如何用線性回歸分析和水平測試成績解讀

1、如何用線性回歸分析和水平測試成績估計學生高考成績評價學生和學校的進步情況普通高中新課程學生學業(yè)成績評價研究”項目組從2005年開始，教育部 普通高中新課程學生學業(yè)成績評價研究”項目組開始高中必修課學業(yè)水平測試的研究活動。作為高中必修課的學業(yè)水平測試，具有三個方面的功能： 第一，檢查學生經(jīng)過必修課學習后達到的水平,幫助學生建構學科知識結構；第二，診斷教學中存在的問題，為教師搞好選修階段的教學以及高考復習做準備;第三，預測學生在高考中可能達到的成績水平。前兩方面的功能是顯而易見的，我們通過每年測試后的信息反饋和分析報告，已經(jīng)做了這項工作。第三項工作是大家所關心的，然而要如何做才能達到呢？通過回歸分

2、析，我們可以計算出每一位同學、每一間學校從必修課水平測試到高考這段時間內的進步情況，建立起高考與水平測試之間的關系模型，進而粗略地預計新參加水平測試的學生將來參加高考可能達到的成績區(qū)間。下面簡單介紹線性回歸分析的方法和如何解讀數(shù)據(jù)的方法。1、線性回歸分析線性回歸是利用線性方程來模擬表示兩組相關數(shù)據(jù)之間的關系的方法。如果兩組相關數(shù)據(jù)，比如說，必修課水平測試與高考成績之間存在著相關關系，這種關系可以近似地用一個線性方程來表達,即咼考的成績y高考與水平測試的成績X水平之間的關系可以表示為：y高考=ax水平+ b，其中a和b為兩個常數(shù)，通過統(tǒng)計分析可以把這兩個常數(shù)找出來。這樣對應于每一個X水平的值，就

3、可以找到相應的y高考值，即可以用這一關系來預測高考的期望成績。由于新課程實施后的高考是以必修課的內容為主要的測試對象,學生經(jīng)過必修課的學習基本上奠定了高考的知識基礎，掌握了相關學科的基本能力，又因為我們的測試題目的目標要求與高考的目標要求在本質上是一致的,必修課水平測試的成績與高考成績應該存在著高度相關的關系。我們的研究也證實了這種關系的存在。在2005年，佛山市順德區(qū)和禪城區(qū)的高二學生參與了我們的必修課水平測試，在2007年他們又參加了高考。根據(jù)這些考生兩次考試的成績，我們計算得到兩次測試的語文科相關系數(shù)為0.454，數(shù)學科（文）的相關系數(shù)為0.429,數(shù)在上例中，由SPSS計算可得估計標準

4、誤為17.21。由于張恒源同學的英語高考成績期望值為57.64分，所以0.680,語數(shù)學科（理）的相關系數(shù)為0.450,英語科的相關系數(shù)為0.608,語數(shù)英三科總分（文）的相關系數(shù)為 英三科總分（理）的相關系數(shù)為 0.693。由于高考是在必修課水平測試施測一年后才進行的，因而上述相關系數(shù)0.693。因此，通過統(tǒng)計分析確定上述回歸方程都是比較可觀的，尤其是語數(shù)英三科總分（理）的相關系數(shù)高達 是可能的。以下以英語學科為例來具體說明如何運用線性回歸分析來估計學生高考可能達到的成績。2、利用回歸直線與回歸方程估計高考成績在研究05年必修課水平測試和 07年英語高考成績的關系時，以橫坐標和縱坐標分別表示

5、各考生必修課水平測試中英語成績和高考英語成績畫點（見圖1）。我們發(fā)現(xiàn)，這些點均勻地分散在圖中的紅色線周圍。紅色線基 本展示了必修課水平測試中英語成績和高考英語成績的關系，我們稱之為兩者的回歸直線?；貧w直線對應的線性 方程稱為回歸方程，下圖紅色線對應的回歸方程為:y高考=37.887+0.790 X水平。圖1 : 05年必修水平測試與 07年高考 英語科 回歸圖線160.00-HO.DO =120.00-laa.DD-00.00-GO.DQ-dO.DQ-20.00-a.ao 20.DD 4C.IB 60.0000.00 lOauDD 120.00我們可以利用回歸方程來預測高考的期望成績。例如，在

6、05年的必修課水平測試中，張恒源同學的英語成57.64 分?？兪?5分。由回歸方程 y高考=37.89+0.79 X水平我們可以得到其英語高考成績期望值為不過，由于在必修課水平測試與高考之間，學生還要經(jīng)過一年多的選修課學習以及高考復習。在這段時間內y高考=ax7K平+ b計的許多因素，如：學生本身的努力程度，學生的學習方式，教師的教學水平和教學方法等等，都會對學生的高考 成績產(chǎn)生影響，水平測試成績與高考成績之間的關系不可能是簡單的線性關系，由線性方程算得到的y高考跟考生高考的實際成績未必一致。加上水平測試和高考本身都存在測量誤差，因此需要在回歸方程 的基礎上加一個反映估計誤差的區(qū)間，以此來估計

7、學生的高考可能達到的成績。在回歸分析中，有一個概念 計標準誤”S,就是用來表示估計誤差的。當統(tǒng)計數(shù)據(jù)正態(tài)分布時，考生高考的實際成績落在區(qū)間 y高考一S, y高考+ S的概率是68%,而落在區(qū)間y高考1.9S,y高考+ 1.9S的概率是95%。一般的，我們采取y高考S,y高考+S作為高考成績的期望區(qū)間。當然，用這樣的方式來估計學生的成績不可能是非常精確的，但是也可以讓學生和 教師明確自己的努力方向，可以判斷學生和學校的進步情況，從而為評價學校的教學和學生的學習提供依據(jù)。他的英語高考成績的期望區(qū)間為17.21 + 57.64, 17.21 + 57.64，即40.43 , 74.85。由于高考的延

8、續(xù)性和考生總體水平的相對穩(wěn)定性，我們可以利用05 07年的回歸分析結果，預測 06年參加水平測試的學生在 08年參加高考時可能得到的成績。比如說，06年有一位考生的英語水平測試成績和張恒源一樣是25分，可以粗略地預測他 08年參加高考的英語成績可能在40 75分之間。經(jīng)過我們對05年參加必修課水平測試、07年參加高考的考生的數(shù)據(jù)進行回歸分析，我們得到的回歸方程如表1所示。表1： 05年必修水平測試與07年高考回歸分析數(shù)據(jù)表科目語文數(shù)學（文）數(shù)學（理）英語三科總分（文）三科總分（理）匹配的考生數(shù)892743703821853135893459匹配的學校數(shù)201919201717相關系數(shù)0.454

9、0.4290.4500.6080.6800.693回歸方程Y = 63.03+0.43XY = 60.62 +0. 59XY = 55.58 +0. 52XY = 37.89+0.79XY = 100.92 +0. 90XY = 94.35 +0.88 X估計標準誤10.9422.6618.8117.2135.7733.713、進步值用回歸分析來預測高考的期望成績，得到的是一個以期望值為中值、標準誤為幅度的區(qū)間。如圖1所示，兩條藍色線分別為方程 y= y高考+S和y= y高考一S對應的直線。這兩條藍色線分別表示期望區(qū)間的上下界。當表示考生兩次成績的點落在兩條藍色線之間時，則認為他正常發(fā)揮，該考

10、生的進步值為“0；如果他的實際成績超過區(qū)間上界，即在表示上限的藍線的上方，則認為他進步了，進步值=高考實際成績-區(qū)間上界；如果他的實際成績比區(qū)間下界還少，即在表示下限的藍線的下方，則認為他退步了，進步值=高考實際成績-區(qū)間下界。圖2給出每位同學的水平測試成績、高考成績期望區(qū)間和進步值的情況。從圖2中可見，在07年的高考中,張恒源同學英語高考的實際成績?yōu)?2分，比區(qū)間下界還少，所以他的進步值=高考實際成績一區(qū)間下界=32 -40.43= 8.43。又如，蔡淑意同學水平測試的成績?yōu)?7.50,高考英語成績的期望區(qū)間為42.41 , 76.83,她高考的實際成績?yōu)?4分，落在期望區(qū)間，她的進步值為0

11、。再如，黃冠鵬同學水平測試的成績?yōu)?7.00 ,高考英語成績的期望區(qū)間為49.92 , 84.34,他高考的實際成績?yōu)?01分，超出了期望區(qū)間的上界，因而他的進步值=高考實際成績一區(qū)間上界=101 84.34= 16.66.。圖2: 05年必修課水平測試與07年高考英語成績期望區(qū)間與進步值圖英語05(JT. 3玄 - SFSS Dat a Editor工|社|G?難I羽蘆I曰工iini國122 :姓名1英語必您1高考預測IE同上界lEi可下界1英語高考1英語進步1張恒源25.0057.6474.8540.4332000 43227.5059.6276.83424144 00.03黃冠鵬_ 1

12、11 137.00167.13b84.3449.92101.0016.664、學校教學質量監(jiān)控按如上方法可以計算出各個考生的英語高考成績期望值、期望區(qū)間以及進步值。進而可以計算出各學校進步值的平均數(shù)和標準差，從而對各校的進步值進行排名（見表2）,并以此為依據(jù)來分析各個學校的教學質量，實現(xiàn)對學校教學質量的監(jiān)控等。例如，由表2可見，學校F在05年的必修課水平測試中排名最后，可是在 07年的 高考中卻提高了 5名，名列15,其進步值的平均值為 6.32，在所有學校中名列第一。這在一定程度上表明，雖然 在必修課水平測試時，該?？忌捷^差。然而在必修課水平測試到高考這一年多的教學中，該校的教學質量卻很

13、好，從總體上學生獲得較大的提高。學校G和學校H，在水平測試時的成績分別排名第二和第一，但是其高考平均進步值的排名卻倒過來為第九和第十，說明學校G的進步更大一些。表2： 05年必修水平測試與07年高考回歸分析英語學科數(shù)據(jù)表學校名稱（共20校）匹配的 考生數(shù)2005年必修測試2007年高考進步值平均分排名平均分排名平均數(shù)標準差排名A75256.781792.8063.708.583B94066.05795.0052.498.676C39162.101188.5981.447.237D31559.801589.1473.8110.102E17149.031979.63163.3211.214F407

14、40.832079.64156.3213.881G32381.072111.7120.992.559H33683.991107.3230.163.3710I29969.444103.3341.233.248J47564.98984.1210-1.104.0514K29255.201873.7220-1.454.0916L27761.211380.2414-1.013.57135、小結利用線性回歸分析得出的回歸方程和標準誤,可以估計下一年度參加水平測試的學生可能達到的高考成績區(qū) 間；同時也可以回過頭來確認已經(jīng)參加高考的這一屆學生和學校的進步情況，為監(jiān)控學校教學質量作出依據(jù)。附表:、06年參加水平

15、測試的學生08年高考語數(shù)英總分期望表二、06年參加水平測試的學生08年高考語文成績期望表三、06年參加水平測試的學生08年高考數(shù)學成績期望表四、06年參加水平測試的學生08年咼考英語成績期望表五、05年必修水平測試與07年高考回歸分析各校進步值八、05年必修水平測試與07年高考回歸分析語數(shù)英總分數(shù)據(jù)表七、05年必修水平測試與07年高考回歸分析語文科數(shù)據(jù)表八、05年必修水平測試與07年高考回歸分析數(shù)學科數(shù)據(jù)表九、05年必修水平測試與07年高考回歸分析英語科數(shù)據(jù)表讀書的好處1、行萬里路，讀萬卷書2、書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。3、讀書破萬卷，下筆如有神4、我所學到的任何有價值的知識都是由自學中得來的。達爾文5、少壯不努力，老大徒悲傷。6、黑發(fā)不知勤學早，白首方悔讀書遲顏真卿7、寶劍鋒從磨礪出