層次分析法的計算步驟[致遠書屋]

1、8.3.2 層次分析法的計算步驟一、 建立層次結構模型 運用AHP進行系統(tǒng)分析，首先要將所包含的因素分組，每一組作為一個層次，把問題條理化、層次化，構造層次分析的結構模型。這些層次大體上可分為3類1、最高層：在這一層次中只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果，因此又稱目標層；2、中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個層次組成，包括所需要考慮的準則，子準則，因此又稱為準則層；3、最底層：表示為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。層次分析結構中各項稱為此結構模型中的元素，這里要注意，層次之間的支配關系不一定是完全的，即可以有元素（非

2、底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關系所形成的層次結構，我們稱之為遞階層次結構。遞階層次結構中的層次數(shù)與問題的復雜程度及分析的詳盡程度有關，一般可不受限制。為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過9個，若多于9個時，可將該層次再劃分為若干子層。例如，大學畢業(yè)的選擇問題，畢業(yè)生需要從收入、社會地位及發(fā)展機會方面考慮是否留校工作、讀研究生、到某公司或當公務員，這些關系可以將其劃分為如圖8.1所示的層次結構模型。 圖8.1再如，國家綜合實力比較的層次結構模型如圖6 .2： 圖6 .2圖中，最高層表示解決問題

3、的目的，即應用AHP所要達到的目標；中間層表示采用某種措施和政策來實現(xiàn)預定目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、約束層、準則層等；最低層表示解決問題的措施或政策（即方案）。然后，用連線表明上一層因素與下一層的聯(lián)系。如果某個因素與下一層所有因素均有聯(lián)系，那么稱這個因素與下一層存在完全層次關系。有時存在不完全層次關系，即某個因素只與下一層次的部分因素有聯(lián)系。層次之間可以建立子層次。子層次從屬于主層次的某個因素。它的因素與下一層次的因素有聯(lián)系，但不形成獨立層次，層次結構模型往往有結構模型表示。二、構造判斷矩陣 任何系統(tǒng)分析都以一定的信息為基礎。AHP的信息基礎主要是人們對每一層次各因素的相對重要性

4、給出的判斷，這些判斷用數(shù)值表示出來，寫成矩陣形式就是判斷矩陣。判斷矩陣是AHP工作的出發(fā)點，構造判斷矩陣是AHP的關鍵一步。 當上、下層之間關系被確定之后，需確定與上層某元素（目標A或某個準則Z）相聯(lián)系的下層各元素在上層元素Z之中所占的比重。假定A層中因素Ak與下一層次中因素B1，B2，Bn有聯(lián)系，則我們構造的判斷矩陣如表8.16所示。 表8.16 判斷距陣 Ak B1 B2 Bn B1 B2 Bn b11 b21 bn1 b12 b22 bn2 b1n b2n bnn 表 8.16中，bij是對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性的數(shù)值表示，判斷矩陣表示針對上一層次某因素而言，本層次與之有關的

5、各因素之間的相對重要性。填寫判斷矩陣的方法是：向填寫人（專家）反復詢問：針對判斷矩陣的準則，其中兩個元素兩兩比較哪個重要，重要多少。對重要性程度Saaty等人提出用1-9尺度賦值，見下表8.17表8.17 重要性標度含義表重要性標度含 義1表示兩個元素相比，具有同等重要性3表示兩個元素相比，前者比后者稍重要5表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個元素相比，前者比后者強烈重要9表示兩個元素相比，前者比后者極端重要2，4，6，8表示上述判斷的中間值倒數(shù)若元素與元素j的重要性之比為, 則元素j與元素的重要性之比為=設填寫后的判斷矩陣為，則判斷矩陣具有如下性質：(1) 0，(2) =，(3)

6、=1 根據(jù)上面性質，判斷矩陣具有對稱性，因此在填寫時，通常先填寫=1部分，然后再僅需判斷及填寫上三角形或下三角形的n(n-1)/2個元素就可以了。在特殊情況下，判斷矩陣可以具有傳遞性，即滿足等式： ，當上式對判斷矩陣所有元素都成立時，則該判斷矩陣為一致性矩陣。采用19的比例標度的依據(jù)是：（1）心理學的實驗表明，大多數(shù)人對不同事物在相同屬性上差別的分辨能力在59級之間，采用19的標度反映了大多數(shù)人的判斷能力；（2）大量的社會調(diào)查表明，19的比例標度早已為人們所熟悉和采用；（3）科學考察和實踐表明，19的比例標度已完全能區(qū)分引起人們感覺差別的事物的各種屬性。 因此目前在層次分析法的應用中，大多數(shù)都

7、采用尺度。當然，關于不同尺度的討論一直存在著。三、層次單排序 所謂層次單排序是指根據(jù)判斷矩陣計算對于上一層某因素而言本層次與之有聯(lián)系的因素的重要性次序的權值。它是本層次所有因素相對上一層而言的重要性進行排序的基礎。 層次單排序可以歸結為計算判斷矩陣的特征根和特征向量問題，即對判斷矩陣B，計算滿足 BW = W （8. 18）的特征根與特征向量。式中，為B的最大特征根；W為對應于的正規(guī)化特征向量；W的分量即是相應因素單排序的權值。 為了檢驗矩陣的一致性，需要計算它的一致性指標CI，CI的定義為 CI = （8.19） 顯然，當判斷矩陣具有完全一致性時，CI=0。越大，CI越大，判斷矩陣的一致性越

8、差。注意到矩陣B的n個特征值之和恰好等于n, 所以CI相當于除外其余 n-1個特征根的平均值。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要找出衡量矩陣B的一致性指標CI的標準，Saaty引入了隨機一致性指標表8.18。 表8.18 19矩陣的平均隨機一致性指標 階數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 對于1階、2階判斷矩陣，RI只是形式上的，按照我們對判斷矩陣所下的定義，1階、2階判斷矩陣總是完全一致的。當階數(shù)大于2時，判斷矩陣的一致性指標CI，與同階平均隨機一致性的指標RI之比稱為判斷矩陣的隨機一致

9、性比率，記為CR。當CR=0.01時，判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需對判斷矩陣進行調(diào)整。四、層次總排序 利用同一層次中所有層次單排序的結果，就可以計算針對上一層次而言本層次所有因素重要性的權值，這就是層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進行，設已算出第k-1層上n個元素相對于總目標的排序為 ，第k層個元素對于第層上第j個元素為準則的單排序向量 其中不受第j個元素支配的元素權重取零，于是可得到階矩陣=其中中的第列為第k層個元素對于第層上第j個元素為準則的單排序向量。記第k層上各元素對總目標的總排序為： 則 = 即有，五、一致性檢驗 為評價層次總排序的計算結果的一致性如何，需要計算與單排序類