極坐標(biāo)和參數(shù)方程基礎(chǔ)知識(shí)及重點(diǎn)題型

1、高中數(shù)學(xué)回歸課本校本教材24 （一）基礎(chǔ)知識(shí)參數(shù)極坐標(biāo) 1. 極坐標(biāo)定義：M是平面上一點(diǎn)，亍表示0M的長(zhǎng)度，是三MOx，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì)（幾刃，亍 叫極徑，v叫極角；一般地，三0,2二），r： . 0。 2. 常見(jiàn)的曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 （1）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（ ;：o, -0）,傾斜角為常見(jiàn)的等量關(guān)系: ./OMP -二-:：o ./OPM = - v 正弦定理 OPOM sin /OMP sin NOPM （2）圓心P（Io,h）半徑為R的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理; （3）圓錐曲線(xiàn)極坐標(biāo): ep一，當(dāng)e 1時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)；當(dāng)e = 1時(shí)，方程表示拋物線(xiàn)；當(dāng)0：e：1 1ecosT

2、 時(shí)，方程表示橢圓.提醒：極點(diǎn)是焦點(diǎn)，一般不是直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)原點(diǎn)。極坐標(biāo)方程3一 表示的曲線(xiàn) 2 4cosT 是雙曲線(xiàn) 3.參數(shù)方程：（1 ）圓（xa）2，（x_b）2 =r2 的參數(shù)方程：x-a 二r cost,x-b = r sin 2 2 （2）橢圓$亠與=1的參數(shù)方程：x =acosv,x =bsinv a2 b2 （3 ）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 叫人0）,傾斜角為二的參數(shù)方程：tan= y即- = 一y0 =t， x-xcosOsinO 即尹c(diǎn)osQ注：co曲=x，sin。=土必?fù)?jù)銳角三角函數(shù)定義，T幾何意義是有向線(xiàn)段MP的數(shù)量 y =y t sintt I 其中t表示直線(xiàn)I上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，

3、任意一點(diǎn)M（x, y）為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段M0M的數(shù)量M0M， 當(dāng)點(diǎn)M在M0的上方時(shí)，t 0;當(dāng)點(diǎn)M在M0的下方時(shí)，t : 0. （4拋物線(xiàn)y2=2px（p0的參數(shù)方程為：x=2pt住為參數(shù)）. y = 2pt 由于y J，因此參數(shù)t的幾何意義是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的倒數(shù). x t Ix 2 亠sin2 ! 如：將參數(shù)方程丿 2（日為參數(shù)）化為普通方程為y =x2（2蘭x冬）將y=sin2日代入x=2+sin2日即可，但是 y =sin2 - 0 _sin2 v: 1; （x- Pcos 日Q =x2 +y2 4. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式：x-.fos：或，B的象限由點(diǎn)（x,y）

4、所在象限確定. y = - sin tan v - y （x =0） （1） 它們互化的條件則是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點(diǎn) （譏） 變成直角坐標(biāo)（:cos=,：sinr）,也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。 5. 極坐標(biāo)的幾個(gè)注意點(diǎn)： x 3 亠 2cos （1）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)（極點(diǎn)）女口：已知圓C的參數(shù)方程為（二 y= 2si nB 為參數(shù)），若P是圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心 C為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)點(diǎn) P的圓C的切線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程。;?cosU -2 6 如：已知拋物線(xiàn)y2 =4x，以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)

5、，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程。即J。 1 cost? （2）對(duì)極坐標(biāo)中的極徑和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)不足 如：已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距FF2 =4 2 ,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)Fi作一直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)M N,設(shè).F2FM =,（0 口 ：二）,當(dāng)a為 何值時(shí)，MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？或乞 6 6 （3）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)一般不要混合使用：女口：已知某曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為T(mén)Z.Esi n（r ）_2 _0。（ 1）將上 4 述曲線(xiàn)方程化為普通方程；（2）若點(diǎn)P（x, y）是該曲線(xiàn)上任意點(diǎn)，求 X y的取值范圍。2 _2 2,2 .2.2 （二）基本計(jì)算 1.求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有

6、序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì)（人二），叫極徑，二叫極角；如：點(diǎn) M的直角坐標(biāo)是（-1, 3），則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為 （2,-）提示：（2,2k二乞）,k Z都是點(diǎn)M的極坐標(biāo). 33 2.求曲線(xiàn)軌跡的方程步驟：（1）建立坐標(biāo)系；（2）在曲線(xiàn)上取一點(diǎn)P（宀）；（3）寫(xiě)出等式；（4）根據(jù)門(mén)幾何意義用；-,71 表示上述等式，并化簡(jiǎn) （注意：xHP,yH0）；（5）驗(yàn)證。女口：長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段，其端點(diǎn)在 Ox軸和Oy軸正方向上滑動(dòng)，從 原點(diǎn)作這條線(xiàn)段的垂線(xiàn)，垂足為 M，求點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程（Ox軸為極軸），再化為直角坐標(biāo)方程. 解：設(shè)點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為(J,v)，貝U /OBM =. AOM - v，且 |OA|=2a

7、sinv， =| OA|cosv-2asin 71COS71-asin2v，二點(diǎn) M 的軌跡的極坐標(biāo)方程為J=asin2Y0 ，-）.由：二asin2二可得汙=2a珂sin rcosj， 323 二（X2 亠y2）2 /axy 其直角坐標(biāo)方程為（x2 亠y2）2 =2axy（x、0,y .0）. 3. 求軌跡方程的常用方法： 直接法：直接通過(guò)建立 x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成 F（x, y）=0,是求軌跡最基本的方法 待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線(xiàn)的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回方程 代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）.女口：從極點(diǎn)作圓=2acosv的弦,求各弦中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)所求曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)

8、 M的極坐標(biāo) 為（；二），圓-2acosj上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為（?。┯深}設(shè)可知，將其代入圓的方程得：=acosi（）. J?=2P22 定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌跡滿(mǎn)足某已知曲線(xiàn)定義，則可由曲線(xiàn)定義直接寫(xiě)岀方程. 交軌法（參數(shù)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x, y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中 間變量（參數(shù)）表示,得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程. 4. 參數(shù)和極徑的幾何意義的運(yùn)用：T表示OM的長(zhǎng)度；T幾何意義是有向線(xiàn)段 MP的數(shù)量；女口：已知過(guò)點(diǎn)P（9,.的直線(xiàn)I與x 軸正半軸、y軸正半軸分別交于 AB=|t | |t2|，t COSH x 二9 亠tcos： 8

9、 3提示：設(shè)_- y = 3 亠tsin.-：; 恵、9 丄 43、*,、 9sn-9sin-V3coa 入宀、小 ，則 1(： )，1(：)2222 令 I (： )=0, sin、：cos：: sintcost sint A B兩點(diǎn)，則AB最小值為 傾斜角為：，貝U AB =匚_t2或 2 . 2 cos _：:sin 二 3 tan 31 廠(chǎng)一（3）3所以, 3一 A，150，lc)min=l(150-cos =8 3注意：本題可以取 傾斜角的補(bǔ) 過(guò)拋物線(xiàn)y2 =8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為一的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.解：對(duì)此拋物線(xiàn)有e =1, p =4， 4 |FB4

10、(1 cos良 4卜4(，2) 所以?huà)佄锞€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為匚，A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和，|FAM（1os-4）=4（2一2）， 1 -cos 日44 AB的長(zhǎng)度為16. |AB 片 FA| | FB |=16 .線(xiàn)段 5.參數(shù)方程的應(yīng)用-求最值： 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。 2 2 如：在橢圓 y 1上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線(xiàn)x-2y-12=0的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 16 12 如：已知點(diǎn)P(x, y)是圓x2 * y2 =2y上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求2x y的取值范圍; ：；5 1, 5 1. (2) x y a = cost - si -1 a 亠0 2 _V：). cos 日

11、-TJsin 日-3 =空 5 2cos(b )-3 當(dāng) cos(v =1，即 V 時(shí), 3 x =4cosV I y =2. 3sin 4兵 dmin - ，此匕 5 時(shí)所求點(diǎn)為（2,書(shū)）. C.選修4 -4參數(shù)方程與極坐標(biāo) 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與X軸的正半軸重合。若曲線(xiàn)Ci的方程為 =8Tsin_15 , 曲線(xiàn)C2的方程為為參數(shù)）。 y in a （1 ）將Ci的方程化為直角坐標(biāo)方程; （2）若C2上的點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 = , P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQ的最小值。 4 提示：（1） x2 y2_8y15=0 . 當(dāng)盲時(shí)，得心）， 點(diǎn)Q到C,的圓心的距離為.13 所

12、以PQ的最小值為.13-1 . 在極坐標(biāo)系中，求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)0（0, 0）, A（2，2），B（2 2，J的圓的極坐標(biāo)方程. 解：設(shè)PU）是所求圓上的任意一點(diǎn)，則 OP =OBcosC），故所求的圓的極坐標(biāo)方程為 4 4 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與 X軸的正半軸重合.若直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為 Ji ?sin（） =3.2 . 4 （1）把直線(xiàn)I的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程; X 4cos ot C的參數(shù)方程為t（a為參數(shù)），）求P到直線(xiàn)I的 _y =3si na 2 X （2）已知P為橢圓C : 一 16 2 -1上一點(diǎn)（已知曲線(xiàn) 9 距離的最大值. 解：（1）直線(xiàn)l的極坐標(biāo)

13、方程 sin i -1 尹 sinV w3 2, 即：?sin v -cos）- 6 , 所以直線(xiàn) l的直角坐標(biāo)方程為x - y 6 = 0 ; 設(shè) P（4cos： ,3sin ：），其中二三0,2二）, 則P到直線(xiàn)l的距離d4cos 3si 6|5cos（J 6|，其中cos 5 所以當(dāng)cos +申）=1時(shí)，d的最大值為J2 2 在極坐標(biāo)系中，圓 C的方程為=2., 2si n )，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo) 4 系，直線(xiàn)I的參數(shù)方程為 X =t (t為參數(shù))，判斷直線(xiàn)I和圓C的位置關(guān)系. y =1 2t 解：消去參數(shù)t，得直線(xiàn) I 的直角坐標(biāo)方程為y =2x 1

14、；亍=2. 2(sin )即 二 2(si nr - cost)， 4 兩邊同乘以得評(píng) =2(：7nr：?coi)，得O C 的直角坐標(biāo)方程為：(x1)2 (x-1)2 =2, 圓心C到直線(xiàn)l的距離d22耳1詈2，所以直線(xiàn)l 和0 C相交. x = -t +2, 已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是 P =2si nr，直線(xiàn)I的參數(shù)方程是5( t為參數(shù)). (1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線(xiàn)I與x軸的交點(diǎn)是 M , N是曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，求MN的最大值. 解：(1)曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程可化為r2=2：、sinr 又 x2 + y2 =肘,x = Pcos日,y = Psin 日, 2

15、2 所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為 x y -2y=0 (2)將直線(xiàn)I的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y - _3(X -2) 3 令y =0，得x =2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0). 又曲線(xiàn)C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r =1，則MC = . 5 所以 MN MC r =二51 在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(,2,0到直線(xiàn)IsinC -才)=m m 0的距離為3. 品口OQ卜1， 1求實(shí)數(shù)m的值；2設(shè)P是直線(xiàn)I上的動(dòng)點(diǎn)，Q在線(xiàn)段OP上，且滿(mǎn)足 求點(diǎn)Q的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形. 解析：1以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為2,0), 直線(xiàn)I的直角坐標(biāo)方程為

16、x-y 、亦=0.因?yàn)锳到直線(xiàn)I的距離d =2m| =1 m = 3,所以m = 2. 2由1得直線(xiàn)I的方程為，sinC ) =2設(shè)P(o戶(hù)o),Q(),則 4 2 因?yàn)辄c(diǎn)P( ?0,丸)在直線(xiàn)I上，所以r0si n(r0 )=2.將代入，得sin C )=2, 4P4 即? =1sin).這就是點(diǎn)Q的軌跡方程. 24 化為直角坐標(biāo)方程為(x+-)2+(y-)2=丄因此點(diǎn)Q的軌跡是以(-,)為圓心，丄為半徑的圓. 88164 44 變式訓(xùn)練 (2010浙江卷)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，已知曲線(xiàn)： G二 4sin71 (); 42 、3 二 C2：、二 4cos珥或2二); 422 C3“ = 4

17、(0_ 2 1求由曲線(xiàn)C1，C2，C3圍成的區(qū)域的面積； (2 )設(shè)M (4，一)，N(2,0 )，射線(xiàn)日=。(P 二 0，一 成廠(chǎng) -)與 242 曲線(xiàn)C1，C2分別交于A(yíng)，B(不同于極點(diǎn)O)兩點(diǎn).若線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)恰好落在直線(xiàn) MN上，求taz的值. 解析：1由已知, 1 2 1 2 、 1 2 形osp22 =2所以S陰影部分2 - 2（二-2）=4， 422 11 故所求面積 S4222 -4 =6禦-4. 42 2設(shè)AB的中點(diǎn)為G(，)，ONG二，由題意知， B = 2s巾2cos， sin ； 一os =水在心OGN中, ON sin OGN OG sin ONG 2 2sin a +2cos。 sin（二-：-）sin ： 所以 sin。+cosa 2 sin J 2cos : 化簡(jiǎn)得 si