定積分應用題附答案

1、定積分的應用復習題填空:1曲線y In x, y In a, y In b（0 ab）及y軸所圍成的平面圖形的面積ln b為 A = eydy=b-aIn a J2.曲線yx2和y代所圍成的平面圖形的面積是1計算題:1. 求由拋物線y2 = 2x與直線2x + y -2 = 0 所圍成的圖形的面積。解：（1確定積分變量為y，解方程組y2 2xxi 1/2x2 2得,y 2x 2yi 1y?21 一即拋物線與直線的交點為（，1）和（2，- 2 ）.故所求圖形在直線y = 1和2y = - 2 之間，即積分區(qū)間為2, 1 。（2）在區(qū)間2, 1上，任取一小區(qū)間為y , y + dy ,對應的窄條面

2、積11 2近似于高為（1 y） - y2,底為dy的矩形面積，從而得到面積元素22dA = ( 1 1y)-22ydy（3）所求圖形面積A =/ 1 、 1 2(1- 2y)-2ydy = y -3 1 6 24y2 -右3462. 求拋物線y = - x 2 + 4x - 3及其在點（0, - 3）和（3, 0）處的切線所圍成的圖形的面積。解：由 y = - x 2 + 4x -3 得 y 2x 4, y（0）4, y（3）2。拋物線在點（0, - 3）處的切線方程為y = 4x -3 ;在點（3, 0）處的切線方程為y = - 2x + 6 ;兩切線的交點坐標為（-,3 ）2故面積A =l

3、(4x 3) (x2 4x 3)dx：( 2x26)(x2 4x3) dx 93求由擺線x = a （tsint) , y = a( 1- cost)的一拱（t 2 )與橫軸所圍成的圖形的面積解：Ay(x)dx2a(1 cost) a(10cost)dt(12costcos2t小 2t 3 a4.求由下列曲線所圍成的圖形的公共部分的面積:r = 3 cosr = 1 + cos解：兩曲線的交點由3cos1 cos,解得0中cos)2d213(3cos2)2d03(12cos1 cos22)d9行1cos2)d545.計算由擺線 x = a (t-sint) , y = a ( 1- cost)

4、的一拱（0 t 2 ），直線y = 0所圍成的圖形分別繞X軸、丫軸旋轉而成的旋轉體的體積。解：Vxa 2y2(x)dxa2(1 cost)2 a(1 cost)dt(13cost3cos2t31 u 23cos t)dt 5 a2aVy0x；(y)dy2a 20xjy)dy2 a2(t sint)2 取鳳七oa2(t sint)2 asintdt(tsint)2 sin tdt6.求由x2 + y 2 = 2和y = x 2所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積解：(1取積分變量為x,為求積分區(qū)間，解方程組:x2得圓與拋物線的兩個交點為y所以積分區(qū)間為卜1 ，1(2)在區(qū)間-1,1上任取一小

5、區(qū)間x, x+dx，與它對應的薄片體積近似于 (2 - x 2)-x4 dx ,從而得到體積元素2424dV = ( 2 - x )- x dx =( 2 - x - x)dx.(3)故 Vx =11 ( 2 - x 2- x 4)dx =44157.求圓盤(x2)2解設旋轉體積為V，則Vy21繞丫軸旋轉而成的旋轉體的體積。1 (x 2)2dx2*22 sint 則V=42 (2 sint)cos2tdt22 (1 cos2t)dt22 sint cos2 tdt2(t1sin 2t) |228.設有拋物線C: y = a -bx2 ( a 0 , b 0 )，試確定常數a , b的值，使得C

6、與 直線y = x + 1相切，且C與X軸所圍圖形繞丫軸旋轉所得旋轉體的體積達到 最大。解：設切點坐標為(x , y ),由于拋物線與y = x + 1相切，故有 K = - 2bx = 1，得 x2b2b12b1解得a14b1 ，即：b4(1 a)由 V(a)x2dydy2b2 a2(1 a)2令 V (a)2 a(23a)0 得 a 23、 x3 .a cos t亠9.設星形線萬程為3( a 0),求:as in 3ty(1) 由星形線所圍圖形的面積(2) 星形線的長度。解：(1)由對稱性得a032a 4 y(x)dx 4 asin t 3acos t( sint)dt12a2 2 sin

7、41cos2 tdt0(2) L = 4 ?Jx2(t) y2(t) dt0(3asin21 cost)2 dt=4 2 ( 3acos21 sint)20= 12a02si ntcostdt 6at costsin自原點到與具有鉛直的切線10.計算曲線xd , yd1 1最近點的弧長。dysint解：業(yè)呼t tantdxdxcostdtt曲線上具有鉛直切線且與原點距離最近的點所對應的參數為t ,原點對應的2參數t = 1故J22c;st sint dt l ntf I n?11 .設Si為曲線y = x2、直線y = t 2 (t為參數)及丫軸所圍圖形的面積；S2 為曲線y = x2、直線y = t 2及x = 1所圍圖形的面積。問t為何值時，S = S1+S2 取得最大值、最小值。t 221224 321解：S(t) (t2 x2)dx(x2 t2)dxt3 t2033令 S(t) 4t22t 0 ,解得t10 ,t2-21于是S(0),S(2)1-,S(1)23243故 Smax = S(1)=2,Smin :31 1 =s()-24三.證明題:1.證明：曲線y = sinx的一個周期的弧長等于橢圓 2x2+ y2 = 2的周長。 證明：y = sinx的一