楊輝三角的規(guī)律以及推導(dǎo)公式

1、李博洋摘要 楊輝三角中的一些規(guī)律關(guān)鍵詞楊輝三角 冪 二項(xiàng)式引言楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的詳解九章算法一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來(lái)對(duì)“楊輝三角”的規(guī)律進(jìn)行探討和研究。內(nèi)容1二項(xiàng)式定理與楊輝三角與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，即二項(xiàng)式定理。2楊輝三角我們首先從一個(gè)二次多項(xiàng)式的展開(kāi)式來(lái)探討。2 2 2由上式得出：(a+b) = a+2ab+b 此代數(shù)式的系數(shù)為：1 2 13 3223則(a+b) 的展開(kāi)式是什么呢答案為： a +3a b+3ab+b由此

2、可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為：1 3 3 1但似乎沒(méi)有什么規(guī)律，所以讓我們?cè)賮?lái)看看(a+b)4的展開(kāi)式。4 3234展開(kāi)式為：a +4a b+6a b2+4ab+b由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為：1 4 6 4 1似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列：1(110)11(111)1 21(112)1 3 31(113)1 4 6 41(114)1 5 10 105 1(115)1 6 15 20 156 1(116)因此可得出二項(xiàng)式定理的公式為：(a+b) n=C(門,0歸八 n*bS+C( n,1)a( n-1)*bM+.+C( n,r)aA( n-r)*bW.+ C(n,n )aP*b

3、A n因此，二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了 計(jì)算數(shù)學(xué)。求二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。用系數(shù)通 項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來(lái)計(jì)算，稱作“圖算”。2楊輝三角的幕的關(guān)系首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下:1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1(1+1=2 )(1+2+1=4 )(1+3+3+1=8 )1 5 10 10 5 1(1+5+10+10+5+仁32 )1 6 15 20 15 6 1(1+6+15+20+15+6+仁64 )(1+4+6+4+仁16 )相加得到的數(shù)是 1 , 2, 4, 8, 16, 3

4、2, 64,剛好是2的0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,次 幕，即楊輝三角第 n行中n個(gè)數(shù)之和等于2的n-1次幕3楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系1 6 15把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得 把斜行(2)中第7行之前的數(shù)字相加得 把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得 把斜行(4)中第7行之前的數(shù)字相加得 把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得 把斜行(6)中第7行之前的數(shù)字相加得 將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第1+1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=151+5=617行中的數(shù)字對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。中前n-1個(gè)數(shù)之和,即第n

5、行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、(n-3)中第n行之前的數(shù)字之和、1?？偨Y(jié)楊輝三角對(duì)于我們好理解的規(guī)律，如下六點(diǎn):1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。2、每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開(kāi)始逐漸變大。3、第n行的數(shù)字有n+1項(xiàng)。4、第n行數(shù)字和為2A(n-1)。( 2的(n-1)次方)(n+1)行中的每(a+b)A n的展開(kāi)式中的各項(xiàng) 系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角的第一項(xiàng)。16、第n行的第m個(gè)數(shù)和第n-m個(gè)數(shù)相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，這是組合數(shù)性質(zhì)i上面的式子是什么意思首先c n+1中的n+1, i的意思是從n+1個(gè)相同物體中選出i個(gè)物體有多少種選法。楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的詳解九章算法一書中,輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開(kāi)方作法本源”圖，并說(shuō)明此表