完整版拋物線及其性質(zhì)知識點(diǎn)大全

1、拋物線及其性質(zhì)1.拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì):3.拋物線y2 2px( p 0)的幾何性質(zhì):(1) 范圍：因?yàn)閜0,由方程可知x 0,所以拋物線在 y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，lyl也增大,說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.對稱性：對稱軸要看一次項(xiàng)，符號決定開口方向.頂點(diǎn)(0, 0),離心率：e 1,焦點(diǎn)F,。)，準(zhǔn)線X衛(wèi)，焦準(zhǔn)距p.2 22焦點(diǎn)弦：拋物線 y2px(p 0)的焦點(diǎn)弦 AB，A(X1, y1), B(X2,y2),則 | AB | X1 X2 p .弦長|AB|=x 1+X2+P，當(dāng)Xi=X2時，

2、通徑最短為 2p。4.焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì):(1)若AB是拋物線焦點(diǎn)弦 AB，A(xi，yi), B(X2,y2)，焦點(diǎn) F(E,O)222py 2px；p 0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A(x, y1)， B(x2, y2)，則： 泌 一，42yy2P。若AB是拋物線y22pX：p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為a，貝y iab2 P (aM 0) o11 AF bF已知直線AB是過拋物線y22 px( P 0)焦點(diǎn)F，丄 A匹AF BF AF ?BF焦點(diǎn)弦中通徑最短長為 2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.sin 2AB 2 AF ?BF p10兩個相切：以拋物線焦點(diǎn)弦

3、為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線, 以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5.弦長公式：A(x1, y1) , B(x2,y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則|AB|J(X1X2)2(%y2)2J1 k2|X1X2I 1 占|y1y2| 6.直線與拋物線的位置關(guān)系直線心拋物線= 2羽1于=消y 得:+2(肪-卩)藍(lán)+護(hù)三。(1) 當(dāng)k=0時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點(diǎn)；(2) 當(dāng)k工0時， 0,直線I與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)； =0，直線I與拋物線相切，一個切點(diǎn)； V 0，直線I與拋物線相離，無公共點(diǎn)。(3) 若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎？(不一

4、定) 7.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線I :y kx b拋物線Ly*戈E工，(p 0)聯(lián)立方程法：y kx y2 2pxk2x22(kb p)x b20設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi, yi) , B(X2,y2),則有 0 ,以及Xi X2,XiX2 ,還可進(jìn)一步求出y1 y2 kx1 b kx2 bk(Xi X2) 2b , ym (kxib)( kx2 b) k2x1x2 kb(x1X2)b2在涉及弦長，中點(diǎn)，對稱,相交弦AB的弦長面積等問題時，常用此法,比如a.b.a.b.ABABJi k2中點(diǎn) M (xo, yo)點(diǎn)差法:XiyiX2Xoy2Ji k2J(Xi X2)2 4x

5、iX2XiX2丁，yo設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(X1, y1),2cyi2 pxi將兩式相減，可得(yi y2)(yi y) 2p(xiyi y22pXi X2 yi y2在涉及斜率問題時，kAB在涉及中點(diǎn)軌跡問題時，即 kAB yo同理，對于拋物線AB的中點(diǎn)，則有kABB(x2, y2)，2P y(pX2)y2)2 4yiy2/lkyi y22代入拋物線方程，得2pyiy2設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M (x0, y0)，0)，若直線l與拋物線相交于yiy2XiX22pyi y22p2yopyoA、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(xo,yo)是弦X1 X22p2XoXo2pP(注意能用這個公式的條件: 且不等于零)1)直線與拋

6、物線有兩個不同的交點(diǎn),2)直線的斜率存在,【經(jīng)典例題】(1)拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1 P為拋物線y2 2px上任一點(diǎn),F為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸( )A相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是P.作PH! I于H,交y軸于2那么PF且QHOF中位線,MNP專.作MN!y軸于12N貝U MN是梯形PQOF的OFPQ2phPF為直徑的圓與【評注】相

7、似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則 分別是相離或相交的.y軸相切，選B.D.位置由P確定(2) 焦點(diǎn)弦一一?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦對破解這些試題是有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性質(zhì),大有幫助的.【例2過拋物線y2 2px P 0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A Xi,yi ,B X2, y2 兩點(diǎn)，求證:(1) ABXiX2p(2)1AF1BF【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為I，作AA I Ai,BB1I于Bi,則 |aF |aaBFBBi X22兩式相加即得:ABX1X2(2)當(dāng)AB丄X軸時，有AFBFP,1AF1BF成立;P當(dāng)AB與X軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程

8、為:代入拋物線方程:2px化簡得:k2X2k22方程(1)之二根為X1 , X2,k2- X1X21AF1BF1AA1bb1XiX2X PpX1X2 X12X22P4X1X2X1 X2 p22X2 P牛舟X1 X2p424故不論弦AB與X軸是否垂直，恒有1AF1BF成立.P(3) 切線一一拋物線與函數(shù)有緣.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān) 基本功.【例3】證明：過拋物線 y2 2px上一點(diǎn)M(X0，y0)的切線方程是：y0y=p ( X+X0)【證明】對方程y2 2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y y2p, y 衛(wèi)切線的斜率yPPX Xo .由點(diǎn)斜式方程

9、： y y0 Xy。y。Xo2PX0 y。2Q y。2pX0,代入()1即得：y 0y=p ( X+X0)(4)定點(diǎn)與定值一一拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，到的收獲.卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值掌握它們，在解題中常會有意想不例如：1一動圓的圓心在拋物線y2 8x上，且動圓恒與直線X 20相切，則此動圓必過定點(diǎn)D. 0, 2A 4,0B. 2,0C. 0,2顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn),選 B.2.拋物線y22 px的通徑長為2p；X1,y1 ,B X2,y2 ，那么：wy23.設(shè)拋物線y 2 px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為A以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y2 2px的焦

10、點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是 AB,證明：以 AB為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么 必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：明.AB=AB=2p而A1B1與AB的距離為P ,可知該圓一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn).以下我們對AB的一般情形給于證【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為A Xi,yi ,B X2,y2 ,那么：ZP2設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交 x軸于C,那么CFP.AFBi中 CFCA CB 故 AiFBi這就說明：以 AiBi為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn) 通法特法妙法（1）解析法一一為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對

11、稱問題 等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線 y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于A.3B.4C.3 J2D.4 U2【分析】直線AB的中點(diǎn)必在直線【解析】點(diǎn)AB必與直線x+y=0垂直，且線段 x+y=0 上,因得解法如下.A、B關(guān)于直線x+y=0對稱，設(shè)直線AB的方程為:y x m.設(shè)方程（1）之兩根為xi,X2,則x1X2設(shè)AB的中點(diǎn)為M（ xo,yo),則 x0XiX22i.代入從而m y X 1.直線AB的方程為：yx 2,1 ,從而 y 1,2 ,故得：A (-2 ,1x+y=0 : y0= .故有 M21 122x 1方程（1）

12、成為：x2 x 20.解得:-1 ), B (1 , 2).aB342,選 C.（2）幾何法一一為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這且/ KFM=60，二 KF4,sakf 咅 44孫選C.為J3的直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點(diǎn) A , AK丄I，垂足為K ,則AKF的面積(C. 43【解析】如圖直線 AF的斜率為 舲 時/ AFX=60P 2, AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線I交x軸于M貝u FM16【評注】(1)平面幾何知識：邊長為 a的正三角形的 面積用公式S a2計算.4(2)本題如果用解析法， 需先列方程組求點(diǎn) A的坐標(biāo)，再計算正

13、三角形的邊長和面積 .雖不是很 難，但決沒有如上的幾何法簡單 .(3)定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線2 2C1 :務(wù) 占 1(a 0, b 0)的左準(zhǔn)線為I，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1和F2 ;拋物線C2的線為F1F2MF1等于()MF1MF211C.D .-22I，焦點(diǎn)為F2； Ci與C2的一個交點(diǎn)為 M，則，那么就從a b【分析】這道題如果用解析法去做，計算會特 最原始的定義方面去尋找出路吧 .如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作MHl于H，令MFiri

14、, MF2D.t點(diǎn)M在拋物線上,MHMF2這就是說:其次,2,故|MF1|IMF2IMF1MHMF1MF2ri的實(shí)質(zhì)是離心率e.x與離心率e有什么關(guān)系？注意到:|MF1|fiF2 2c e 2aMF11r1ri這樣，最后的答案就自然浮出水面了:由于|F1F2|MF1 |MF1|MF2|(4)三角法一一本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名 同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡化計算.【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直

15、線經(jīng)過物線y2 8x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線I的方程；(n)若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交 x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】(I)焦點(diǎn)F (2, 0),準(zhǔn)線l;x 2.拋(n)直線 AB: y tan x2V2x 代入(1)，整理得：y tan88y16ta n 0設(shè)方程(2)之二根為yi, y2,則yiy2yiy28tan16設(shè)AB中點(diǎn)為M X0,y0，則y。x。y12coty2y。44cot tan24cot22AB的垂直平分線方程是:4cotcot4cot2令 y=0，則 x 4cot6,

16、2有 P 4cot 6,故FPOPOF2 24cot 6 2 4 cot1 4cos22 2于是 |FP|-|FP|cos2a=4csc 1 cos2 4csc2sin28，故為定值.(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題 不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線(1) I與拋物線V2 8x有兩個不同的交點(diǎn) A和B； （ 2）線段AB被直線l1 :x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線I的方程.【解析】假定在拋物線2y 8x上存在這樣的兩點(diǎn)A

17、Xi, yi , B X2, y2 則有:2 y12 y28x18x2* y2 *y28 X1X2kABx1 x2* y2線段AB被直線l1 : x+5y-5=0垂直平分,ki15,即一8一5y1y2y1 y2設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M X0, y，則yyiy224.代入x+5y-5=0得x=1.于是:5AB中點(diǎn)為M.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為:1，即：25x 5y 210（6）探索法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想一一證明一一再猜想一一再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風(fēng)光在險峰”.【例10】（10.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=