輔助圓(解題精講

1、第二十五講輔助圓在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質，問題才得以解決.而我們需要的圓并不存在 （有時題設中沒有涉及圓；有時雖然題設涉及圓，但是此圓并 不是我們需要用的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出 來，添補輔助圓的常見方法1利用圓的定義添補輔助圓；2作三角形的外接圓；3 運用四點共圓的判定方法：（1）若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓.（2）同底同側張等角的三角形，各頂點共圓.（3）若四邊形ABCD的對角線相交于 P,且PAPC=PB PD,則它的四個頂點共圓.若四邊形 ABCD的一組對邊 AB、DC的延長線相交于 P,且PA PB=

2、 PC PD,則它 的四個頂點共圓.【例題求解】一利用圓的定義添加輔助圓【例1】 如圖，若 PA=PB，/ APB=2 / ACB , AC與PB交于點 P,且PB=4 , PD=3，則 AD DC 等于（）A 6 B 7 C. 12 D 16思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了條件.注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.變式練習：如圖，已知 OA=OB=OC，且/ AOB= k / BOC，則/ ACB是/ BAC的（）A .倍 B .是k倍 C . 2k2作三角形的外接圓【例2】如圖，在厶ABC中，AB=AC ,任

3、意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ ,求證： ABC的外心O與A, P, Q四點共圓.思路點撥 先作出 ABC的外心O,連PO、OQ，將問題轉化為證明角相等.變式練習：5.如圖，在等腰梯形ABCD 中,AB / CD , AB=998 ,AD上，滿足條件的/A . 0B . 1BPC=90。的點P的個數(shù)為（）C . 21D.不小于3的整數(shù)（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）三四點共圓1 若有一個四邊形對角互補，則四邊形的四個頂點四點共圓?！纠?】如圖；已知 H是厶ABC三條高的交點，連結 DF , 內心.的變式練習：如圖，直線 AB和AC與O O分別相切于 B、C, P為圓上一點，P到AB、AC

4、的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）思路點撥 連DF , EF，尋找PD、PE、PF之間的關系，證明 PDFPFE,而發(fā)現(xiàn)P、D、 B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關鍵.注：圓具有豐富的性質：（1）圓的對稱性；（2）等圓或同圓中不同名稱量的轉化；（3）與圓相關的角；（4）圓中比例線段.適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質的運用創(chuàng)造了條件，圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”A2同底同側有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）【例4】如圖，在 ABC中，高 BE、C

5、F相交于 H，且/ BHC=135 , G ABC內的一 點，且 GB=GC，/ BGC = 3/ A，連結 HG，求證：HG 平分/ BHF .思路點撥 經(jīng)計算可得/ A=45 , ABE , BFH皆為等腰直角三角形，只需證/GHB=/ GHF=22.5 .由/ BGC=3 / A=135 =Z GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉化靈活的特點 證明.注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解.變式練習：已知等腰三角形ABC , AB=AC , AD垂直BC于D , DE垂直AC于E , F是DE中點，求證： AF垂直于BE。3把被證共圓的四點兩

6、兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線 段之積相等，即可肯定這四點共圓；【例5】如圖，P是O O外一點，PA和PB是O O的切線，A , B為切點，P O與AB交于點 M，過M任作O O的弦CD .求證：/ CPO= / DPO.4把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓.【例6】如圖，P是O O外一點，PA切O O于A , PBC是O O的割線，AD丄PO于D .求證:PB PCPD CD思路點撥因所證比例線段不是對應邊，故不能通過判定明.PA2=PD PO=PB

7、 PC, B、C、0、D 共圓，這樣連 此達到證明的目的.PBD與厶PCD相似證0B，就得多對相似三角形，以注：四點共圓既是一類問題， 又是平面幾何中一個重要的證明方法， 它和證明三角形全等和 相似三角形有著同等重要的地位， 這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中 或轉移，而且可直接運用圓的性質為解題服務.5五點共圓（7456）【例 7】如圖，已知在凸四邊形ABCDE 中，/ BAE=3 , BC=CD=DE，且/ BCD= /CDE= 1802 求證：/ BAC= / CAD= / DAK ,（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）課外訓練A組1.如圖，正方形ABCD的中心為0,面積為1989cm

8、2, P為正方形內一點， 且/ OPB=45 ,PA: PB=5 : 14,貝U PB 的長為 .2 .如圖，在 ABC 中，AB=AC=2 , BC 邊上有 100個不同的點 Pi、P2，P100，記mi APi2 BPi PiC （i=1 , 2,100）,則 mi m2 m100 =.3.設 ABC三邊上的高分別為 AD、BE、CF,且其垂心H不與任一頂點重合，則由點 A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有（）A . 3個 B . 4個 C. 5個 D . 6個（2000年太原市競賽題）（費3趙）6. 如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高,12A. 3B . -C.33S a

9、bc= 18 , S dec=2，則 COSC 等于(&如圖，已知 ABC中，AH是高，AT是角平分線，且求證:/ AHD= / AHE ; (2)BHBDCHCETD 丄 AB , TE 丄 AC .1在凸四邊形 ABCD的BC邊上取兩點E,F, E 比 F 離 B 更近，如果/ BAE=CDF / EAF= /FDE 證明：/ FAC= / EDB2如圖在 ABC中，AB=AC , D是BC邊上任意C點G是C點關于直線AD的對稱點，C*與AD交與P試問當D在BC （除BC中點外）上運動時， AD AP的值有何變化？請加以 證明。3等邊1ABC中，D, E分別是BC,CA邊上的點，且 BD=

10、CE= ? CD.連接BE , CD交于P,證明：CP垂直AD。4如圖,NS是？ O的直徑，弦 AB垂直NS于M , P為弧ANB上異于N的一點，PS交AB 與R, PM的延長線交？ O與Q,求證：RSMQSC組1如圖，已知點 P是O O外一點，PS、PT是O O的兩條切線，過點 P作O O的割線PAB,交O O A、B兩點，與ST交于點C.求證：丄 (_!)PC 2 PA PBABC的兩條高，求證:(國家理科實驗班招生試題)2. 已知BE,CF是銳角EF的中垂線相交于一點。3已知三角形ABC中,ABC ACB , BD,CE是角平分線，求證： CEBD4 ABC中，M為AC的中點，BH AC

11、于H , AP,CQ垂直于 B的平分線，垂足為 P,Q 求證：M,H,P,Q四點共圓。2# 1 DFfcfBlPCrEF，ZDPF + ZB=ZFPErZC HOt,/DFF=/FPE.PDF-/PBF=ZfA tPfQ 凹點其BL7 F川士 FD，PO=PBPG VB.C.O.DVS 點共曲.A CDs心巾已 穩(wěn)語土器X APOWAPRD 曙器嚅 由加 豁喘w$ V ZAIBOZ-BHC-HS ZfiGC=VAl35ZA2JW=45,:、乩G+CH 四點共*.腸ZBG；m/GNBm牛竺=22.y*XZBWF-45& HG 平分HF.【単力INK)L 421 1003- D .顯見井取應有卞列

12、四點共ihAFHE,BFHD疋DHE.AFDGBFEUfDFA4. D S- C轉何16萍址為直螳AB寫以C?D為直徑的徒豐莖秦6, B7, 井駅由 BDHF,CDHE0,4MllZfSH-/FDfl = ZFCH-ZFD/f,D；/ZFDEf (lJDE*HL!Ar A直輕的HlZAHD=ZATD*ZlHE=-ZATE!jlZATD=ZATE,Z4WD=ZAHri(2)AAWB與陀丁冊松井壯乩稈AAH脅皿/出匸聽=常啊小冃弘MEC,得器=等 由于論耐謁噁乳 IS ED宓由 BC=CD=DE1ZBCD=ZCDE：=lWd-2flTZCBD=ZrDB=ZBCZ*FCQ,(|BCDiC)Ef ；*

13、 ZKT=(lfi0,-2ir)-tf=180t-3fl+ilSZBA=3a+A A/QE共囲.同理可證乩艮口E 共此裁乩乩GD*E 其圍弘 SCM,aAlPAMM=MB,XB10Pt .(1M MP=AM1. X MC MD-MA * MB-A.W1, MD JKO MO-MF.Z.O.D,PX0ASt5ia=OD. A CPODPQ,1L試。點泰佃丄AB于剛卩4里尹.由切割鎮(zhèn)定瀬曲訂川肝虔os氏試防好于LMP丄貳 由相加彥可證:PWPD盹又P-PA* PB，MZCDOZCW=W ；.EQD四底胡0C為輕刪 上止咱F阻PDPO.if PAPP PE=阻化朋訐去靑十掙參考答案例1 B 練習1

14、D例2Jipjfi進細衛(wèi)準DOCF號AQAQ中狀IM.由已知陽BQ ACP=AQ. XV OABC 的外心二/OCF=/OAGT孫宴三矗於的外右心在卩麗的平労孩上*；/CAO/OM),從而000出3.| OCPOAQ,于4ZCFO-ZAQO 敲 O,A,PtQ 園慮共練習2 C例3肚卵DHKCWffid財鉅F冊咋FDH叱氓IMDHMFDE平繼練習32 旅 1 DF.fBiPClEFZDPF+ZB-ZFPE+ZC-UO*JSzDPF=ZFPEPlzPDf = ZPf=ZPCE = /EFP/ADPFsFPE 禺 PF PD * P.例47 Z A= 1B0* - Z BHC-135* ZBGC=

15、3ZA= 135*tZABH = +5h 民SGH 四點ZgCGZgHB- 2 U22. 5XZBWF-451#ZGHB-yZBHF(故 HG 平ZBHR練習49.it明 取關中點乩連則有ZOZAdZ底所口 WD 皿,疇器撫fiF=般則器二器MsWEtt ZAFE = ZAVD,.4MD*四點共虬從而有ZMM = 9ff .ffi MF/甌所以 AFlBE.例5-崖結 OAJJOA丄PAAJtfMB*AB丄OP, AOM* =4-,2 MC * M0=U4 勵壬砒匸 MAMOM(MP,.；AO,D.P.Cffl 點共 ILXQCQD, : ZCPO-ZDPO.7 PAPD- fO=f- PC*

16、 曽BCthD四豈共BKA APClSiPO乩 冷岳需耳器 XX X3咖 啜=需 由的器=需例7iSBD.er*J3CCD=DFPZBCD-CDr=l801-RZCilD=ZC)B=ZDC=ZDEr=criBCDi2ACDE( : ZBC-a8CJ-2ff)-a10flF-3flhii6ZfiAE-3o,A A，BX.ME.同厘町IE丄艮0上其僵點兒EC氐課外練習A組：6.DL 42 妊第(M花出AQPEg點井II南厶4陽王/肌出1 4003. D .顯見什幕應有下網(wǎng)四點典Jh沖FHABFHDfDHEMFDGBFEGCDFAB組：I (DD.E,H(EUAr ARfMHB*心丁創(chuàng)亦粉的HAAH

17、M丁隔喘冃常同理上AH餉乙妝隔欝器由于1IM7在凸四邊形AACD的BC邊上取関點EFE比FJ(屈臭近 tjlZ-ZCAfiZV-Z 證明;ZC = Z?B.證明 岡上4F = /Ff碼故四點共圖(如圖口- Sh WZ4O + ZATO* 18ff 又Z/WD-Z/J + ZMP, Z DCS ADFE - Z CPA歷/酗E = ZCD八故ZR4*/?U初F+呵知 兒乩C 期慮 j2 兆関斷肛ZWWZC-ZDC = Z*1C-ZJMFZfiC.M-JI M* r? |- A uAl ru r j*T a=Z4C = ZPrtf 得 WDsWH 進麗有羽 M 器，即AOAPAB2 值人3工證明S

18、A4B61的邊長為九測G) = 2s(? = 4作耐丄M俺足匚 RZOCE = 6(Pt 故_ce = CDcosSF = atE與再合AW-2BC,可知= 故 CE P四點共肚有ZMSZ仍伽9(E佩證明 如阿連結松交朋于G連結旳. CS因笹丄檢有馭又NS為直徑.有 四點共虬CS為苴徑、CS MQ( MQ不能為直徑h且百上CQM = ZCS*f.yZNQP 二Z必巴故Z CW二Z血匕Rii(3f5空4 RB対他有 CS=ftS.所以 RSMQ1 S! B T T_ = = F 1MM r ST 9T 0HT - PF-II! J*亍麗4日QEIMI猶遊,E.y.Fa產(chǎn)真J贏.一卜也、” HO蟲惟OE丄腫 TEtll PE-色產(chǎn)三由切胡紅定用臥PS* = M，PflTjftOSTOP.aiOP JtST 于DOPST, 由相ft弗可謹，尸冒冃円PD,R戶孑平PH,而zCDO-gCEDr駅汽 仇tE/XD陽月枉tlOC為直餐的抑 上匸PC* PEHMiJP八陽=RPE少尹 PC.葉再畚需十