平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(教學(xué)設(shè)計(jì))

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(教學(xué)設(shè)計(jì))?？谝宦氈?林召高一、學(xué)情分析：本教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)對象為普通中學(xué)學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念、夾角及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)

2、乘法運(yùn)算的影響，也會造成學(xué)生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而數(shù)量積的概念與運(yùn)算律的理解就成為了本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)。二、教學(xué)目標(biāo)（三維目標(biāo)）：1、知識與技能：（1）理解平面向量數(shù)量積的幾何意義及其物理意義； （2）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（3）理解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（4）了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2、過程與方法：這節(jié)課主要采用類比法，數(shù)形結(jié)合法和探究式教學(xué)法。通過按照 “物理模型概念性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用”這種研究思路來

3、研究了向量的數(shù)量積運(yùn)算。先有物理模型引入數(shù)量積的概念，接著了解了數(shù)量積的幾何意義，進(jìn)一步總結(jié)出數(shù)量積的性質(zhì)，再通過類比實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律，用數(shù)形結(jié)合的思想證明驗(yàn)證，得到了數(shù)量積的三條運(yùn)算律。最后我們將數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律來解決了一些問題，3、情感態(tài)度與價(jià)值：（1）通過用向量數(shù)量積解決問題的思想的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識抽象性、概括性和應(yīng)用性，培養(yǎng)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識；（2）通過對向量數(shù)量積及所產(chǎn)生的思想方法的學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神。三、教學(xué)重難點(diǎn)：

4、重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角。難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。四、課時(shí)安排： 1課時(shí)五、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景，引出新課用問題方式引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法學(xué)習(xí)新的向量運(yùn)算。向量有加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，既然有數(shù)乘向量，我們會想：存不存在兩個(gè)向量相乘的運(yùn)算呢？如果存在，類比前面的線性運(yùn)算，兩個(gè)向量乘積的結(jié)果會是什么？它可能會具有什么樣的性質(zhì)，擁有哪些運(yùn)算律？帶著這些問題，這節(jié)課我們就來探究學(xué)習(xí)向量的另一種運(yùn)算，向量的數(shù)量積。導(dǎo)入課題：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。若一個(gè)物體在力的作用

5、下產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功，其中是和的夾角。功是力在位移方向上的分量與位移大小的乘積，f和s在物理中叫矢量，w叫標(biāo)量，在數(shù)學(xué)中，我們把f和s叫做向量，w其實(shí)就是一個(gè)數(shù)量。從中我們得到一個(gè)啟發(fā)：能否將功看成是兩個(gè)“向量相乘”的一種運(yùn)算的結(jié)果？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。前面我們學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，那么向量的線性運(yùn)算包含了那些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？生：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。這些運(yùn)算的結(jié)果都是向量。 明白新舊知識的聯(lián)系性。以疑惑的方式提出問題，一下子引入課題，給學(xué)生一種沖擊，激起學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。以物理問題為背景，初步認(rèn)識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。

6、師生探究,構(gòu)建新知定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？已知兩個(gè)非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即（其中是與的夾角）。定義說明：規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。記法“”中間的“”不可以省略，也不可以用“ ”代替。如何確定兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的符號，什么情況下值為零？數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號取決于與的夾角（）的大小仿照物理問題建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。學(xué)生討論，并完成下表：的范圍的符號00900=9009000的情況,

7、為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)0時(shí)，向量與，與的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？師生活動：證明運(yùn)算律（3）（猜想）要求學(xué)生通過對過去所學(xué)過的運(yùn)算律的回顧類比得出數(shù)量積的運(yùn)算律。通過討論糾錯(cuò)來理解不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，看到數(shù)學(xué)的法則與法則間的相互聯(lián)系與區(qū)別，體會法則，學(xué)習(xí)研究的重要性。學(xué)會利用定義證明運(yùn)算律（1）(2)，運(yùn)算律(3)的圖形構(gòu)造有些困難，先讓學(xué)生討論，后根據(jù)學(xué)生的情況加以指導(dǎo)或共同完成。例題剖析，鞏固新知課本第105頁例2對任意向量，是否有以下結(jié)論：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+)(-)= 22課本第105頁例3已知=6，=4, 與的

8、夾角為600，求（+2）（-3）。課本第105頁例4已知=3，=4, 且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直？ 例2學(xué)生獨(dú)立完成。例3師生共同完成，并思考此運(yùn)算過程類似于哪種實(shí)數(shù)運(yùn)算？例4師生共同完成，并討論：通過本題，你有什么體會？通過計(jì)算鞏固對定義的理解。讓學(xué)生體會解題中運(yùn)算律的作用，比較向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的異同。學(xué)會利用數(shù)量積來解決垂直問題，體會用數(shù)量積將幾何問題代數(shù)化的解題思想，體現(xiàn)向量的工具性。嘗試練習(xí)，體驗(yàn)成功1、課本第106頁練習(xí)2、32、思考題：用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角加強(qiáng)學(xué)生的練習(xí)。通過觀察、問答等方式對學(xué)生的掌握情況有了進(jìn)一步的了解和把握。歸納總結(jié)，升華提高小結(jié)： 1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及探究、解決問題的方法。師生共同歸納總結(jié)。通過師生共同總結(jié)，加強(qiáng)了學(xué)生對概念法則的理解和掌握，體會整個(gè)內(nèi)容的研究過程，明白了為什么要學(xué)這些內(nèi)容，學(xué)了這些內(nèi)容可以做什么，這對以后的學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義。作業(yè)布置，任務(wù)后延布置