，x1 2x2 x即 a 有解.1 2x2 x設(shè) g(x) ，只要 ag(x) 即可.min1而 g(x) 1 21，xg(x) 1，mina1.(2)h(x)在1,4上單調(diào)遞減，1x1,4時(shí)，h(x) ax20 恒成立，x1 2x2 x即 a 恒成立，1ag(x) ，而 g(x) 1 21，maxx

10、7g(x) ，16max7a .16求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，因忽視函數(shù)定義域致誤例 4 求函數(shù) yxln x 的單調(diào)區(qū)間.11錯(cuò)解 y1 ，令 y1 0，得 x1 或 x0，所以函數(shù) yxln x 的單調(diào)遞增區(qū)xx1間為(1，)，(，0).令 y1 0，得 0x1，所以函數(shù) yxln x 的單調(diào)遞減x區(qū)間為(0,1).錯(cuò)因分析 在解與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要先考慮函數(shù)的定義域，這是最容易忽略的地方.正解 函數(shù) yxln x 的定義域?yàn)?0，)，1又 y1 ，x1令 y1 0，得 x1 或 x0(舍去)，所以函數(shù)yxln x 的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).x1令 y1 0，得 0x1，所以函數(shù) yxln

11、x 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).x防范措施 在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域.5 1.函數(shù) f(x)xln x 在(0,6)上是(a.單調(diào)增函數(shù))b.單調(diào)減函數(shù)11ec.在 0， 上是減函數(shù)，在 ，6 上是增函數(shù)e11ed.在 0， 上是增函數(shù)，在 ，6 上是減函數(shù)e答案 a1解析 x(0,6)時(shí)，f(x)1 0，函數(shù) f(x)在(0,6)上單調(diào)遞增.x2.f(x)是函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，若 yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) yf(x)的圖象可能是()答案 d解析 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0，即函數(shù) f(x)為增函數(shù)；當(dāng) 0x2 時(shí)，f(x)0，即f(x)為

12、減函數(shù)；當(dāng)x2 時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù).觀察選項(xiàng)易知 d 正確.3.若函數(shù) f(x)x ax x6 在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()32a.1，) b.a1 c.(，1 d.(0,1)答案 a解析 f(x)3x22ax1，且 f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，不等式 3x22ax10 在(0,1)內(nèi)恒成立，f(0)0，且 f(1)0，a1.6 4.函數(shù) yx 4xa 的增區(qū)間為_，減區(qū)間為_.2答案 (2，) (，2)解析 y2x4，令 y0，得 x2；令 y0，得 x2，所以 yx24xa 的增區(qū)間為(2，)，減區(qū)間為(，2).15.已知函數(shù) f(x)2ax

13、 ，x(0,1.若 f(x)在 x(0,1上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍為x_.12答案 ，1x2解析 由已知條件得 f(x)2a .f(x)在(0,1上是增函數(shù)，1f(x)0，即 a 在 x(0,1上恒成立.2x21而 g(x) 在(0,1上是增函數(shù)，2x21g(x) g(1) .2max1a .2121當(dāng) a 時(shí)，f(x)1 對 x(0,1有 f(x)0，且僅在 x1 時(shí)，f(x)0.x212a 時(shí)，f(x)在(0,1上是增函數(shù).12a 的取值范圍是 ， .判斷函數(shù)單調(diào)性的方法如下：(1)定義法.在定義域內(nèi)任取 x ，x ，且 x x ，通過判斷 f(x )f(x )的符號來確定函數(shù)的單調(diào)

14、121212性.(2)圖象法.利用函數(shù)圖象的變化趨勢進(jìn)行直觀判斷.圖象在某個(gè)區(qū)間呈上升趨勢，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；圖象在某個(gè)區(qū)間呈下降趨勢，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).(3)導(dǎo)數(shù)法.利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：求 f(x)；確定 f(x)在(a，b)內(nèi)的符號；確定單調(diào)性.求函數(shù) yf(x)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是解不等式 f(x)0 和 f(x)0 所得的 x 的取值集合.反過來，如果已知f(x)在區(qū)間 d 上單調(diào)遞增，求f(x)中參數(shù)的值，這類問題往往轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即 f(x)0 在 d 上恒成立且僅在有限個(gè)點(diǎn)上等號成立，求 f(x)

15、中參數(shù)的值.同樣可以解決已知 f(x)在區(qū)間 d 上單調(diào)遞減，求 f(x)中參數(shù)的值的問題.7 一、選擇題1.函數(shù) y(3x )e 的單調(diào)遞增區(qū)間是()2xa.(，0)b.(0，)d.(3,1)c.(，3)和(1，)答案 d解析 求導(dǎo)函數(shù)得 y(x22x3)e .x令 y(x22x3)e 0，可得 x22x30，x3x1.函數(shù) y(3x2)e 的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,1).x2.已知函數(shù) f(x)x ax x1 在(，)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()32a.(， 3 3，)b. 3， 3c.(， 3)( 3，)d.( 3， 3)答案 b解析 由題意得f(x)3x22ax10在(，)上恒

16、成立，且僅在有限個(gè)點(diǎn)上f(x)0，則有 4a2120，解得 3a 3.3.下列函數(shù)中，在(0，)內(nèi)為增函數(shù)的是()a.ysin xb.yxe2d.yln xxc.yx x3答案 b解析 顯然 ysin x 在(0，)上既有增又有減，故排除 a；對于函數(shù) yxe2，因 e2 為大于零的常數(shù)，不用求導(dǎo)就知 yxe2 在(0，)內(nèi)為增函數(shù)；333對于 c，y3x213 x，3x3 3故函數(shù)在 ， 上為增函數(shù)， 33333在 ，上為減函數(shù)；31對于 d，y 1 (x0).x故函數(shù)在(1，)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù).故選 b.8 4.設(shè) f(x)，g(x)在a，b上可導(dǎo)，且 f(x)g(x)，

17、則當(dāng) axb 時(shí)，有()a.f(x)g(x)b.f(x)g(x)c.f(x)g(a)g(x)f(a)d.f(x)g(b)g(x)f(b)答案 c解析 f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在 a，b上是增函數(shù)，當(dāng) axb 時(shí) f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a).ln |x|5.函數(shù) y的圖象大致是()x答案 cln |x|解析 yf(x)f(x)，xln |x|yf(x)為奇函數(shù)，xyf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，可排除 b.ln x1ln x又當(dāng) x0 時(shí)，f(x) ，f(x)，xx2當(dāng) xe 時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)在(e，)上

18、單調(diào)遞減；當(dāng) 0xe 時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增.故可排除 a，d，而 c 滿足題意.6.定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足：f(x)1f(x)，f(0)6，f(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式 e f(x)xe 5(其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()x9 a.(0，)b.(，0)(3，)d.(3，)c.(，0)(1，)答案 a解析 由題意可知不等式為 e f(x)e 50，xx設(shè) g(x)e f(x)e 5，xxg(x)e f(x)e f(x)exxxe f(x)fx)(10.x函數(shù) g(x)在定義域上單調(diào)遞增.又g(0)0，g(x)0 的解集為(0，).二

19、、填空題7.若函數(shù) f(x)2x ln x 在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) k 的2取值范圍是_.32答案 1，1 4 21x解析 顯然函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)4x .由 f(x)0，得函數(shù) f(x)xx1212的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ；由 ( )0，得函數(shù) ( )單調(diào)遞減區(qū)間為 0， .因?yàn)楹瘮?shù)在f xf x121232區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以 k1 k1，解得 k ，又因?yàn)?k1，k321)為定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以 k10，即 k1.綜上可知，1k .328.函數(shù)yf(x)在其定義域 ，3 內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記yf(x)的

20、導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，則不等式 f(x)0 的解集為_.13答案 ，1 2,3)9.函數(shù) yln(x x2)的遞減區(qū)間為_.2答案 (，1)2x1x2x212解析 f(x)，令 f(x)0 得 x1 或 x2，注意到函數(shù)定義域?yàn)?，1)(2，)，故遞減區(qū)間為(，1).10 11210.若函數(shù) f(x)x ax 在 ， 上是增函數(shù)，則 的取值范圍是_.a2x答案 3，)解析 因?yàn)?f(x)x2ax 在 ， 上是增函數(shù)，112x1x212故 f(x)2xa 0 在 ， 上恒成立，1x212即 a 2x 在 ， 上恒成立.1x22x3令 h(x) 2x，則 h(x) 2，12當(dāng) x ， 時(shí)，h(x)0

21、，則 h(x)為減函數(shù)，1 所以 h(x)h 3，所以 a3. 2三、解答題11.已知函數(shù) f(x)ax bx 的圖象經(jīng)過點(diǎn) m(1,4)，曲線在點(diǎn) m 處的切線恰好與直線 x9y032垂直.(1)求實(shí)數(shù) a，b 的值；(2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間m，m1上單調(diào)遞增，求 m 的取值范圍.解 (1)函數(shù) f(x)ax3bx2 的圖象經(jīng)過點(diǎn) m(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，則 f(1)3a2b.1 由條件 f(1) 1，即 3 2 9.ab 9由解得 a1，b3.(2)f(x)x 3x ，則 f(x)3x 6x.322令 f(x)3x26x0，得 x0 或 x2.函數(shù) f(x)在區(qū)間

22、m，m1上單調(diào)遞增，m，m1 (，20，)，m0 或 m12，m0 或 m3.12.已知函數(shù) f(x)a x xln ab(a，br ，a1)，e 是自然對數(shù)的底數(shù).x2(1)試判斷函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性；(2)當(dāng) ae，b4 時(shí)，求整數(shù) k 的值，使得函數(shù) f(x)在區(qū)間(k，k1)上存在零點(diǎn).解 (1)f(x)a ln a2xln a2x(a 1)ln a.xxa1，當(dāng) x(0，)時(shí)，ln a0，a 10，xf(x)0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.11 (2)f(x)e x x4，f(x)e 2x1，x2xf(0)0.當(dāng) x0 時(shí)，e 1，f(x)0，xf(x)是(0，)上的增函數(shù).同理，f(x)是(，0)上的減函數(shù).又 f(0)30，f(1)e40，f(2)e220，當(dāng) x2 時(shí)，f(x)0，當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)，k1 滿足條件.1e1f(0)30，f(1) 20，f(2) 20，e2當(dāng) x2 時(shí)，f(x)0，當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) f(x)零點(diǎn)在(2，1)內(nèi)，k2 滿足條件.綜上所述，k1 或2.13.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)yln(2x3)x ；2x1x1(2)f(x)aln x(a 為常