相似三角形的性質及應用

1、相似三角形的性質及應用-知識講解（提高）【學習目標】1、探索相似三角形的性質，能運用性質進行有關計算；2、通過典型實例認識現實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽 象為數學問題）【要點梳理】要點一、相似三角形的性質1 相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段3. 相似三角形周長的比等于相似比二二匚s 一.三匚，則由比例性質可得：4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方D D/J rrj一上二s亠

2、二：，則一 一 分別作出口乂與匸的高匸和上匸,則EC CfA11BC AD4 ABC25 14ABCBC AD21-k BC k AD21-BC AD2=k&甲影子測量法測量距離21.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決 要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。1 如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DG BD CE的距離（長度）2 如乙圖所示，可先測 AC DC及 DE的長，再根據相似三角形的性質計算要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的要點

3、二、相似三角形的應用，根據相似三角形的性質，求出AB的長.AB的長.要點詮釋：1 比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離；2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比；3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角.【典型例題】類型一、相似三角形的性質1.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE,則Sabce Sabde等于（） A. 2 : 5B 14:25C 16:25D. 4:21【思路點撥】相

4、似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個三角形是否相似【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10, AD=BD=5 設 AE=BE=x,貝U CE=8-x,在 Rt BCE中，x2-(8-x) 2=6：x= * ,【總結升華】關鍵是要確定哪兩個是相似三角形Sabce： Sabde= (64-25-25 ): 25=14:25，所以選 B. AC=6 Sa ABC 2，又T/B=Z B,.BDABRt ADB Rt CEB,.BECBSa bed2DE2 1DE 1，又TAC5 *. DE=2Sa bca18 9AC 3-ACBF 18,BF=6. ebda CBA,./ ADB2

5、CEB=90【答案】 過點B做BF丄AC,垂足為點F, t AD,CE分別為BC,AB邊上的高,即詈BECB,且/ B=z B，2.已知：如圖，在 ABC與 CAD中, DA/BC, CD與 AB相交于E點，且AE：EB=1 :2, EF/ BC交 AC于 F 點,舉一反三【變式】在銳角 ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高， ABC和 BDE的面積分別等于 18和2, DE=2, 求AC邊上的高.;?眾澤洱-:=帀餐:!?:!5韶弗“ ADE的面積為1,求厶BCED AEF的面積.【答案與解析】/ DA/ BC ADE BCE/ SadES bckAEiBE2./ AE： BE=1:

6、2 ,- SADE：Sbce=1：4 .T Saade=1 ,- Sbce=4.T Saabc：S bc=AB：BE=3：2 ,- Sab(=6 .,2拆2t EF/ BC, AEFA ABCt AE:AB=1:3 , Saaef：S abc=aE:AB =1:9 . Sef 乜.【總結升華】 注意，同底(或等底)三角形的面積比等于該底上的高的比；同高 (或等高)三角形的面積比等于對應 底邊的比當兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應線段比的平方，即相似比的平方.舉一反三：【變式】如圖，已知中，號=5 ,3，為C= 4 , f AE ,點尸在衛(wèi)C上， ( 與點A。不重合)，點在 上 .(1)當

7、亠U 的面積與四邊形1_.的面積相等時，求二7的長.(2)當- J f的周長與四邊形 J的周長相等時，求二 的長【答案】(1)山.,，.PQHAB - J的周長與四邊形廠丨 的周長相等- S3、S4,則C.1DE:3 : 5 ： 7D.3 : 5 ： 7 : 9CE=2 3，連結AE、BE BD,且AE、BD交于點F,則Sa def：A.4 : 10：6DB=二、填空題 7.如圖，梯形8.如圖， ABC中，點 D在邊AB上，滿足/ ADC=/ ACB若AC=2 AD=1,則9如圖，在厶PAB中, M N是AB上兩點，且厶PMN是等邊三角形， BPMhA PAN則/ APB的度數是10.如圖，

8、ABC中, DE/ BC,BE,CD交于點 F,且 $ efc=3Sefd，則 Sade： Sbcc11.如圖，丁軒同學在晚上由路燈AC走向路燈BD,當他走到點P時，發(fā)現身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行20m到達Q點時，發(fā)現身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，已知丁軒同學的身高是 1.5m,兩個路燈的高度都是 9m則兩路燈之間的距離是 12.如圖，銳角 ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高， ABCD BDE的面積分別等于 18和2, DE=2 則AC邊上的高為.三、解答題13.為了測量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時刻某人進行了如下操作： 圖（1）：

9、測得竹竿CD的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE長2.4米.圖（2）：測得落在地面的樹影長2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請問圖（1）和圖（2）中的樹高各是多少?14. （1）閱讀下列材料，補全證明過程： 交OC于點F，作FGL BC于 G.求證：點已知：如圖，矩形 ABCD中, G是線段BC的一個三等分點.OE 1 證明：在矩形 ABCD中, OEL BC DCL BC 二 OE/ DC v =-,DC 2ACBD相交于點 O OEL BC于E,連結DEEF OE 1 匸=r? = 2 .EF 1三(2)請你仿照(1)的畫法，在原圖上畫出 BC的一個四等分點(要求保留畫圖痕跡，可不寫

10、畫法及證明過程)15.已知如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm BC=6cm點E自A點出發(fā)，以每秒1cm的速度向D點前進，同時點 F從D點以每秒2cm的速度向C點前進，若移動的時間為t，且OWt 6.(1)當t為多少時，DE=2DF(2)四邊形DEBF的面積是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.(3)以點D E、F為頂點的三角形能否與厶 BCD相似？若能，請求出所有可能的t的值；若不能，請說明理由.【答案與解析】也可能是直角邊2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本題要求運用相似三角形的面積比等于相似比的平方。由所以，又由-，可得4 :

11、沁，下略.DE6.A. ABCD中, AB/ DC, DEFA ABF,-朋酢5 g24 DEF與厶EBF等高，面積比等于對應底邊的比)，所以答案選A.1二、填空題7.【答案】一.【解析】T4Sa decSa ecbDEMA CEB是同高不同底的兩個三角形，即DEEB1-因為2SadecAB/ CD,所以 DECA BEA所以SaaEB EBDEAC ADAC28.【答案】3.【解析】tZ ADCZ ACB Z DAC=/ BAC/-A ACDA ABC,. ,AB-5AB ACAD7 4, BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120 .【解析】T BPMhA PAN - / BPMkZ

12、 A,v PMN是等邊三角形，即/ APN+Z BPM= 60,./ APB=Z BPM# MPN+/ APN= 60 +60 =120.Z A+Z APN= 60 ,10.【答案】1:9【解析】T Saefc=3Saefd , FC:DF=3:1，又t DE/ BC, BFCA EFD,即 BCDE=FC:FD=3:1,由厶 ADEA ABC 即 Saade : Subc=1：9.11.【答案】30m.12.【答案】6.【解析】T AD,CE分別為BC,AB邊上的高，AB bd Z ADB=/ BEC=90 , Z ABD玄 EBC Rt ABMRt CBE/. AB3A DBEBC BE 相似三角形面積比為相似比的平方，AC 2DE18 = 9,2AC =3 ,DE AC=3DE=3 2=6. h=2SAABC/AC=* 18/6=6 即 AC邊上的高是 6 .CE CD(1)TA CD0A ABE AE AB 長2.4米， AB=1.92米.即圖1的樹高為1.92米.(2)設墻上的影高落在地面上時的長度為x,樹高為h,竹竿CD的長為0.8米，其影CE長1米，三、解答題13.解析】又竹竿CD的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE1x14 3 一 = _ 解得 x=1.5 ( m), 樹的影長為：1.5+2.8=