必修二點直線平面知識點

1、實用文案 點直線平面的位置矢系 一、直線與平面位置矢系高考考試內(nèi)容及考試要求： 考試內(nèi)容： 1 平面及其基本性質(zhì)； 2、平行直線：對應(yīng)邊分別平行的角：異面直線所成的角；異面直線的公垂線；異面直線的距離； 3、直線和平面平行的判定與性質(zhì)；直線和平面垂直的判定與性質(zhì)；點到平面的距離；斜線在平面上的射影；直線和平面所成 的角；三垂線定理及其逆定理； 4、平行平面的判定與性質(zhì)；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個平面垂直的判定與性質(zhì)；二、空間中的平行矢系 課標要求： 1 .平面的基本性質(zhì)與推論 借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置尖系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置矢系的定義，并了解

2、如下可 以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)； 公理2 :過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； 公理3 :如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線； 公理4 :平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。 2空間中的平行矢系 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空 間中線面平行、垂直的有 尖性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理： 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線

3、與此平面平行： 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行； 兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行； 垂直于同一個平面的兩條直線平行 要點精講： 1 平面的性質(zhì) (1 )平面的兩彳、特征：無限延展平的(沒有厚度)無邊界 (2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面 (3 )平面的表示：用一個小寫的希臘字母、 等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩 個相對頂點的字母表示，如平面AC。 2 .三公理三推論： 公理1 :如

4、果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。用符號表示： Al, Bl, A,BI 公理2 :經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。 推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。 推論二：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。 推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。 公理3 :如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。用符號表示為： P ，且 P I I,且 PI 標準 3 空間中兩直線位置尖系 (1) 空間兩條直線有且僅有三種位置尖系： 打“ 1J mi f V 同一平血內(nèi).(1 H!(4)傘公共點； i rt 平同一平面內(nèi)

5、.段有公典點 廿兩古紙末冃幻/工E 而吠1士右、卄占 異面直線：1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線一一異面直線( skew lines ）； 2 )判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線是異面直線 其圖形與符號語言如下: 注：異面直線的畫法常用的有下列三種: 異面直線所成的角：1)范圍: (0: 90 ; 2)作異面直線所成的角：平移法。 如下圖，在空間任取一點0,過0作aPaPb，則a,b所成的B角為異面直線a,b所成的角。特 別地，找異面直線所成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的 角。 （2

6、）平行直線： 4 :平行 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。公理 于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞公理），其符號表述： a Pb,b Pc a Pc （3 ）定理（等角定理）：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。 4 空間中直線與平面的位置矢系 （1 ）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）； （2 ）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3 ）直線和平面平行（沒有公共點） 其中，直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。它們的圖形分別可表示為如下，符號分別 可表示為a ,a I A,a/ 線面平行的判定定理：平面

7、外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。符號表 示為：a , b ,a/ b a / 圖形表示為: 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條 直線和交線平行。符號表示為: 圖形表示為： b a/ b 5 空間兩平面的位置矢系有兩種：兩平面相交(有一條公共直線) 、兩平面平行(沒有公共點) 兩平面平行的判定定 平行，那么這兩個平 / (1) 理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面 面平行。符號表示為： a,b,alb P,a/ ,b 推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行

8、。符號表示為： alb P, a ,b , a I b P , a , b , a / a , b / b/ (2) 兩平面平行的性質(zhì)定理：(1 )如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；(2)如果兩個平行平面 同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 注：證明兩平面平行的方法： (1 )禾9用定義證明。禾U用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導出矛盾。 (2) 判定定理：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。 用符號表示是：a Ab , a a, b H, a B,則 a / / B。 (3 )垂直于同

9、一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a丄a, a丄B則a/3 (4 )平行于同一個平面的兩個平面平行。/ 兩個平面平行的性質(zhì)有五條： (1) 兩個平面 平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平 行，則線面平行”。用符號表示是：aB, a - a,貝Ua/3 (2) 如果兩個 平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平 行則線線平行”。用符號表示是：a/B,aQY=a ,BQ Yb，貝U a /b (3) 一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂 直。用符號表示是：a B, a丄a,貝

10、I： a丄 (4) 夾在兩個平行平面間的平行線段相等。 (5) 過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。 三、空間中的垂直矢系課標要求： 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空 間中線面垂直的有矢性質(zhì)與 判定。 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理： 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個平面過另一個平面的垂線5則兩個平面垂直 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置矢系的簡單命題。 要點精講：

11、1 .線線垂直 判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線 垂直。 垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直/那么它也和這條斜線 的射影垂直。 a其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定 符號表示: FQ丄a 尸月0空二 an a=a LAP 注意：三垂線指 PA. P0 , A0都垂直a內(nèi)的直線 和性質(zhì)定理要考慮a的位置并注意兩定理交替使用。 2 線面垂直 條直線 平面a叫 I丄a。 定義：如果一條直線I和一個平面a相交，并且和平面a

12、內(nèi)的任意一都垂直，我們就說 直線I和平面a互相垂直。其中直線I叫做平面的垂線，做直線I的垂面，直線與平面的交點叫 做垂足。直線I與平面a垂直記作： 則該直線與此平面垂直。 直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 直線和平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 3 面面垂直 兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂 直。 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與 另一彳、平面垂直。 附注：垂直和平行

13、涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化矢系： 平行與垂言矢系可互相轉(zhuǎn)化 平行尖系 垂直尖系 L應(yīng)丄住上一挖二左b工口 平面幾何蚓識 平血兒何知識 丄 a-.-bbla 3.空丄區(qū)罰亠0 =? a /? 4P a戸衛(wèi)丄ct = a 一戸錄盤 伙 y 丄 txny_L 0 線統(tǒng)平行 統(tǒng)曲垂直 線線垂直 面面垂直定義 列定 綾面平行 面面平釬 向面垂直 四、空間中的夾角和距離(拓展) 要點精講： 1鹿離 空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距，線線距，線面距，面面距。其中重點是點點 距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距離 (1 )兩條異面直線的距離 兩條異面直線

14、的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線， 那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。 (2 )點到平面的距離 平面外一點P在該平面上的射影為P-，則線段ppp勺長度就是點到平面的距離；求法：0“一找二證 三求”，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。 (3) 直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； (4) 平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。 求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化矢系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離 轉(zhuǎn)化為點點距、點線距

15、或點面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有矢距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個三角形 若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線 上兩點間距離公式，如果兩條異面直線 a、b所成的角為 0，它們的公垂線AA 的長度為d，在a上有 線段AE二m,b上有線段AF= n，那么EF , d2 m2 n2 2 mn cos（ “土”符號由實際情況選定） 2夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為 （0 ,90 、0 ,90。和0 ,180 。 （1 ）兩條異面直線所成的角 求法：（J先通過其中一條直線

16、或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角 形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是（0,八, 向量所成的角范圍是0,，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所 成的角，根據(jù)定義采用 “射影轉(zhuǎn)化法”。 （3）二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的 解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的矢鍵。通 常的作法有：（I）定義法；（n）利用三垂線定理或逆定理；（川）自空間一點作棱垂直的垂

17、面，截二面 角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之， S COS，其中S為斜面面積，S1為射影面積，0為斜面與射影面所成的二面角。 S 3 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。附注：空間的角和距離是空 間圖形中最基本的數(shù)量矢系，空間的角主要研究射影以及與射影有矢的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等。解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決。 1 空間的角，是對

18、由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置矢系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定 義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角（0,），直線與平面所成的角 實用文案 2 0,-，二面角的大小、可用它們的平面角來度量，其平面角(0,n)。 對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解 決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的 過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間 角的計算和應(yīng)用逬一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力. (1 )求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在

19、異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”， 作另一條直線的平行線；或過空間任一點分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角B,構(gòu)造一個含B的三角形，解 三角形即可。方法二是補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角B。 (2 )求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(斜足)，然后在直線上取一點(除斜足 外)作平面的垂線，再連接垂足和斜足(即得直接在平面內(nèi)的射影)，最后解由垂線、斜線、射影所組成 的直角三角形，求出直線與平面所成的角。 (3 )求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角

20、作平面角的 方法通常有：根據(jù)定義作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面 角先作出棱后同上進行。間接法主要是投影法：即在一個平面a上的圖形面積為S,它在另一個平面B上的投影面積為S,這 兩個平面的夾角為B,則S =Scos Oo 標準 實用文案 如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線） ;求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相 交直線所成的角；而求二面角一丨-的平面角（記作）通常有以下幾種方法： 根據(jù)定義； （2）過棱I上任一點0作棱I的垂面，設(shè)n = OA, n = 0B 貝iJ/AOB =（圖1）; （3）利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面 內(nèi)一點A，分別作另一個 平面的垂線AB（垂足為B）, 或棱I的垂線AC （垂足為C）璉結(jié)AC側(cè)ZACB二或/ACB二一（圖2）； （4）設(shè)A為平面外任一點，AB丄，垂足為B, AC丄，垂足為C,則/BAC二或ZBAC二一（圖3）； （5）利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形F的面積為S, F在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S , 貝U cos二 2 空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的