2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修3一課三測：1.8 最小二乘估計(jì) 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績8最小二乘估計(jì)填一填1。最小二乘法(1）定義：如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1），(x2，y2),，（xn，yn），可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線yabx的接近程度：y1（abx1）2y2（abx2）2yn(abxn）2。使得上式達(dá)到最小值的直線yabx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)應(yīng)用：利用最小二乘法估計(jì)時(shí)，要先作出數(shù)據(jù)的_圖如果_呈現(xiàn)出線性關(guān)系,可以用最小二乘法估計(jì)出線性回歸方程;如果_呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合2線性回歸方程用表示，用表示,由最小二乘法可以求得，_，這樣得到的直線方程x稱為線性回歸方程,，是線性回歸方程

2、的_。判一判1.用最小二乘法求出的回歸系數(shù)可能是正的，也可能是負(fù)的()2用最小二乘法求出的系數(shù)可以使回歸直線更貼近實(shí)際情況()3若回歸系數(shù)是負(fù)的,則y的值隨x的增大而減小(）4根據(jù)最小二乘法求出回歸系數(shù)，從而可以表示出線性回歸方程,這個(gè)方程可以準(zhǔn)確表示每一個(gè)數(shù)據(jù)（)5已知變量x的值，可由回歸方程x得到變量y的精確值()6線性回歸方程x必經(jīng)過點(diǎn)（,）（)7由一組數(shù)據(jù)（x1,y1),(x2，y2），（xn,yn）得到的回歸直線方程x至少經(jīng)過（x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)（)8直線x的斜率為。（）想一想1.線性回歸方程與直線方程的區(qū)別是什么？提示：線性回歸方程中的y與實(shí)際值

3、y有區(qū)別，因?yàn)榫€性回歸方程中的“y”的值是通過統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)所得到的一個(gè)預(yù)測值，它具有隨機(jī)性，因而對(duì)于每一個(gè)具體的實(shí)際值而言，y的值只是比較接近,但存在一定的誤差2回歸分析的三個(gè)步驟是什么?提示：(1）判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫散點(diǎn)圖(2)求回歸方程，注意運(yùn)算的正確性（3）根據(jù)回歸直線進(jìn)行預(yù)測估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差3求線性回歸方程的步驟是什么?提示：(1）計(jì)算平均數(shù)，。（2)計(jì)算xi與yi的積，求iyi.（3)計(jì)算。(4）將結(jié)果代入公式，求。(5)用，求。（6）寫出回歸方程4用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟是什么?提示：(1）作出散點(diǎn)圖,判斷散點(diǎn)是否在一

4、條直線附近；(2）如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出,并寫出線性回歸方程(3）根據(jù)線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)思考感悟練一練1已知線性回歸直線的斜率的估計(jì)值是1。05，樣本中心點(diǎn)為（4,5)，則線性回歸直線是（）ay1.05x4 by1。05x0.8cy1.05x1。05 dy1.05x0。82在最小二乘法中，用來刻畫各樣本點(diǎn)到直線yabx“距離”的量是()ayi b(yi)2c|yi（abxi)| dyi(abxi）23線性回歸方程x表示的直線必定過()a(0，0）點(diǎn) b(，0）點(diǎn)c（0，）點(diǎn) d（，）點(diǎn)4在一次實(shí)驗(yàn)中，測得（x，y)的四組值為(1,2),(2,3）,（3,4）,(4,5），則

5、y與x之間的線性回歸方程為(）a。x1 b.x2c。2x1 d。x15下列說法正確的是_（把正確說法的序號(hào)全填上）已知線性回歸方程為0.5x2，則當(dāng)x2時(shí)，變量y的值一定為3;已知一個(gè)線性回歸方程為1.5x45（xi1，5，7，13，19），則58.5；任給兩組變量，我們都可以通過線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測；散點(diǎn)圖中的絕大多數(shù)點(diǎn)都表現(xiàn)出兩變量線性相關(guān)，個(gè)別特殊點(diǎn)不影響線性回歸.知識(shí)點(diǎn)一求線性回歸方程1。設(shè)有一條回歸直線的方程為21.5x，則變量x增加1個(gè)單位時(shí)()ay平均增加1。5個(gè)單位by平均增加2個(gè)單位cy平均減少1.5個(gè)單位 dy平均減少2個(gè)單位2已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)x1234y134

6、5（1)作出散點(diǎn)圖;（2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回歸直線方程知識(shí)點(diǎn)二線性回歸方程的應(yīng)用3。為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球的時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃的命中率y（單位：個(gè))：時(shí)間x12345命中率y0。40.50。60。60。4用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_4某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間(x個(gè)月）和市場占有率(y%）的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x12345y0.020.050.10.150。18（1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程

7、;(2）根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢，并預(yù)測自上市起經(jīng)過多少個(gè)月，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0。5%.（精確到月)附：，.綜合知識(shí)最小二乘估計(jì)5.一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中，已知船的噸位區(qū)間為192,3 246(單位：噸)，船員人數(shù)y與噸位x之間具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程為9。50。006 2x。(1）若兩艘船的噸位相差1 000，求船員平均相差的人數(shù)；（2）估計(jì)噸位最大的船和最小的船的船員人數(shù)6某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額），如表1：年份x20132014201520162017儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810為了

8、研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，tx2 012，zy5得到表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235（1）求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3）用所求的回歸方程預(yù)測到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款可達(dá)多少?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且2。347x6。423；y與x負(fù)相關(guān)且3.476x5.648；y與x正相關(guān)且5.437x8。493；y與x正相關(guān)且4。326x4.578。其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()a bc d2已知x,y的取值如表所示，若y與x線性

9、相關(guān),且0.95x，則（）x0134y2。24.34.86.7a.2。2 b2.6c2.8 d2。93根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02。50。50。52。03.0得到的回歸方程為x，則（)a。0，0 b。0，0c.0,0 d。0，12。5。預(yù)計(jì)上市13個(gè)月時(shí)，市場占有率能超過0.5.5解析：（1)設(shè)兩艘船的噸位分別為x1,x2，則船員人數(shù)為1，2,129。50.006 2x1(9.50。006 2x2）0.006 21 0006,即船員平均相差6人(2）當(dāng)x192時(shí),9。50。006 219211，當(dāng)x3 246時(shí),9.50.006 23 24630.即估計(jì)噸位最大的船和最小的船的船

10、員人數(shù)分別為11,30。6解析：（1)3，2.2，izi45,55，1。2,2.231。21.4，所以1.2t1.4.（2）tx2 012,zy5,代入1.2t1.4得到:y51。2(x2 012）1。4，即y1.2x2 410。8.(3)所以y1.22 0222 410。815。6，所以預(yù)測到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15。6千億元三測學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1解析：由正負(fù)相關(guān)性的定義知一定不正確答案:d2解析：由x，y的取值表知:2，4.5，因?yàn)榛貧w直線都經(jīng)過點(diǎn)（，)即過點(diǎn)(2,4.5)，代入方程得：2。6.答案：b3解析：作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖像可知,回歸直線x的斜率0。故0，0,因此變量x增加

11、1個(gè)單位時(shí)，y平均增加1。2個(gè)單位答案：a5解析：回歸直線x一定過點(diǎn)（，)，故a正確;線性回歸方程x中,x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加個(gè)單位，故b正確;線性回歸方程x中，樣本數(shù)據(jù)中x0時(shí)，可能有y，也可能有y，故c正確，d不正確故選d答案：d6解析:將y7。675代入回歸方程，可計(jì)算得x9.262,所以該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為7。6759。2620.83，即約為83%.答案：a7解析：9,0。7910。34.4，解得m5.故選b。答案：b8解析：將200代入線性回歸方程y0.01x0.5中，得y2。5。答案：2.59解析:設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)的值為a，依題意知，3.5?；貧w直線恒過

12、樣本點(diǎn)的中心(,)，3.59.49。142。42(26a4956）,a37.答案：3710解析:因?yàn)?.5,3.5，所以3.50.74。50。35。所以回歸直線方程為0.7x0.35.答案:0.7x0。3511解析：由已知可得17.4,74。9。設(shè)回歸直線方程為3.53x，則74。93。5317。4，解得13.5.答案：13。512解析：設(shè)回歸直線方程為x,則6。5.易知50,5，所以5032.517.5,即回歸直線方程為6.5x17.5.答案：6。5x17。513解析：由已知數(shù)據(jù)得3,8,iyi310244465146,149162555，則2。6，82.630。2，則回歸直線的方程為2.6x0.2,則2018年的估計(jì)值為2.670.218。4.14解析：(1）散點(diǎn)圖如下：(2)設(shè)成本y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為x，4，9.1.1，91.144。6。所以，回歸方程為1.1x4。6。(3）當(dāng)x8時(shí)，1。184.68.84.613。4,即產(chǎn)量為8千件時(shí)，成本約為13.4萬元15解析：（1)6,79.86。（2)因?yàn)?.75，79。864。75651.36，所以純利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程為51.364.75x.（3）當(dāng)200時(shí)，2004.75x51.36,所以x31。29.因此若該店每周至少要獲純利200元，則該店每天至少要銷