探索多邊形內角和教學設計

1、探索多邊形內角和教學設計【教學目標】（1） 知識與技能：掌握多邊形內角和概念及計算公式，并能利用其解決解決簡單問題及一些實際問題。（2） 過程與方法：讓學生經歷觀察、計算、猜想、探索、推理和歸納過程發(fā)展學生的幾何直觀合情推理能力。通過學生自主探索多邊內角和的過程，讓學生經歷從不同的角度尋求分析問題和解決問題的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。（3） 情感態(tài)度價值觀：通過學生的動手操作、交流合作能較好地較好地理解他人的思考方法和結論，能針對他人所提問題進行反思初步形成評價反思的意識。經歷發(fā)現問題、探究問題和解決問題的過程，提高的學習數學興趣，增強學生學習數學的

2、信心。【教學重難點】：重點：多邊形內角和定理及其應用。難點：多邊形內角和定理的推導?！窘虒W方法】：類比、觀察、引導、發(fā)現、教練結合?！窘滩姆治觥浚憾噙呅蔚膬冉呛投ɡ硎菧瓢姘四昙墧祵W下冊第十九章第一節(jié)內容，是學生在學習平行線的性質和平行線的判定、三角形的內角和、全等三角形的性質和全等三角形的判定之后又一新的學習內容，是三角形內角和的應用的深化和拓展，也是以后學習正多邊形基礎?！緦W生分析】：本班學生四十人，學生學生的基礎中等，學生的年齡較小，思維較為活躍，發(fā)言較為積極。同時學生經過平行線的性質和判定的應用、三角形的內角和定理的發(fā)現和證明過程和三角形性質與三角形全等判斷的應用過程，學生的幾何直觀能

3、力、演繹推理能力有了一定積淀和提高，積累了一定的動手操作、觀察猜想、歸納證明完整的數學活動過程、數學活動經驗和轉化化歸的數學思想，為多邊形內角和定理的探究發(fā)現、歸納證明提供了較為理想的知識生長點和數學思想方法?！窘虒W過程設計】：1.創(chuàng)設情境，導入新課（1） 看一看：多媒體展示水立方夜景圖圖片、中央電視臺圖片及一些生活中的圖片，讓學生觀察其中的圖片，類比三角形的概念，回答其中的多邊形有幾條邊？是幾變形？（2） 動手操作：讓學生畫多邊形并說出所畫的多邊形是幾邊形，也可手中的火柴桿搭建多邊形.師：你所畫的是幾邊形，有幾條邊？生：我畫的是三角形，三角形有三條邊.生：我畫的梯形有四條邊.生：我畫的正方形

4、、平行四邊形、長方形都有有四條邊.師：你能類比三角形的相關概念得到多邊形的相關概念嗎？學生類比得到四邊形的相關概念，強調四邊形的概念與三角形概念的不同之處：在同一平面內。師：類比三角形形的內角和探索途徑和證明方法及探索經驗，你能求出你所畫的多邊形的內角和嗎？你有哪些方法或途徑可以得到得到多邊形的內角和.生：測量、拼角的方法.生：采取轉化的方法把多邊形的內角和轉為我已解決的多邊形的內角和.【評析】：通過課件展示生活中的多邊形實物圖片，再讓學生動手操作，引起學生的興趣，然后提出并引出課題，以這樣的問題情境作為開始，是學生進一步了解和學習新知識的有效切入點，通過動手操作和觀察思考，增加對多邊形的感性

5、認識，這樣的教學設計體現了數學來源于生活，又激發(fā)了學生進一步探究新知與學習新知的欲望.板書課題：多邊形的內角和2:類比探究,探索新知問題1.師：同學們，多媒體顯示的美麗圖片中有多種多邊形，其中水立方圖片中有好多的多邊形能夠既不重疊又無縫的拼接，你想知道其中的道理嗎？生：拼在一起的幾個公共頂點的角的和等于一個周角的度數.師：可見上面的問題與多邊形的內角及內角和有關，那么我們一起來研究多邊形的內角和。我們已經探究了三角形的內角和等于180，那么四邊形的內角有等于多少度呢？他和三角形的內角和又存在怎樣的關系呢?生：我們已經學過正方形、長方形、平行四邊形、梯形，因為它們至少都有一組對邊平行，利用兩直線

6、平行同旁內角互補，可知的內角和都等于360，所以我猜想四邊形的內角和為360.師：你說的真好，能夠從特殊到一般進行猜想并且給予簡單證明，同學們給點掌聲。生：老師，我把一個四邊形四個內角拼在一起得到一個周角，我也猜想四邊形的內角和為360.圖1 圖2 圖3 圖4 圖5師：上面的兩位同學通過動手操作及特例猜想說理得道四邊形的內角和等于360的猜想，你能給出證明嗎？給學生以充分的時間和空間，讓其思考，允許討論、交流、碰撞、吸納、反思。教師巡視給思考探究受阻的學生給予啟發(fā)或提示。幾分鐘后大部分學生已經完成證明過程。師：請同學們展示你們的思路及證明過程.生：老師，我從四邊形的一個頂點引條對角線(如圖)，

7、把四邊形分成兩個三角形，兩個三角形的內角和剛好是四邊形的內角和，所以四邊形的內角和為360.師：說得真好，通過轉化化歸的方法把四邊形的內角和轉化為三角形的內角和問題解決了四邊形的內角和為360的問題，化未知為已知、化繁為簡，簡便快捷.生：老師，在四邊形內部取一點如(圖),連接它與各個頂點得到四個三角形的內角為720，這四個三角形的同一頂點的四個角恰好圍成一個周角，所以四邊形的內角和為720360=360.生：老師，我在四邊形的邊上取一點(如圖)，向四邊形的四個頂點引線段得到三個三角形的內角和為540，其中一邊上的點為頂點的三個角的和為180，所以四邊形的內角和為540 180=360.生：老師

8、，我是通過添加平行線來考慮的（如圖），把四邊形的四個內角的和轉化為兩對同旁內角與一個三角形的三個內角之和減去一個平角，即 1803180=360.生：我從特殊到一般思考通過添加輔助線，化成長方形證明長方形的四個角都為90，它們的和為90（如圖），再在里面“裝”一個四邊形就證明出來了.因為4=5+6，而6=7+8, 5+1=2+3,所以1+4=1+5+6=1+5+7+8=2+3+7+8,所以四邊形的內角和就轉化為長方形的內角和.生 ：老師，我通過加兩條輔助線（如圖 ） ，利用三角形的內角和定理的推論及平行四邊形對邊平行同旁內角互補把一般四邊形的內角和轉化為平行四邊的內角和等于360 .生 ：老師

9、我通過作兩條輔助線（如圖 ）利用平行線的性質把平行四邊形的四個內角轉化為一個周角的度數，所以四邊形的內角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），利用三角形內角和的推論和平行線的性質把四邊形內角和轉化為梯形的內角和，所以三角形的外角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），利用三角形的內角和的推論和兩直線平行同旁內角互補得到四邊形的內角和為360 。或通過作輔助線（如圖 ），把四邊形內角和轉化為一個梯形的內角和加上兩個三角形的內角和減去兩個平角，得到四邊形的內角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內角轉化為平行線的兩對同旁內角，得到四邊形的內角

10、為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內角轉化為平行線的一對同旁內與一個三角形的內角和，得到四邊形的內角和為360 ?；蛲ㄟ^作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內角轉化為兩個平角的和，得到四邊形內角和為360 .生 ：老師，我通過作輔助線（如圖 ），把四邊形的四個內角轉化為兩個平角，得到四邊形內角和為360 .師：大家看看，這14幅有什么聯(lián)系與區(qū)別？試著將他們分類。其中那種轉化方法更便于操作求出四邊形的內角和？生：按是否添平行線分類，可分為添已有線段的平行線或與已有線段不一定平行的線段。也可按轉化為何種圖形進行分類，可分為轉化為三角形、一般四邊形與三角形、平行四邊形與三

11、角形、梯形與三角形等情況。把多邊形轉化為三角形內角和更便于操作.圖6 圖7 圖8圖9 圖10 圖11圖12 圖13 圖14【評析】：先讓學生思考探究、交流討論、碰撞吸納、感悟反思，展示自己的探究過程，師生共同共同歸納總結，優(yōu)化思維這樣既確立了學生的主體地位，使他們的思維得到鍛煉發(fā)展，又分享了別人的思考方法。探究活動從學生的已有知識水平、思維水平、原有的數學活動經驗、知識結構上動手操作、展開聯(lián)想、類比轉化等途徑和方法自主探究，依靠思維定勢的趨向性，思維者將所面臨的問題情境迅速歸結為熟悉的情境找到解決問題的途徑，從而使問題得以解決。同時學生探究問題不同的方法途徑的展示，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力，使

12、學生的思維得以拓展和優(yōu)化，及培養(yǎng)了學生的自主建構知識的能力，也培養(yǎng)傾聽他人的思維方法從而使自己的思維得以優(yōu)化。問題2：填寫表格多邊形三角形四邊形五邊形六邊形n邊形從一個頂點發(fā)出的對角線的條數多邊形被分割成的三角的個數多邊形的內角和師.問題3：從填寫表格過程中你發(fā)現多邊形的內角和與多邊形的邊數n存在怎樣的數量關系？生：從n(n3且n為整數)邊形的一個頂點可引n-3條對角線，把n變形分割成n-2個三角形，所以n邊形的內角和為180（n-2）.師：板書n（n）邊形內角和=180(n-2).師：說得真好，這位同學先由特殊的多邊形的內角和猜想到一般多邊形的內角和公式，體現了我們研究數學問題的思路和方法：

13、有特殊到一般，再進行演繹推理給予證明，同學們以后研究陌生的問題也可以采用這種方法?！驹u析】：有了探究四邊形內角內角和的經驗和方法的積累，學生水到渠成的得到五邊形、六邊形.n邊形的內角和公式。然后學生進行縝密的證明。教師在這里的設計體現了特殊到一般，具體到抽象，由易到難、由淺入深的認知規(guī)律。特別是教師最后總結，既總結了知識又滲透了發(fā)現、探究、分析問題、解決問題數學思想和方法，對學生學習有深層次的引導作用。例1. 已知兩個多邊形的內角和為1980，且這兩個多邊形的變數之比為2:3，求這兩個多邊形的邊數.例2. 一個多邊形的，除去一內角，其余所有內角之和為2200，求此多邊形的邊數和除去這個角的度數

14、. 分析:例1已知兩個多邊形的邊數之比為2:3,可設其中的一個多邊形的邊數為2n,則另一個多邊形的邊數為3n，可得方程180（2n-2）+180（3n-2）=1980,解得n=3，所2n=6,3n=9,所以這兩個多邊形的邊數分別為6和9.分析:例2因為凸多邊形的每一個內角都大于0度小于180度，設此多邊形的邊數為n，則解得，14n15,因為n為整數，所以n=15，所以除去的這個角的度數為180（15-2）2200=140，所以這個多邊形的變形的變數為15，除去的這個角的度數為140.【評析】：課堂例題，重在引領示范，歷經審題、分析的過程，為學生提供分析問題、解決問題的成功范例。實戰(zhàn)演練，鞏固技

15、能1.過四邊形的一個頂點有幾條對角線？四邊形共有幾條對角線？2.過五變形的一個頂點有幾條對角線？五邊形共有幾條對角線？3.過n邊形的一個頂點有幾條對角線？共有幾條對角線4.一個多邊形的內角和是1440這個多邊形的對角線共有多少條？5.若一個多邊形的內角的度數從小到大排列時，恰好增加相同的度數，其中最小的較為100最大的角為140，求這個多邊形的邊數及內角和。讓五名學生板演，提示學生規(guī)范解題，其余學生自主思考解答，并相互交流，優(yōu)化思維。學生解答完畢后，教師給予點評和補充，過程略。歸納小結，提升思維，師生共同歸納小結：1. 知識小結：多邊形相關概念及多邊形內角和定理及其應用。2. 數學思想及方法：

16、轉化化歸思想、聯(lián)想類比思想、特殊與一般思想、方程思想、優(yōu)化思想。分析法、綜合法、遞推法、數學歸納法。3. 數學活動經驗：在探究活動中獲得的根據條件預測結果的經驗、根據特例概括一般結果的經驗、在論證活動中依據目標特征探究成因的經驗。【評析】：課堂小結是課堂教學的重要環(huán)節(jié)，教師讓學生自己梳理知識，養(yǎng)成反思的習慣，充分體現以學生發(fā)展為本的教學理念，讓學生展示自我，增強學習信心。分層作業(yè)，鞏固提高A組1. 一個多邊形的內角和為1800，求此多邊形的邊數。2. 已知一個多邊形的每一個內角都相等且都等于120，求此多邊形的邊數。3. 如一個多邊形的每個內角都相等且等于其相鄰外角的二倍，求此對角線的條數。B

17、組1有兩個多邊形邊數之比為1:2,內角和之比為1:4你能確定它們各是及邊形嗎2一個多邊形截去一個角后形成的另一個多邊形的內角和為720,試求這個多邊形的邊數。C組：數學活動各邊都相等，各角都相等相等的多邊形叫正多邊形。用形狀相同或形狀不同平面封閉圖形，覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里面叫做平面鑲嵌。1. 能夠進行平面鑲嵌的同一種多邊形有幾種？2. 能夠進行平面鑲嵌的同一種正多邊形有幾種？3能夠進行平面鑲嵌的兩種正多邊形組合有幾種？4能夠進行平面鑲嵌的三種正多邊形組合有幾種5能夠用四種或四種以上的正多邊形組合進行平面鑲嵌嗎？【評析】：義務教育數學課程標準（2011版）定

18、位了義務教育階段數學教育的基本目的數學課程應致力于義務教育階段的培養(yǎng)目標，要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學得到不同的發(fā)展。教師的布置分層作業(yè)，很好地體現義務教育數學課程標準（2011版）的理念，使不同的學生在數學上得到不同的發(fā)展。C組數學活動的設計對學生的動手操作能力、發(fā)散思維能力、演繹推理能力、數學活動經驗的積累起到積極引導和強化作用，同時也是新知的強化、鞏固、應用、拓展，使課內的數學教學與課外的數學活動構成一個有機的整體。教學反思：教學情境的創(chuàng)設在課堂教學中的作用和地位越來越重要，特別是實施新的的課程標準以后，不僅促使教師對課堂教學模式的轉變，還關系到學生學習興趣的高低、學習積極性的調動，直接影響到教學效果的好壞，而且它還影響到學生是否能夠主動、靈活學習的態(tài)度和習慣。因此本節(jié)課注重情境的創(chuàng)設符合學生的心理特征、知識水平、數學活動經驗，緊扣本堂課的學習內容激發(fā)學生的興趣、導入對本課知識的探究，且延伸至數學課外活動，使課內知識的學習與課外知識的應用有機的結合起來，培養(yǎng)了學生應用所學知識分析問題、解決問題能力。本節(jié)課貫徹以學生為主體