大學(xué)統(tǒng)計學(xué)第七章練習(xí)題及標(biāo)準答案

1、練習(xí)題7.1第7章參數(shù)估計從一個標(biāo)準差為5的總體中抽出一個樣本量為40的樣本，樣本均值為25。樣本均值的抽樣標(biāo)準差crX等于多少？在95%的置信水平下，邊際誤差是多少?解:已知C =5, n = 40, X = 25樣本均值的抽樣標(biāo)準差 65 H.794740已知 b =5, n =4O,X =25，bx7101-a =95%= Z0.025 =1-96邊際誤差 E = Z(y2=1-96*J4vn也0 1.557.23周的時間里選取 49名顧客某快餐店想要估計每位顧客午餐的平均花費金額，在為期 組成了一個簡單隨機樣本。假定總體標(biāo)準差為15元，求樣本均值的抽樣標(biāo)準誤差；在95%的置信水平下，求

2、邊際誤差；如果樣本均值為120元，求總體均值 卩的95%的置信區(qū)間。解.已知.根據(jù)查表得Za/2 =1.96(1)標(biāo)準誤差：b X15=-=2.14(2).已知 Za2 =1.96所以邊際誤差=Za/2*廠Jn1.96*15 =4.2749(3)置信區(qū)間：XZ15= 120 4* 1.96 =(115.8,124.2 )V497.3從一個總體中隨機抽取n =100的隨機樣本，得到X =104560 ,假定總體標(biāo)準差b =85414，構(gòu)建總體均值 的95%的置信區(qū)間。勺兒96Zg，睪=1.96* 85414 =16741.144 兀 4nX -Zg.曠=104560 -16741.144 =87

3、818.856_cX+.石=104560 +16741.144 =121301.144置信區(qū)間：（87818.856，121301.144）7.4從總體中抽取一個 n= 100的簡單隨機樣本，得到 X=81，s = 12。（1）構(gòu)建卩的90%的置信區(qū)間。（2）構(gòu)建卩的95%的置信區(qū)間。（3）構(gòu)建卩的99%的置信區(qū)間。解；由題意知 n= 100, X=81,s=12.（1）置信水平為 1-a=90%，貝y Za =1.645.2S12由公式 X ZaX 丁 =81 1.645= =81 1.9742 vnJ100即 81 1.974 =(79.026,82.974 ,則4的90%的置信區(qū)間為79

4、.02682.974（2）置信水平為1-a =95% ,Z/.962S由公式得xZaX=812 Un1.96咒竺=81 2.352100即 81 2.352= ( 78.648 , 83.352), 則卩的95%的置信區(qū)間為 78.64883.352(3)置信水平為 1 -a =99%，則 Za =2.576.2-s12由公式 X 丁 = =81 2.576X= =81 3.0962 vnV100即 81 3.1則4的99%的置信區(qū)間為7.5利用下面的信息，構(gòu)建總體均值的置信區(qū)間。（1）X =25，0 =3.5，n =60,置信水平為 95%。（2） X 119.6， S = 23.89， n

5、 = 75，置信水平為 98%。（3） X =3.419, s=0.974, n =32,置信水平為 90%。 X=25,b=3.5, n= 60,置信水平為 95%解：Za=1.96,75件 i.96汽 3.52 vnL =0.89760置信下限：X -Q-=25-0.89 =24.112 vn置信上限：X +Za 丁 =25 +0.89 =25.892 % n/.置信區(qū)間為（24.11,25.89） X =119.6,23.89, n = 75,置信水平為 98%。解：=2.332Zj牛=2.33 咒2389 =6.432 JnJ75s置信下限：X -Za =119.6-6.43 = 11

6、3.172 Jns置信上限：X +Zg 了 =119.6 +6.43 =126.032 Jn二置信區(qū)間為110.17,126.03） X =3.419,s=0.974,n=32,置信水平為 90%s根據(jù) t=0.1，查 t 分布表可得Z0.05（31） =1.645.Zg2（）=0.283V n所以該總體的置信區(qū)間為sX 22 （?。?3.419 0.283 Vn即 3.419 0.283=（ 3.136，3.702）所以該總體的置信區(qū)間為3.136-3.702.7.6禾U用下面的信息，構(gòu)建總體均值卩的置信區(qū)間。（1）總體服從正態(tài)分布，且已知 b =5001 n =15 1 X =8900，置

7、信水平為95%。(2)總體不服從正態(tài)分布，且已知b =500，n(3)總體不服從正態(tài)分布，c未知，n = 35，90%。(4)總體不服從正態(tài)分布，c未知，n = 35，99%。(1)解：已知 b =500，=35，X = 8900，置信水平為95%。X =8900， S = 500，X = 8900， S = 500，置信水平為置信水平為n =15,X = 8900，-a = 95%，2= 1.96X Za =8900 1.96x畀=(8647,9153)2 JnV15所以總體均值 卩的置信區(qū)間為(8647，9153)(2)解：已知 b = 500， n = 35， X = 8900，1- a

8、 = 95 %，= 1.96_CT500X z仃=8900 1.96= (8734,9066)2 Jnv35所以總體均值卩的置信區(qū)間為(8734, 9066) (3)解：已知n=35 , x=8900, s=500,由于總體方差未知，但為大樣本,可用樣本方差來代替總體方差置信水平 1a =90% Zq =1.645置信區(qū)間為 Xz仃卓=81 1.645X 聖0 =(8761,9039)2 Jn寸 35所以總體均值4的置信區(qū)間為(8761，9039)(4)解：已知n=35，x=8900，s = 500，由于總體方差未知，但為大樣本，可用樣本方差來代替總體方差置信水平 1 a =99% -=2.5

9、82置信區(qū)間為 XZa- = 8900 2.58咒聖=(8682,9118)2 VnJ35所以總體均值4的置信區(qū)間為(8682，9118)7.7某大學(xué)為了解學(xué)生每天上網(wǎng)的時間，在全校7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機抽取36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時間，得到的數(shù)據(jù)見Book7.7 (單位：h)。求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時間的置信區(qū)間，置信水平分別為90%、95%和99%。解：已知：X =3.3167 s=1.6093n=36 1.當(dāng)置信水平為90%時，Z = 1.645，2XZ.- =3.3167 1.645093 = 3.3167 0.45322 Jn36所以置信區(qū)間為（2.88，3.76）2

10、.當(dāng)置信水平為95%時，Zg =1.96，2XZ 韋=3.3167 1.9616093 =3.3167 0.54452 Vnyl36所以置信區(qū)間為（2.80，3.84）3.當(dāng)置信水平為99%時，Z岔=2.58，2XZg- =3.3167 2.5816093 =3.3167 0.73052Vn36所以置信區(qū)間為（2.63，4.01）7.8從一個正態(tài)總體中隨機抽取樣本量為8的樣本，各樣本值見Book7.8。求總體均值95%的置信區(qū)間。已知：總體服從正態(tài)分布，但b未知，n=8為小樣本，a =0.05，t0.05 （8-1） = 2.365V根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：X = 10,s = 3.46總體均值

11、卩的95%的置信區(qū)間為：X ta卓 =10 2.3652 Jn3 46咒晉=102.89，即（7.11,V812.89）。7.9某居民小區(qū)為研究職工上班從家里到單位的距離，抽取了由 本，他們到單位的距離（單位：km）數(shù)據(jù)見Book7.9。距離95%的置信區(qū)間。16個人組成的一個隨機樣 求職工上班從家里到單位平均已知：總體服從正態(tài)分布，但 CT 未知，n=16 為小樣本，a =0.05，t0.05/2（16-1） = 2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算可得：從家里到單位平均距離得X =9.375， s=4.11395%的置信區(qū)間為：-sX ta/2 J-4 1139.375 2.131%=9.375 2

12、.191即（7.18，11.57）。7.10從一批零件中隨機抽取 36個，測得其平均長度為149.5cm,標(biāo)準差為1.93cm。（1）試確定該種零件平均長度 95%的置信區(qū)間。（2）在上面的估計中，你使用了統(tǒng)計中的哪一個重要定理？請簡要解釋這一定理。解：已知 CT =103, n=36, X =149.5,置信水平為1- =95%，查標(biāo)準正態(tài)分布表得2q/2 二1-96.根據(jù)公式得:X Za/2 卓=149.51.96x 孚J nJ36即 149.5 1.96x-103=（ 148.9，150.1）J36答：該零件平均長度 95%的置信區(qū)間為148.9150.1（3）在上面的估計中，你使用了統(tǒng)

13、計中的哪一個重要定理？請簡要解釋這一定理。答：中心極限定理論證。如果總體變量存在有限的平均數(shù)和方差，那么，不論這個總體的分布如何，隨著樣本容量的增加， 樣本均值的分布便趨近正態(tài)分布。在現(xiàn)實生活中，一個隨機變量服從正態(tài)分布未必很多，但是多個隨即變量和的分布趨于正態(tài)分布則是普遍存在的。樣本均值也是一種隨機變量和的分布，因此在樣本容量充分大的條件下，樣本均值也趨近正態(tài)分布，這位抽樣誤差的概率估計理論提供了理論基礎(chǔ)。7.11某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝食品采用自動打包機包裝，每袋標(biāo)準重量為100g。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中按重復(fù)抽樣隨機抽取50包進行檢查，測得每包重量（單位：g）見Book7.11 。已知食品重量

14、服從正態(tài)分布，要求：（1）確定該種食品平均重量的95%的置信區(qū)間。（2）如果規(guī)定食品重量低于 100g屬于不合格，確定該批食品合格率的 95%的置信區(qū) 間。（1）已知：總體服從正態(tài)分布，但b未知。n=50為大樣本。a =0.05，Z0.05/2 =1.96根據(jù)樣本計算可知X =101.32 s=1.63該種食品平均重量的 95%的置信區(qū)間為X Z儀2S/ jn =101.32 1.96*1.63/（50 = 101.32 0.45即（100.87, 101.77）（2 ）由樣本數(shù)據(jù)可知，樣本合格率:P = 45/50 =0.9。該批食品合格率的95%的置信區(qū)間為:P Za/2JP（1 P）=0

15、.9 1.960.9（1 0.9） =0.9 0.08，即（0.82，0.98）V n50答：該批食品合格率的95%的置信區(qū)間為：（0.82，0.98）7.12假設(shè)總體服從正態(tài)分布，利用Book7.12的數(shù)據(jù)構(gòu)建總體均值 卩的99%的置信區(qū)間。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的樣本均值和標(biāo)準差如下；x =16.13忑=0.8706 E= Z 0 2 Jnb0.8706=2.58*=0.455置信區(qū)間為XE所以置信區(qū)間為（15.68，16.58）為此隨機抽取了 18 h)。假定員工每周加班的 90%的置信區(qū)間。7.13 一家研究機構(gòu)想估計在網(wǎng)絡(luò)公司工作的員工每周加班的平均時間, 名員工，得到他們每周加班的時間數(shù)

16、據(jù)見Book7.13 (單位:時間服從正態(tài)分布，估計網(wǎng)絡(luò)公司員工平均每周加班時間的解：已知 X =13.56 CT =7.80 ot =0.1 n=1892置信區(qū)間=X - Z% ct/jn , X + Z掘 cr/Jn 所以置信區(qū)間=13.56-1.645*(7.80/ J18),13.56+1.645*(7.80/(18)=10.36,16.767.14禾U用下面的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建總體比例兀的置信區(qū)間。=44 , p= 0.51，置信水平為99%。= 300, p = 0.82，置信水平為 95%。= 1150, p= 0.48，置信水平為 90%。=44 , p= 0.51，置信水平為 99

17、%。解：由題意,已知n=44,置信水平a=99%, Za/2=2.58又檢驗統(tǒng)計量為：P Z jP(1 p), 故代入數(shù)值計算得,PZ J p(1 p) = ( 0.316, 0.704), 總體比例兀的置信區(qū)間為(0.316, 0.704)V n(2) n = 300, p = 0.82，置信水平為 95%。解：由題意,已知n=300,置信水平a=95%, Za/2=1.96又檢驗統(tǒng)計量為：P Z jP(1 p), 故代入數(shù)值計算得,PzJ _= (0.777, 0.863), 總體比例兀的置信區(qū)間為(0.777, 0.863)、n(3) n =1150, p =0.48，置信水平為 90%

18、。解：由題意,已知n=1150,置信水平a=90%, Za/2 =1.645故代入數(shù)值計算得,又檢驗統(tǒng)計量為：P Z J P （1 P）P ZP(1 p) =( 0.456，0.504)，V n總體比例兀的置信區(qū)間為（0.456, 0.504）7.15在一項家電市場調(diào)查中，隨機抽取了 視機。其中擁有該品牌電視機的家庭占 為 90%和 95%。解：由題意可知 n=200，P=0.23200個居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電23%。求總體比例的置信區(qū)間，置信水平分別（1）當(dāng)置信水平為1 =90%時，Z2 =1.645所以 P z= 0.231.6450.23：(1一0.21)=0.23 0.0

19、4895200即 0.230.04895= ( 0.1811, 0.2789),（2）當(dāng)置信水平為1 =95%時，Za/2=1.96所以 P -P)=。心土!0.231 0.23)=0.23 0.05832200即 0.230.05832=（ 0.1717，0.28835）；答：在居民戶中擁有該品牌電視機的家庭在置信水平為90%的置信區(qū)間為（18.11%，27.89%），在置信水平為 95%的置信區(qū)間為（17.17%，28.835%）7.16 一位銀行的管理人員想估計每位顧客在該銀行的月平均存款額。他假設(shè)所有顧客月存款額的標(biāo)準差為1000元，要求估計誤差在 200元以內(nèi)，應(yīng)選取多大的樣本？解：

20、已知 CT =1000,E=1000,1 -a =99%,z儀 2 = 2.582*十由公式 n =可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167答：置信水平為99%，應(yīng)取167個樣本。 7.17要估計總體比例（1）E= 0.02，（2）E= 0.04，（3）E= 0.05，兀，計算下列個體所需的樣本容量。兀=0.40，置信水平為96%。兀未知，置信水平為 95%。兀=0.55，置信水平為90%。解：已知 E = 0.02，兀=0.40,，Za/2=2.05n = Za/?2兀(1 -兀)/E2 得n = 2.052 X 0.40(1 0.4p 0.022 =

21、2522答：個體所需的樣本容量為2522。(2)解：已知 E =0.04， Z82=1.96由 n =兀（1 一兀）/ E2 得2 2 2n= 1.96 X0.5 -0.04 =601答：個體所需的樣本容量為601。(3)解：已知 E =0.05，兀=0.55，2a/2 =1.6452O由n = 2口/2兀（1一兀）/得2 2n= 1.645 X 0.55x0.45 子 0.05 =268答：個體所需的樣本容量為7.18某居民小區(qū)共有居民 500戶，小區(qū)管理者準備采取一向新的供水設(shè)施，想了解居民是 否贊成。（1）（2）（1）已知：268。采取重復(fù)抽樣方法隨機抽取了求總體中贊成該項改革的戶數(shù)比例

22、的置信區(qū)間，置信水平為 如果小區(qū)管理者預(yù)計贊成的比例能達到50戶，其中有32戶贊成，18戶反對。95%。80%，應(yīng)抽取多少戶進行調(diào)查？n=50Z a =1.962根據(jù)抽樣結(jié)果計算的樣本比例為P=32/50=60%根據(jù)（7.8）式得：P 窖=64%1.96竺(穿即 64% 12.63% =(51.37%,76.63%)答：置信區(qū)間為（51.37%, 76.63% ）（2）已知兀=80%E=10%Z 甕= 1.962 2則有：n/LOF96 TWO.8)E20.12答：應(yīng)抽取62戶進行調(diào)查7.19根據(jù)下面的樣本結(jié)果，計算總體標(biāo)準差S = 2， n = 50。S = 0.02， n = 15。S =

23、 31， n = 22。a_解：已知 1a=90%，a =10%,=0.05,1=0.95222a （n-1）=342CT的90%的置信區(qū)間。= 21,= 1.3，= 167,1)查表知 /a2(n -1) =67，/2(n- 1)s22 n- 1)s2由公式 了 2 -b蘭72 01衛(wèi)2 222)查表知/丹(n-1) =23.6848, /_ 12a (n-1) = 6.570632由公式r：/2a2cr2孑(n -1)s2-721衛(wèi)2得 1(15-1)*0.02 寸 Y 23.6848cr 蘭卩15-1)0.02 ，解得(0.015，0.029)V 6.570632 23)查表知 ( n-

24、1)=32.6705，/ (n -1)=11.59132y(n - 1)s2由公式222 (n - 1)s20 -721空29得彳氣15俘，解得（24.85,41.73）7.20顧客到銀行辦理業(yè)務(wù)時往往需要等待一些時間，而等待時間的長短與許多因素有關(guān)，比如，銀行的業(yè)務(wù)員辦理業(yè)務(wù)的速度，顧客等待排隊的方式等等。為此，某銀行準備采取兩種排隊方式進行試驗，第一種排隊方式是所有顧客都進入一個等待隊列；第二種排隊方式是：顧客在三個業(yè)務(wù)窗口處列隊三排等待。為比較哪種排隊方式使顧客等待的時間更短，銀行各隨機抽取了10名顧客，他們在辦理業(yè)務(wù)時所等待的時間（單位：min）見 Book7.20。（1）構(gòu)建第一種排

25、隊方式等待時間標(biāo)準差的95%的置信區(qū)間。（2）構(gòu)建第二種排隊方式等待時間標(biāo)準差的95%的置信區(qū)間。（3）根據(jù)（1 ）和（2）的結(jié)果，你認為哪種排隊方式更好？7.21從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨立的隨機樣本，它們的均值和標(biāo)準差如下表：來自總體1的樣本來自總體2的樣本m =14X1 = 53.2S： =96.8n 2=7X2 =43.4S： =102.0(1)求44 卩2的90%的置信區(qū)間。(2)求41 卩2的95%的置信區(qū)間。(3)求氣-卩2的99%的置信區(qū)間。7.22來自總體1的樣本來自總體2的樣本X! = 25X2 = 23S2 =16S； =20從兩個正態(tài)總體中分別抽取兩個獨立的隨機樣本

26、，它們的均值和標(biāo)準差如下表:設(shè)ni95%的置信區(qū)間。=門2= 100，求已-巴=門2=10，622=b 2，=門2=10，62, 2“2，= 10,門2 = 20，2W = b= 10,匕=20，2 ”設(shè)ni設(shè)ni設(shè)設(shè)ni求 出-巴的95%的置信區(qū)間。求卩1 -巴的95%的置信區(qū)間。22，求已卩2的95%的置信區(qū)間。22，求卩1 一卩2的95%的置信區(qū)間。7.23Book7.23是由4對觀察值組成的隨機樣本。(1) 計算A與B各對觀察值之差，再利用得出的差值計算d和Sd。(2) 設(shè)41和込分別為總體A和總體B的均值，構(gòu)造巴= -卩2的95%的置信區(qū)間。7.24一家人才測評機構(gòu)對隨機抽取的10名

27、小企業(yè)的經(jīng)理人用兩種方法進行自信心測試，得到的自信心測試分數(shù)見Book7.24 。構(gòu)建兩種方法平均自信心得分之差 95%的置信區(qū)間。1的樣本比例為7.25從兩個總體中各抽取一個nj =n2 =250的獨立隨機樣本，來自總體Pj =40%，來自總體2的樣本比例為 P2=30%。(1) 構(gòu)造兀1 一兀2的90%的置信區(qū)間。(2) 構(gòu)造兀一兀2的95%的置信區(qū)間。7.26生產(chǎn)工序的方差是工序質(zhì)量的一個重要度量。 減小方差。兩部機器生產(chǎn)的袋茶重量(單位：當(dāng)方差較大時，需要對工序進行改進以g)的數(shù)據(jù)見 Book7.26。構(gòu)造兩個總體方差比 時/環(huán) 的95%的置信區(qū)間。2%。如果要求95%的置信區(qū)間，若要求7.27根據(jù)以往的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，某種產(chǎn)品的廢品率為邊際誤差不超過4%,應(yīng)抽取多大的樣本？解：已知P=2%E=4% 當(dāng)置信區(qū)間1-a為95%時Z = Ag2 Jp(1-p)2Z嚴(1-P)2n=72也P1-a =0.95Z a= Z 0.025 二1961.962 沢 0.02咒 0.98=47.060.042Z站 p(1- P)N=2也P答：所以應(yīng)取樣本數(shù) 48。7.28某超市想要估計每個顧客平均每次購物花費的金額。根據(jù)過去的經(jīng)驗，標(biāo)準差大約為120元，現(xiàn)要求以95%的置信水平估