極坐標和參數(shù)方程基礎知識及重點題型

1、高中數(shù)學回歸課本校本教材24 （一）基礎知識參數(shù)極坐標 1. 極坐標定義：M是平面上一點，亍表示0M的長度，是三MOx，則有序?qū)崝?shù)實數(shù)對（幾刃，亍 叫極徑，v叫極角；一般地，三0,2二），r： . 0。 2. 常見的曲線的極坐標方程 （1）直線過點M（ ;：o, -0）,傾斜角為常見的等量關系: ./OMP -二-:：o ./OPM = - v 正弦定理 OPOM sin /OMP sin NOPM （2）圓心P（Io,h）半徑為R的極坐標方程的等量關系：勾股定理或余弦定理; （3）圓錐曲線極坐標: ep一，當e 1時，方程表示雙曲線；當e = 1時，方程表示拋物線；當0：e：1 1ecosT

2、 時，方程表示橢圓.提醒：極點是焦點，一般不是直角坐標下的坐標原點。極坐標方程3一 表示的曲線 2 4cosT 是雙曲線 3.參數(shù)方程：（1 ）圓（xa）2，（x_b）2 =r2 的參數(shù)方程：x-a 二r cost,x-b = r sin 2 2 （2）橢圓$亠與=1的參數(shù)方程：x =acosv,x =bsinv a2 b2 （3 ）直線過點 叫人0）,傾斜角為二的參數(shù)方程：tan= y即- = 一y0 =t， x-xcosOsinO 即尹cosQ注：co曲=x，sin。=土必據(jù)銳角三角函數(shù)定義，T幾何意義是有向線段MP的數(shù)量 y =y t sintt I 其中t表示直線I上以定點M0為起點，

3、任意一點M（x, y）為終點的有向線段M0M的數(shù)量M0M， 當點M在M0的上方時，t 0;當點M在M0的下方時，t : 0. （4拋物線y2=2px（p0的參數(shù)方程為：x=2pt住為參數(shù)）. y = 2pt 由于y J，因此參數(shù)t的幾何意義是拋物線上的點與拋物線的頂點連線的斜率的倒數(shù). x t Ix 2 亠sin2 ! 如：將參數(shù)方程丿 2（日為參數(shù)）化為普通方程為y =x2（2蘭x冬）將y=sin2日代入x=2+sin2日即可，但是 y =sin2 - 0 _sin2 v: 1; （x- Pcos 日Q =x2 +y2 4. 極坐標和直角坐標互化公式：x-.fos：或，B的象限由點（x,y）

4、所在象限確定. y = - sin tan v - y （x =0） （1） 它們互化的條件則是：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點 （譏） 變成直角坐標（:cos=,：sinr）,也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。 5. 極坐標的幾個注意點： x 3 亠 2cos （1）極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標原點（極點）女口：已知圓C的參數(shù)方程為（二 y= 2si nB 為參數(shù)），若P是圓C與y軸正半軸的交點，以圓心 C為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點 P的圓C的切線 的極坐標方程。;?cosU -2 6 如：已知拋物線y2 =4x，以焦點F為極點

5、，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求拋物線的極坐標方程。即J。 1 cost? （2）對極坐標中的極徑和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認識不足 如：已知橢圓的長軸長為6,焦距FF2 =4 2 ,過橢圓左焦點Fi作一直線，交橢圓于兩點M N,設.F2FM =,（0 口 ：二）,當a為 何值時，MN與橢圓短軸長相等？或乞 6 6 （3）直角坐標和極坐標一般不要混合使用：女口：已知某曲線的極坐標方程為TZ.Esi n（r ）_2 _0。（ 1）將上 4 述曲線方程化為普通方程；（2）若點P（x, y）是該曲線上任意點，求 X y的取值范圍。2 _2 2,2 .2.2 （二）基本計算 1.求點的極坐標：有

6、序?qū)崝?shù)實數(shù)對（人二），叫極徑，二叫極角；如：點 M的直角坐標是（-1, 3），則點M的極坐標為 （2,-）提示：（2,2k二乞）,k Z都是點M的極坐標. 33 2.求曲線軌跡的方程步驟：（1）建立坐標系；（2）在曲線上取一點P（宀）；（3）寫出等式；（4）根據(jù)門幾何意義用；-,71 表示上述等式，并化簡 （注意：xHP,yH0）；（5）驗證。女口：長為2a的線段，其端點在 Ox軸和Oy軸正方向上滑動，從 原點作這條線段的垂線，垂足為 M，求點M的軌跡的極坐標方程（Ox軸為極軸），再化為直角坐標方程. 解：設點 M 的極坐標為(J,v)，貝U /OBM =. AOM - v，且 |OA|=2a

7、sinv， =| OA|cosv-2asin 71COS71-asin2v，二點 M 的軌跡的極坐標方程為J=asin2Y0 ，-）.由：二asin2二可得汙=2a珂sin rcosj， 323 二（X2 亠y2）2 /axy 其直角坐標方程為（x2 亠y2）2 =2axy（x、0,y .0）. 3. 求軌跡方程的常用方法： 直接法：直接通過建立 x、y之間的關系，構成 F（x, y）=0,是求軌跡最基本的方法 待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回方程 代入法（相關點法或轉(zhuǎn)移法）.女口：從極點作圓=2acosv的弦,求各弦中點的軌跡方程.解：設所求曲線上的動點

8、 M的極坐標 為（；二），圓-2acosj上的動點的極坐標為（?。┯深}設可知，將其代入圓的方程得：=acosi（）. J?=2P22 定義法：如果能夠確定動點軌跡滿足某已知曲線定義，則可由曲線定義直接寫岀方程. 交軌法（參數(shù)法）：當動點P（x, y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中 間變量（參數(shù)）表示,得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程. 4. 參數(shù)和極徑的幾何意義的運用：T表示OM的長度；T幾何意義是有向線段 MP的數(shù)量；女口：已知過點P（9,.的直線I與x 軸正半軸、y軸正半軸分別交于 AB=|t | |t2|，t COSH x 二9 亠tcos： 8

9、 3提示：設_- y = 3 亠tsin.-：; 恵、9 丄 43、*,、 9sn-9sin-V3coa 入宀、小 ，則 1(： )，1(：)2222 令 I (： )=0, sin、：cos：: sintcost sint A B兩點，則AB最小值為 傾斜角為：，貝U AB =匚_t2或 2 . 2 cos _：:sin 二 3 tan 31 廠一（3）3所以, 3一 A，150，lc)min=l(150-cos =8 3注意：本題可以取 傾斜角的補 過拋物線y2 =8x的焦點F作傾斜角為一的直線，交拋物線于A,B兩點，求線段AB的長度.解：對此拋物線有e =1, p =4， 4 |FB4

10、(1 cos良 4卜4(，2) 所以拋物線的極坐標方程為匚，A,B兩點的極坐標分別為和，|FAM（1os-4）=4（2一2）， 1 -cos 日44 AB的長度為16. |AB 片 FA| | FB |=16 .線段 5.參數(shù)方程的應用-求最值： 恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。 2 2 如：在橢圓 y 1上找一點，使這一點到直線x-2y-12=0的距離的最小值.解：設橢圓的參數(shù)方程為 16 12 如：已知點P(x, y)是圓x2 * y2 =2y上的動點，(1)求2x y的取值范圍; ：；5 1, 5 1. (2) x y a = cost - si -1 a 亠0 2 _V：). cos 日

11、-TJsin 日-3 =空 5 2cos(b )-3 當 cos(v =1，即 V 時, 3 x =4cosV I y =2. 3sin 4兵 dmin - ，此匕 5 時所求點為（2,書）. C.選修4 -4參數(shù)方程與極坐標 已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與X軸的正半軸重合。若曲線Ci的方程為 =8Tsin_15 , 曲線C2的方程為為參數(shù)）。 y in a （1 ）將Ci的方程化為直角坐標方程; （2）若C2上的點Q對應的參數(shù)為 = , P為C1上的動點，求 PQ的最小值。 4 提示：（1） x2 y2_8y15=0 . 當盲時，得心）， 點Q到C,的圓心的距離為.13 所

12、以PQ的最小值為.13-1 . 在極坐標系中，求經(jīng)過三點0（0, 0）, A（2，2），B（2 2，J的圓的極坐標方程. 解：設PU）是所求圓上的任意一點，則 OP =OBcosC），故所求的圓的極坐標方程為 4 4 已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與 X軸的正半軸重合.若直線l的極坐標方程為 Ji ?sin（） =3.2 . 4 （1）把直線I的極坐標方程化為直角坐標系方程; X 4cos ot C的參數(shù)方程為t（a為參數(shù)），）求P到直線I的 _y =3si na 2 X （2）已知P為橢圓C : 一 16 2 -1上一點（已知曲線 9 距離的最大值. 解：（1）直線l的極坐標

13、方程 sin i -1 尹 sinV w3 2, 即：?sin v -cos）- 6 , 所以直線 l的直角坐標方程為x - y 6 = 0 ; 設 P（4cos： ,3sin ：），其中二三0,2二）, 則P到直線l的距離d4cos 3si 6|5cos（J 6|，其中cos 5 所以當cos +申）=1時，d的最大值為J2 2 在極坐標系中，圓 C的方程為=2., 2si n )，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標 4 系，直線I的參數(shù)方程為 X =t (t為參數(shù))，判斷直線I和圓C的位置關系. y =1 2t 解：消去參數(shù)t，得直線 I 的直角坐標方程為y =2x 1

14、；亍=2. 2(sin )即 二 2(si nr - cost)， 4 兩邊同乘以得評 =2(：7nr：?coi)，得O C 的直角坐標方程為：(x1)2 (x-1)2 =2, 圓心C到直線l的距離d22耳1詈2，所以直線l 和0 C相交. x = -t +2, 已知曲線C的極坐標方程是 P =2si nr，直線I的參數(shù)方程是5( t為參數(shù)). (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)設直線I與x軸的交點是 M , N是曲線C上一動點，求MN的最大值. 解：(1)曲線C的極坐標方程可化為r2=2：、sinr 又 x2 + y2 =肘,x = Pcos日,y = Psin 日, 2

15、2 所以曲線C的直角坐標方程為 x y -2y=0 (2)將直線I的參數(shù)方程化為直角坐標方程，得y - _3(X -2) 3 令y =0，得x =2，即M點的坐標為(2,0). 又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為(1,0)，半徑r =1，則MC = . 5 所以 MN MC r =二51 在極坐標系中，已知點A(,2,0到直線IsinC -才)=m m 0的距離為3. 品口OQ卜1， 1求實數(shù)m的值；2設P是直線I上的動點，Q在線段OP上，且滿足 求點Q的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形. 解析：1以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系，則點A的直角坐標為2,0), 直線I的直角坐標方程為

16、x-y 、亦=0.因為A到直線I的距離d =2m| =1 m = 3,所以m = 2. 2由1得直線I的方程為，sinC ) =2設P(o戶o),Q(),則 4 2 因為點P( ?0,丸)在直線I上，所以r0si n(r0 )=2.將代入，得sin C )=2, 4P4 即? =1sin).這就是點Q的軌跡方程. 24 化為直角坐標方程為(x+-)2+(y-)2=丄因此點Q的軌跡是以(-,)為圓心，丄為半徑的圓. 88164 44 變式訓練 (2010浙江卷)如圖，在極坐標系Ox中，已知曲線： G二 4sin71 (); 42 、3 二 C2：、二 4cos珥或2二); 422 C3“ = 4

17、(0_ 2 1求由曲線C1，C2，C3圍成的區(qū)域的面積； (2 )設M (4，一)，N(2,0 )，射線日=。(P 二 0，一 成廠 -)與 242 曲線C1，C2分別交于A，B(不同于極點O)兩點.若線段 AB的中點恰好落在直線 MN上，求taz的值. 解析：1由已知, 1 2 1 2 、 1 2 形osp22 =2所以S陰影部分2 - 2（二-2）=4， 422 11 故所求面積 S4222 -4 =6禦-4. 42 2設AB的中點為G(，)，ONG二，由題意知， B = 2s巾2cos， sin ； 一os =水在心OGN中, ON sin OGN OG sin ONG 2 2sin a +2cos。 sin（二-：-）sin ： 所以 sin。+cosa 2 sin J 2cos : 化簡得 si