用最小二乘法求解線性模型及對(duì)模型的分析

1、用最小二乘法求解線性模型及對(duì)模型的分析作者:鄧春亮1.研究30名兒童體重為因變量與身高為自變量的關(guān)系兒童體重與身髙的記錄如下表:編號(hào)體重Y(kg)身髙X(cm)123e456789101112131141516171819202122231(24252627282930%試用計(jì)算機(jī)完成下面統(tǒng)計(jì)分析:（1）應(yīng)用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程：（2）以擬合值刃為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，分析Gauss-Markou假設(shè)對(duì)本例的適用性；（3）一1.4.考慮因變量的變換U = Y,再對(duì)新變量和X重復(fù)（1）和（2）的統(tǒng)計(jì)分析；（5）將Box-Cox變換應(yīng)用到本例，計(jì)算變換參數(shù)幾的值，并做討論。說(shuō)明：第一

2、題的數(shù)據(jù)和結(jié)果文件見附件1,下面第二題的數(shù)據(jù)文件和結(jié)果文件見附件2,必要時(shí)可參看。解:（1）在SPSS窗口中錄入數(shù)據(jù)，首先進(jìn)行異常值檢測(cè)，探査對(duì)回歸估汁有異常大影響的數(shù)據(jù)匚 先利用SPSS畫出體重與身髙的散點(diǎn)圖圖1 1 從圖1可以看出沒有明顯不一致的點(diǎn)。也可以通過(guò)SPSS軟件計(jì)算COOK統(tǒng)計(jì)量，看下表 表1 1編號(hào)殘差玄學(xué)生化殘差斥center/:|7COOK統(tǒng)計(jì)量D123456789.0331270477.490030220447518.34183.05491.02770.03138.00489.0516111182.08920.07294).00594.07835.00002.07778.

3、0046301048.00992.04807.0780001180Mean Square10B.85964.42576.00310.00351.01397.003471164786.31710.01355.0024712.48000.00710.001430000013.01081.005940772614.00139.0052015.00434.0254716.000080019017.0064318；.0043119.01183.0932920.00038029400.000030198921.004340360822.032491061123025220415024.62283.0726

4、802300259130602088.0032026.031210113427.01887128-0402629).11878.0293530.89321.6467117316.0544291306.89321以擬合值氏為橫坐標(biāo)，殘差G為縱標(biāo)，得殘差圖殘差圖3.00000-2.00000 一lenp-SQa poZPEPUElsun1.00000-0.00000-1.00000 -2.00000 一-3.00000 -4.00000 -18.0000028.0000020.0000022.0000024.0000026.00000Unstandardized Predicted Value圖1

5、 一 2從圖中可以看岀，殘差圖沒有明顯的不一致的征兆，則可以認(rèn)為Gauss-Markou假設(shè)e 2（0,計(jì)算分別計(jì)算才然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差平方和RSS（入z），這里n=30z計(jì)算得到彳如表所示，這里乙表示Z；。表1 一5編號(hào)UZ1Z2Z3Z4Z5Z6Z71234567891011121314151617181920212223242526272829301$ %,123456789101112131415161718192021222324252627282930.38119.21088.2315212316 67800.07509.07238.05156.00889.05330 ).11302

6、.09125 12873 .01058 .00882.004180164012356.14264.00413.00510.02725.00666.3343600754.06029 02950 .04463 .02553.13059.0299504540.02738 14686.1744304052 05021 .05380 .01386 023051.0238703713.00705.00723 .00905 .00258 .00045.21459 .04973 .00281).02627 .00312 .00406 .00862 .02538.00185.02484.09102.04514

7、01168e.01980 .00083 .09585 .0011104018從表中24的計(jì)算結(jié)果可以看出，第19個(gè)觀測(cè)的杠桿率最高為。因此，第19個(gè)樣本點(diǎn)最有可能對(duì)模型擬合造成 較大的影響。然后求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程，從運(yùn)行結(jié)果的方差分析表2-2(ANOVA(b)可以看岀F統(tǒng)計(jì)量的P-值(Sig.)為，這表 明模型在總體中是顯著的。表 2-2 ANOVA(b)ANOV*ModelSum of SquaresdfMean SquareFSiq.1RegressionResidual Total153.98435.534189.5192272976.9921.31658.501000aa. Predic

8、tors: (Constant),胸圍X2,身高X1 b Dependent Variabb:體重丫表23CoefficientsModelUnstandardized CoefficientsStandardized Coeff icie ntstSiq.BStd. &rorBeta1(Constant)身 IWX1 胸圍X2 36.1332993625.535.045.074.607.454-6.5286.5654.914.000.000.000a. Dependent Variabb:體重丫從回歸系數(shù)訃算分析表23 (Coefficients(a),可知道回歸方程的常數(shù)項(xiàng)為，自變量身高和

9、胸用相對(duì)應(yīng)的未標(biāo) 準(zhǔn)化的回歸系數(shù)(Unstandardized Coefficients)分別為、，因而回歸方程為ys = -36.133 + 0.299兀 + 0.362x2.且從表中可知3個(gè)系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量的P值均為，這表明模型在總體中是顯著的。以擬合值氏為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖：圖24殘差圖2.000001.00000-0.00000-1.00000-2.000003.00000-15.0000018.0000021.0000024.0000027.0000030.00000Unstandardized Predicted Valuc從圖2-1可以看出，殘差圖從左至右逐漸散開呈漏斗

10、狀，這是誤差方差不相等的征兆?？紤]將因變量Y進(jìn)行Box-Cox 變換，跟第一題的（4）問(wèn)同樣。這里同樣分別取人,21,2,.7值為，1, 0, 1,計(jì)算分別計(jì)算/）,然后計(jì) 算對(duì)應(yīng)的殘差平方和RSS,?0）,這里n=30,H-算得到彳如表1-5所示，然后訃算對(duì)應(yīng)自變量和X?的殘差 平方和RSS仏尹）。得ZPZ2 . Z7方差分析表如下A NOV轉(zhuǎn)ModelSum of SquaresdfMean SquareFSiq.1Regressi onFtesidual Total151.50937.900189.4092272975.7541.40453.967.000aa. Predictors:

11、(Constant),胸圍 X2,身高X1 b Dependent Variable: Z19Z ：qqBiJeA juspusdaa qLXW *2X1860 (iuejsuoo):sjoppsjd bc000109899Ll S669Z62ZS 乙6I-9-68L 憶丁我 咖SSL|可0丄 lnpissy uoisssj68ylasdownbs uesiJPssje nbg ouj nsQPOWdVAONVZ ：9|qEueA juspuadaQ qLX 旱皆 *2XlllSgl(lUEisuo9):sjoppsjd ecooo-6888916乙J9209Z63Z3 乙606*981ZS8

12、frIS02SLISO丄 lenpisay uoiss9j6syisdoEnbs UE8|JPssjB nbs )o uj nsQPOWqVAONVfrZ :qqBueA juspuadaa q 亦圉國(guó) puejsuoo):sjojoipsjd beOOO-0L9的Z82L 9乙W62Z3 乙869*981乙 S80SI1可0丄 lenpissy uoisssj69yi6iSdownbs UE8|JPS9JB nbg |ouj nsQPOWqVAONVZ ：s|qeijeA juspusdaa qLX旱皆 42XH(gi 7iuejsuoo):sjoppajj bc000*ZS9ZSfrOEl

13、08rgz62ZS 乙Z99* 98190SSCL9eO9L1可0丄 lenpissy uoisssj69yiasdownbs UE9|IPssje nbg ouj nsQPOWcAONV乙Z ：9|qeijeA juspuadaa qLX旱皆 *3XllIgi7lUBjsuoo):SJOJOipSJd Ecooo-180-99062-9Z63Z3 乙858*981 眈9 089* 091IS。丄 lenpisay uoiss9j6syisdoEnbs UE8|JPS9JB nbs )o uj nsQPOWqVAONVModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1

14、Regressi onFtesidual Total156.67436.787193.4612272978.3371.36257.49600()aa Predictors: (Constant),胸圍X2,身肓X1 b Dependent Variable: Z7從上而的方差分析表中可以得到曲=12,7對(duì)應(yīng)的殘差平方和RSS&/)表24201RSS0從這個(gè)表中可的簡(jiǎn)單比較可以看出當(dāng)2 = 0時(shí)，殘差平方和(2,z(yl) = 34.747達(dá)到最小，而2 = 0.5對(duì)應(yīng)的 殘差平方和次之為，且從的方差分析表可知它們對(duì)應(yīng)的P值都為，都具有顯著性。現(xiàn)在再看兄=0和2 = 0.5時(shí)，對(duì) 應(yīng)因變量Z4和

15、Z5對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)分析表。CoefficientsModelUnsta ndardized CoefficientsStan dardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)14.0925.4732.575.016身高X1.290.045.5966.458.000胸圍X2.367.073.4665.044.000a. Dependent Variable: Z4CoefficientsModelUnsta ndardized CoefficientsStan dardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBet

16、a1(Constant)-22.2355.482-4.056.000身高X1.294.045.6026.530.000胸圍X2.364.073.4604.994.000a. Dependent Variable: Z5從上而兩個(gè)表可知，因變量為即幾=0時(shí)的回歸系數(shù)常數(shù)項(xiàng)(Constant)值為，對(duì)應(yīng)的回歸方程為乙=14.092 + 0.290曲+0.367%，但其常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的P值(Sig)為,還是比較大的，當(dāng)取a = 0.005時(shí)，則方程常數(shù)項(xiàng)就不具有顯著性了：因變量為Z“即2 = 0.5時(shí)的回歸系數(shù)常數(shù)項(xiàng)(Constant)值為，對(duì)應(yīng)的回歸方程為2產(chǎn)-22235 + 0294兀+0364占，其所有系數(shù)的P值都是，這個(gè)值是很小的，都具有顯著性。這說(shuō)明2 = 0.5時(shí)，因變量對(duì)自變量X、和X2進(jìn)行模擬得到的方程顯著性更好一些。因此才是變換參數(shù)2的最優(yōu)選擇.（3）當(dāng)2 = 0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的Box-Cox變換即為如上而可知這時(shí)因變量Z5對(duì)應(yīng)的回歸方程為Z, =-22235 + 0294心+0.364x2f,這時(shí)因變量Z5對(duì)應(yīng)的擬合值2和殘差R如下表表25Z,擬合值N殘差G94944.60865.36