如何用線性回歸分析和水平測試成績解讀

1、如何用線性回歸分析和水平測試成績估計(jì)學(xué)生高考成績評價(jià)學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況普通高中新課程學(xué)生學(xué)業(yè)成績評價(jià)研究”項(xiàng)目組從2005年開始，教育部 普通高中新課程學(xué)生學(xué)業(yè)成績評價(jià)研究”項(xiàng)目組開始高中必修課學(xué)業(yè)水平測試的研究活動(dòng)。作為高中必修課的學(xué)業(yè)水平測試，具有三個(gè)方面的功能： 第一，檢查學(xué)生經(jīng)過必修課學(xué)習(xí)后達(dá)到的水平,幫助學(xué)生建構(gòu)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)；第二，診斷教學(xué)中存在的問題，為教師搞好選修階段的教學(xué)以及高考復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備;第三，預(yù)測學(xué)生在高考中可能達(dá)到的成績水平。前兩方面的功能是顯而易見的，我們通過每年測試后的信息反饋和分析報(bào)告，已經(jīng)做了這項(xiàng)工作。第三項(xiàng)工作是大家所關(guān)心的，然而要如何做才能達(dá)到呢？通過回歸分

2、析，我們可以計(jì)算出每一位同學(xué)、每一間學(xué)校從必修課水平測試到高考這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)步情況，建立起高考與水平測試之間的關(guān)系模型，進(jìn)而粗略地預(yù)計(jì)新參加水平測試的學(xué)生將來參加高考可能達(dá)到的成績區(qū)間。下面簡單介紹線性回歸分析的方法和如何解讀數(shù)據(jù)的方法。1、線性回歸分析線性回歸是利用線性方程來模擬表示兩組相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系的方法。如果兩組相關(guān)數(shù)據(jù)，比如說，必修課水平測試與高考成績之間存在著相關(guān)關(guān)系，這種關(guān)系可以近似地用一個(gè)線性方程來表達(dá),即咼考的成績y高考與水平測試的成績X水平之間的關(guān)系可以表示為：y高考=ax水平+ b，其中a和b為兩個(gè)常數(shù)，通過統(tǒng)計(jì)分析可以把這兩個(gè)常數(shù)找出來。這樣對應(yīng)于每一個(gè)X水平的值，就

3、可以找到相應(yīng)的y高考值，即可以用這一關(guān)系來預(yù)測高考的期望成績。由于新課程實(shí)施后的高考是以必修課的內(nèi)容為主要的測試對象,學(xué)生經(jīng)過必修課的學(xué)習(xí)基本上奠定了高考的知識(shí)基礎(chǔ)，掌握了相關(guān)學(xué)科的基本能力，又因?yàn)槲覀兊臏y試題目的目標(biāo)要求與高考的目標(biāo)要求在本質(zhì)上是一致的,必修課水平測試的成績與高考成績應(yīng)該存在著高度相關(guān)的關(guān)系。我們的研究也證實(shí)了這種關(guān)系的存在。在2005年，佛山市順德區(qū)和禪城區(qū)的高二學(xué)生參與了我們的必修課水平測試，在2007年他們又參加了高考。根據(jù)這些考生兩次考試的成績，我們計(jì)算得到兩次測試的語文科相關(guān)系數(shù)為0.454，數(shù)學(xué)科（文）的相關(guān)系數(shù)為0.429,數(shù)在上例中，由SPSS計(jì)算可得估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)

4、誤為17.21。由于張恒源同學(xué)的英語高考成績期望值為57.64分，所以0.680,語數(shù)學(xué)科（理）的相關(guān)系數(shù)為0.450,英語科的相關(guān)系數(shù)為0.608,語數(shù)英三科總分（文）的相關(guān)系數(shù)為 英三科總分（理）的相關(guān)系數(shù)為 0.693。由于高考是在必修課水平測試施測一年后才進(jìn)行的，因而上述相關(guān)系數(shù)0.693。因此，通過統(tǒng)計(jì)分析確定上述回歸方程都是比較可觀的，尤其是語數(shù)英三科總分（理）的相關(guān)系數(shù)高達(dá) 是可能的。以下以英語學(xué)科為例來具體說明如何運(yùn)用線性回歸分析來估計(jì)學(xué)生高考可能達(dá)到的成績。2、利用回歸直線與回歸方程估計(jì)高考成績在研究05年必修課水平測試和 07年英語高考成績的關(guān)系時(shí)，以橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示

5、各考生必修課水平測試中英語成績和高考英語成績畫點(diǎn)（見圖1）。我們發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)均勻地分散在圖中的紅色線周圍。紅色線基 本展示了必修課水平測試中英語成績和高考英語成績的關(guān)系，我們稱之為兩者的回歸直線?；貧w直線對應(yīng)的線性 方程稱為回歸方程，下圖紅色線對應(yīng)的回歸方程為:y高考=37.887+0.790 X水平。圖1 : 05年必修水平測試與 07年高考 英語科 回歸圖線160.00-HO.DO =120.00-laa.DD-00.00-GO.DQ-dO.DQ-20.00-a.ao 20.DD 4C.IB 60.0000.00 lOauDD 120.00我們可以利用回歸方程來預(yù)測高考的期望成績。例如，在

6、05年的必修課水平測試中，張恒源同學(xué)的英語成57.64 分?？兪?5分。由回歸方程 y高考=37.89+0.79 X水平我們可以得到其英語高考成績期望值為不過，由于在必修課水平測試與高考之間，學(xué)生還要經(jīng)過一年多的選修課學(xué)習(xí)以及高考復(fù)習(xí)。在這段時(shí)間內(nèi)y高考=ax7K平+ b計(jì)的許多因素，如：學(xué)生本身的努力程度，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，教師的教學(xué)水平和教學(xué)方法等等，都會(huì)對學(xué)生的高考 成績產(chǎn)生影響，水平測試成績與高考成績之間的關(guān)系不可能是簡單的線性關(guān)系，由線性方程算得到的y高考跟考生高考的實(shí)際成績未必一致。加上水平測試和高考本身都存在測量誤差，因此需要在回歸方程 的基礎(chǔ)上加一個(gè)反映估計(jì)誤差的區(qū)間，以此來估計(jì)

7、學(xué)生的高考可能達(dá)到的成績。在回歸分析中，有一個(gè)概念 計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤”S,就是用來表示估計(jì)誤差的。當(dāng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)正態(tài)分布時(shí)，考生高考的實(shí)際成績落在區(qū)間 y高考一S, y高考+ S的概率是68%,而落在區(qū)間y高考1.9S,y高考+ 1.9S的概率是95%。一般的，我們采取y高考S,y高考+S作為高考成績的期望區(qū)間。當(dāng)然，用這樣的方式來估計(jì)學(xué)生的成績不可能是非常精確的，但是也可以讓學(xué)生和 教師明確自己的努力方向，可以判斷學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況，從而為評價(jià)學(xué)校的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供依據(jù)。他的英語高考成績的期望區(qū)間為17.21 + 57.64, 17.21 + 57.64，即40.43 , 74.85。由于高考的延

8、續(xù)性和考生總體水平的相對穩(wěn)定性，我們可以利用05 07年的回歸分析結(jié)果，預(yù)測 06年參加水平測試的學(xué)生在 08年參加高考時(shí)可能得到的成績。比如說，06年有一位考生的英語水平測試成績和張恒源一樣是25分，可以粗略地預(yù)測他 08年參加高考的英語成績可能在40 75分之間。經(jīng)過我們對05年參加必修課水平測試、07年參加高考的考生的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，我們得到的回歸方程如表1所示。表1： 05年必修水平測試與07年高考回歸分析數(shù)據(jù)表科目語文數(shù)學(xué)（文）數(shù)學(xué)（理）英語三科總分（文）三科總分（理）匹配的考生數(shù)892743703821853135893459匹配的學(xué)校數(shù)201919201717相關(guān)系數(shù)0.454

9、0.4290.4500.6080.6800.693回歸方程Y = 63.03+0.43XY = 60.62 +0. 59XY = 55.58 +0. 52XY = 37.89+0.79XY = 100.92 +0. 90XY = 94.35 +0.88 X估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤10.9422.6618.8117.2135.7733.713、進(jìn)步值用回歸分析來預(yù)測高考的期望成績，得到的是一個(gè)以期望值為中值、標(biāo)準(zhǔn)誤為幅度的區(qū)間。如圖1所示，兩條藍(lán)色線分別為方程 y= y高考+S和y= y高考一S對應(yīng)的直線。這兩條藍(lán)色線分別表示期望區(qū)間的上下界。當(dāng)表示考生兩次成績的點(diǎn)落在兩條藍(lán)色線之間時(shí)，則認(rèn)為他正常發(fā)揮，該考

10、生的進(jìn)步值為“0；如果他的實(shí)際成績超過區(qū)間上界，即在表示上限的藍(lán)線的上方，則認(rèn)為他進(jìn)步了，進(jìn)步值=高考實(shí)際成績-區(qū)間上界；如果他的實(shí)際成績比區(qū)間下界還少，即在表示下限的藍(lán)線的下方，則認(rèn)為他退步了，進(jìn)步值=高考實(shí)際成績-區(qū)間下界。圖2給出每位同學(xué)的水平測試成績、高考成績期望區(qū)間和進(jìn)步值的情況。從圖2中可見，在07年的高考中,張恒源同學(xué)英語高考的實(shí)際成績?yōu)?2分，比區(qū)間下界還少，所以他的進(jìn)步值=高考實(shí)際成績一區(qū)間下界=32 -40.43= 8.43。又如，蔡淑意同學(xué)水平測試的成績?yōu)?7.50,高考英語成績的期望區(qū)間為42.41 , 76.83,她高考的實(shí)際成績?yōu)?4分，落在期望區(qū)間，她的進(jìn)步值為0

11、。再如，黃冠鵬同學(xué)水平測試的成績?yōu)?7.00 ,高考英語成績的期望區(qū)間為49.92 , 84.34,他高考的實(shí)際成績?yōu)?01分，超出了期望區(qū)間的上界，因而他的進(jìn)步值=高考實(shí)際成績一區(qū)間上界=101 84.34= 16.66.。圖2: 05年必修課水平測試與07年高考英語成績期望區(qū)間與進(jìn)步值圖英語05(JT. 3玄 - SFSS Dat a Editor工|社|G?難I羽蘆I曰工iini國122 :姓名1英語必您1高考預(yù)測IE同上界lEi可下界1英語高考1英語進(jìn)步1張恒源25.0057.6474.8540.4332000 43227.5059.6276.83424144 00.03黃冠鵬_ 1

12、11 137.00167.13b84.3449.92101.0016.664、學(xué)校教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控按如上方法可以計(jì)算出各個(gè)考生的英語高考成績期望值、期望區(qū)間以及進(jìn)步值。進(jìn)而可以計(jì)算出各學(xué)校進(jìn)步值的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，從而對各校的進(jìn)步值進(jìn)行排名（見表2）,并以此為依據(jù)來分析各個(gè)學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)對學(xué)校教學(xué)質(zhì)量的監(jiān)控等。例如，由表2可見，學(xué)校F在05年的必修課水平測試中排名最后，可是在 07年的 高考中卻提高了 5名，名列15,其進(jìn)步值的平均值為 6.32，在所有學(xué)校中名列第一。這在一定程度上表明，雖然 在必修課水平測試時(shí)，該?？忌捷^差。然而在必修課水平測試到高考這一年多的教學(xué)中，該校的教學(xué)質(zhì)量卻很

13、好，從總體上學(xué)生獲得較大的提高。學(xué)校G和學(xué)校H，在水平測試時(shí)的成績分別排名第二和第一，但是其高考平均進(jìn)步值的排名卻倒過來為第九和第十，說明學(xué)校G的進(jìn)步更大一些。表2： 05年必修水平測試與07年高考回歸分析英語學(xué)科數(shù)據(jù)表學(xué)校名稱（共20校）匹配的 考生數(shù)2005年必修測試2007年高考進(jìn)步值平均分排名平均分排名平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差排名A75256.781792.8063.708.583B94066.05795.0052.498.676C39162.101188.5981.447.237D31559.801589.1473.8110.102E17149.031979.63163.3211.214F407

14、40.832079.64156.3213.881G32381.072111.7120.992.559H33683.991107.3230.163.3710I29969.444103.3341.233.248J47564.98984.1210-1.104.0514K29255.201873.7220-1.454.0916L27761.211380.2414-1.013.57135、小結(jié)利用線性回歸分析得出的回歸方程和標(biāo)準(zhǔn)誤,可以估計(jì)下一年度參加水平測試的學(xué)生可能達(dá)到的高考成績區(qū) 間；同時(shí)也可以回過頭來確認(rèn)已經(jīng)參加高考的這一屆學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況，為監(jiān)控學(xué)校教學(xué)質(zhì)量作出依據(jù)。附表:、06年參加水平

15、測試的學(xué)生08年高考語數(shù)英總分期望表二、06年參加水平測試的學(xué)生08年高考語文成績期望表三、06年參加水平測試的學(xué)生08年高考數(shù)學(xué)成績期望表四、06年參加水平測試的學(xué)生08年咼考英語成績期望表五、05年必修水平測試與07年高考回歸分析各校進(jìn)步值八、05年必修水平測試與07年高考回歸分析語數(shù)英總分?jǐn)?shù)據(jù)表七、05年必修水平測試與07年高考回歸分析語文科數(shù)據(jù)表八、05年必修水平測試與07年高考回歸分析數(shù)學(xué)科數(shù)據(jù)表九、05年必修水平測試與07年高考回歸分析英語科數(shù)據(jù)表讀書的好處1、行萬里路，讀萬卷書2、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。3、讀書破萬卷，下筆如有神4、我所學(xué)到的任何有價(jià)值的知識(shí)都是由自學(xué)中得來的。達(dá)爾文5、少壯不努力，老大徒悲傷。6、黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲顏真卿7、寶劍鋒從磨礪出