定積分的例題分析及解法

1、定積分的例題分析及解法本章的基本內(nèi)容是定積分的概念、計算和應用一、定積分的概念1定積分是下列和式的極限bnf (x)dx lim f ( i) xia 0i 1其中 max xi1 i n因此，定積分是一個數(shù)，它依賴于被積函數(shù)f (x) 和積分區(qū)間 a,b定積分與積分變量用什么字母無關：bba f (x)dx a f (t)dt定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積(當被積函數(shù) f (x) 0 時)。2定積分的性質bbbk1f (x) k2g(x)dx k1 f(x)dx k2 g(x)dx aaab a aa f (x)dx b f (x)dx, a f (x)dx 0b c ba f (x)dx

2、 a f (x)dx c f (x)dxbb( 1)線性性質(2)(3)(4)若 f (x) g(x),則 f (x)dx g(x)dx aa，使下式成立( 5)積分中值定理：設 f (x) 在 a,b上連續(xù)，則在 a,b上至少存在一點a(x)dx f( )(b a),其中 a.b 。 a( 6)估值定理：若 f (x)在 a,b上可積，且 m f(x) M ，則有不等式bm(b a) f (x)dx M (b a)adxddx a f(t)dt f(x)( 7)若函數(shù) f (x)在 a,b上連續(xù)，則有3廣義積分。二、定積分的計算1牛頓萊布尼茨公式：ba f (x)dx F(b) F(a)2換

3、元法：注意，在換元的同時不要忘記換積分限3分部積分法：b b bau(x)d (x) u(x) (x) ab a (x)du(x)4定積分的近似計算：梯形，拋物線法。三、定積分的應用基本方法是： (1)代公式；( 2)微元法1平面圖形的面積( 1)直角坐標系。注意選擇合適的積分變量x 或 y 可使計算簡化( 2)參數(shù)方程( 3)極坐標系2旋轉體體積3平面曲線弧長4物量應用：變速直線運動的路程(已知速度函數(shù)(t) ，變力作功，引力，液體側壓力。注：定積分的幾何應用可直接代公式，要求記住面積、體積和弧長的公式，定積分的物理應用強調用 微元法，解題的一般步驟是：( 1)建立坐標系；( 2)取典型微段

4、；( 3)寫出微元表示式；( 4)寫出所求量的定積分表達式，并進行計算。一、疑難解析在這一章中，我們接觸到了微積分學中的又一個重要的基本概念：定積分，與前面所學過的函數(shù)在某 點連續(xù)或可導等概念相比，定積分的概念顯得要復雜些，定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質， 當然定積分的概念也是利用極限的概念來建立的，這與連續(xù)、可導的概念相類似，但它是另一種形式的極 限，因此它的很多性質可以由極限的性質而得來，另一方面需要特別指出的是，與前一章不定積分的概念 相比，這兩者只一定之差，卻有著本質的不同，前者討論的是函數(shù)的原函數(shù)，而后者是一個和式的極限。 這一點在學習過程 不要使之相混淆。當然，微積分基本

5、定理(即牛頓萊布尼茨公式)反映了定積分與 不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，或者說微分學與積分學的內(nèi)容在聯(lián)系。(一)關于定積分的定義在定積分的定義中，極限nlim f( i) xi0i 1在存在不依賴于對 a,b 區(qū)間的分法， 也不依賴于 i 在小區(qū)間 xi 1,xi 上的取法 (i 1,2, ，n) ，這兩 點非常重要，不可缺少，換言之，若由于a,b的分割法不同而使極限nlim f( i) xi0i 1取不同，則 f(x)在 a,b 上是不可積的：若上述極限由 i 的取法不同而取不同的值時， f(x)在 a,b上同樣不可積。函數(shù) f(x)在 a,b 上可積的條件與 f(x)在 a,b 上連續(xù)或可導的條件相

6、比是最弱的條件，即 f(x) 在a,b 上有以下關系。可導 連續(xù) 可積反之都不一定成立。定積分 a f ( x)dx是一個數(shù)，當被積函數(shù) f ( x)及積分區(qū)間 a,b 給定后，這個數(shù)便是確定的了，它除b 了不依賴于定義中的區(qū)間分法和 i 的取法外，也不依賴于符號 f(x)dx 中的積分變量 x，即 abbf (x)dxf (t)dt ，因此，定積分記號中的積分變量可以用任何字母來表示，此外，對于定積分符號aaba f (x)dx 意味著積分變量 x 的變化范圍是 a x b。(二)有關定積分的性質 在定積分的性質中，除了類似于不定積分的線性性質以外，還要記住下列基本公式：abf (x)dx

7、f (x)dxaa f(x)dx 0b1dx b aa 定積分關于積分區(qū)間的可加性是一個很重要并且在計算定積分時常用的性質，即c b ba f(x)dx c f(x)dx a f(x)dxa c a當利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分時，若被積函數(shù)是分段函數(shù)，就需用到這條性質，另外在解定積分的幾何應用問題時，也要經(jīng)常用到這一性質，要注意到在利用這個性質時，c 點并不一定在 a,b 內(nèi)部，可以有 c a，或者 c b ，前提是只要被積函數(shù)在每個相應的區(qū)間上都是可積的。由于定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質，所以不能用它來研究函數(shù)的局部性質，例如有兩個在 a,b 上可積的函數(shù) f (x) 和 g

8、(x) ，若f (x) g(x) (x a,b )則由定積分的性質知道bba f (x)dx a g(x)dx反之，當bba f (x)dx a g(x)dx成立時，卻不一定在a,b 上恒有 f(x) g( x).例如，設 f(x) 1 x2,g(x) 3,在 1,1 上有41 1 21 f (x)dx 1 1 x2 dx 2 11f (x)dx 1 x2 dx顯然111 f (x)dx 1g(x)dx但我們注意到3 7 9 3 3 f ( ) g( )4 4 4 4 4奇函數(shù)或偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的結論也是很有用的，但要求被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，積此函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，然而若設

9、f1(x)5 x1 x2f2(x)21 x2分區(qū)間的對稱區(qū)間 a,a ，不過在解題時可以活用，例如則 f1(x) 是奇函數(shù)， f2(x) 是偶函數(shù)，且f (x) f1(x) f2(x)利用定積分的線性性質及奇偶數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結果很容易計算出2121x5 2dx221dx212 dx21x0 4 2 1 2 dx0 1 x214arc sxin20三)關于變上限的定積分若 f (x) 在 a,b 上連續(xù)，則變上限積分x(x) f (t)dta是 a,b 上的一個可導函數(shù)，自變量是 x ，且(x) f (x)同樣可以考慮變下限的定積分，即bG(x) f (t)dtxbx顯然G (x) ( x

10、 f(t)dt) ( b f (t)dt)( bx f (t)dt)f(x)有時我們可能還會遇到形式上更一般的變上限積分g(x)(x)f(t)dt同樣可以求 g(x) 的導數(shù) (在 (x) 可導的條件下)，就是先將 (x) 看做一個中間變量， 再利用復合函數(shù)的求導法則求出 g(x) 的導數(shù)：g (x) f ( (x) (x)例如求極限x20 ln(1 t)dt lim 0 x0x4利用洛必達法則有x2( 0 ln(1 t)dt)原式 lim 0 4x 0(x4)ln1( x2 ) 2x4x3四)關于牛頓萊布尼茨公式1lim2 x 0122 ln(1 x2) x2x211lim l n1( x2

11、 )x21ln e212牛頓萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內(nèi)容中， 要表面在以下方面：1 當被積函數(shù)連續(xù)時定積分的計算可通過求原函數(shù)來進行：而且在整個微積分學中都是一個很重要的結論，若 F(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù)，則ba f(x) F(b) F(a)因此這個公式揭示了定積分與不定積分之間的本質聯(lián)系，這種本質聯(lián)系還可由下列兩個公式來闡明d f (x)dx f(x)dxd a f(x)dt dx af(x)2由b n n f(x)dx lim F (xi) xi lim (dF)a 0i 1 0i 1 可知定積分與微分之間的本質聯(lián)系。還有一點要說明的是， 雖然牛頓萊布尼茨公式簡化了定積分

12、的計算， 但某些函數(shù)的定積分卻無法用 這個公式來計算，例如下面的兩個函數(shù)x2 sinxf (x) e 及 g(x)x都是連續(xù)函數(shù)(對于 g(x) ，只需令 g(0) 1便成為連續(xù)函數(shù)) ，由于這兩個函數(shù)的原函數(shù)都不是初等，因此無法用牛頓萊布尼茨函數(shù)(后面的章節(jié)中可以看到這兩個函數(shù)的原函數(shù)可表示為冪級數(shù)的形式)公式來計算這兩個函數(shù)在某個區(qū)間上的定積分。五)換元積分法的運用定積分的換元法與不定積分換元法類似， 差別在于： 在定積分的換元積分法中， 每進行一次變量替換， 同時要將定積分的上下限作相應的改變， 而在關于新積分變量的原函數(shù)求出后， 不要將新變量解換成舊積 分變量。(六)定積分的應用1定積

13、分的幾何應用，記住面積、弧長和旋轉體體積的計算公式。對于面積問題，選擇合適的積分 變量，有時可簡化計算；對于弧長問題，要先計算 1 (y)2 ；對于旋轉體體積問題，要分清是繞Ox軸還是繞 Oy 的軸旋轉。2定積分的物理應用，一般使用微元法。具體計算時按照下列四個步驟進行：(1) 建立坐標系：確定所求的總體量Q 所在的區(qū)間 a,b ：2)取微段：將 a,b 區(qū)間劃分為一些微段 (小區(qū)間) 之和，在微段 x上總體量 Q 被劃分為微量 Q；3)表示微量：確定函數(shù) f(x)，使得 Q f (x) x(4)用定積分表示總體量并計算：f(x) x就是總體量Q 的近似值，取極限便可得到bQ a f (x)d

14、x ；a這就是微元法的解題過程七)關于廣義積分廣義積分是定積分的推廣，以無窮積分為例，我們知道bf (x)dx lim f (x)dxdx要記住dxp 的收斂性。a x p在計算收斂性的廣義積分時也要有類似于牛頓萊布尼茨公式的計算式，即若 函數(shù)，則a f(x)dx F(x) a F( ) F(a)F(x)是 f (x) 的一個原其中 F( ) 表示極限 lim F (b) ，如果此極限存在，則廣義積分收斂，且即可由此求出其值，如果 b此極限不存在，則廣義積分發(fā)散。 在求廣義積分的值時，也有與定積分相類似的換元各分法和分部積分法。、例題分析例 1 為下列各題選擇正確答案：1 1 21) exdx

15、 與 ex dx 相比，有關系式()1x0exdxB1 x 10 ex dx 02ex dxA120 ex dxdx2x e1sint sinaA Bta( 3)下列等式中正確的是()dbAf (x)dx f (x)dx adxC d a f (x)dx f (x)dx ab( 4) a f (3x) ( )asinxC cosxDxB d f (x)dx f (x) C dxD f (x)dx f (x)A f (b) f (a)C 1 f (3b) f (3a)3B f(3b) f (3a)D3 f (3b) f (3a)b 3 25)設 I02x3f (x2)dx(b 0)，則( )1

16、b4b2AI 2 0f (x)dxB I02xf (x)dx1 b2b2CI 2 0f (x)dxD I 0xf (x)dx解(1)當0 x 1時，有 x2 x 。由于指數(shù)函數(shù)y ex是單調增函數(shù)，因此當 0 x 1 時有x e2 x e由定積分的性質可知1x0 exdx 012ex dx正確答案選擇 B。(2) 由變上限定積分求導結果得到ddxxsint dt sinxtx正確答案應選擇 D 。(3) 由不定積分的定義，導數(shù)運算，變上限積分的求導結果得 dbf (x)dx 0dx ad f (x)dx f (x) dx dxd a f (x)dx f (x) dx af (x)dx f (x

17、) C正確答案應選擇4)由于C。 11 ( f (3x) f (3x) ，即 f (3x) 是 f (3x) 的一個原函數(shù)，故由牛頓萊布尼茨公式得 333ba f (3x)dx113f(3x)1 f(3b) f(3a)正確答案應選擇(5)利用湊微分法b 3 2ab2x3 2f(x )dxb 2 2 20 x2 f(x2)d(x2)2b2x2 u 0 uf (u)du定積分與表示積分變量的符號無關，即b2I 0 xf (x)dx正確答案應選擇 D例 2 給出下列各題的正確答案：x1)sin tdt lim 0 2 x 0 x255設 f (5) 2, 50 f (x)dx 3, 則 xf (x)

18、dx3)4 x2dxa(xcosx 5sin x 2)dx5)如果 b 0 ，且bln xdx 1, 那么 b1)此極限是 0 型，利用洛必達法則得 0xsintdt lim x0x( sin tdt) lim 0 2 x 0 (x2)si nx lim x 0 2x 1 si nx 1 lim2 x 0 2x 2由定積分的分部積分法，得50xf (x)dx 0 xd(f (x)xf(x)5505 05 f(x)dx3)10 3 7 被積函數(shù)的曲線是圓心在原點，半徑為 2 的上半圓周，由定積分的幾何意義可知由此積分計算 的是半圓的面積，故有2 4 x2 dx2224)利用定積分的線性性質可得a

19、0，再利用熟知的結論得a a a 原式x cos xdx5sin xdx 2dxa而前兩個積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個定積分值均為a 原式 2dx 2 ldx 4a aa5)利用分部積分法得b1 lndx xlnx 1 1b1x dxxblnb (b 1) bln b b 1由已知條件得blnb b 1 1由此得blnb b 0，即 blnb b b 0 ， lnb 1 ，即得 b e 。例 3 利用定積義的性質證明不等式 14 2 x2 x 22e 4ex xdx 2e2分析 本例要解決的是定積分的估值問題，由估值定理有：若可積函數(shù) f(x) 的區(qū)間 a,b 上滿足m f (x) M ，

20、則m(b a) ab f (x)dx M(b a)故本例的關鍵是確定被積函數(shù) ex x 在 0,2 上的最大值及最小值。由 e 1可知 ex是單調增加的函數(shù)， 因而只要求出 y x2 x 在 0,2 上的最大值 M 1 ，及最小值 m1 ， 則 M eM1 ， m em1 就是 ex x 在 0,2 上的最大值及最小值。證明 y x2 x ，因 y 2x 11 令 y 0 得 x 12由 y(1)1 ， y(0) 0,y(2) 2, 知 y x x 在 0,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 為M1 2,m11，又因為 y ex是單調增加函數(shù)，因而在 0,2 上有412 e 4 e

21、x x e2再利用定積分的性質便得出1 2 x 2 x 2(2 0)e 4ex xdx (2 0)e2122 即 2e 42ex2 xdx 2e2例 4 設e2x 2y g(x) 0 (t 2 2t 1)dt求 g (x)分析 本例為變上限定積分求導， 因變動的上限是自變量 x的函數(shù)， 故要用到復合函數(shù)求導法則。2x解設u e2x ，則得到以 u 為自變量的函數(shù)。u2y 0 (t 2 2t 1)dt10根據(jù)變上限定積分的性質可得于是從而得到dy u2 2u 1 dug(x) G(u)g (x) ddyudu 2 2x(u 2u 1)2e dx2x 4x 2xg (x) 2e2x(e4x2e2x

22、1)小結 從本例可以知道，對于變上限的定積分g(x) a(x) f(t)dt其中 (x)是可微函數(shù)， f (t)可積，則 g (x) f( (x) (x)。例5(1)用換元積分法計算下列定積分0 dx2 x2 2x 29x(2) 49 xx1dx(3)e3dx12ex( 4) 1 2dx1x1 x 1 lnx分析有了牛頓萊布尼茨公式，求定積分的問題實質上就歸結為原函數(shù)的問題。但定積分的積分法也有自身的特點，以換元積分法為例，“換元變限”就是這它的特點，解題時一定要注意，且積分限的變換必須上下對應。用第一換元法求定積分時，也可以只湊微分不換元，因此不變積分限，總的原是則：若換元，須變 限，只湊微

23、分不變限。解 ( 1)將被積函數(shù)整理成1112 2 2x2 2x 2 (x2 2x 1) 1 (x 1)2 1令 x 1 t ，則 dx dt ，當 x 2 時 t1 ， x 0 時 t 1 ，原定積分0 dx 0 d(x 1)222 x2 2x 2 2 (x 1)2 111dtt21 arctatn1此題也可直接湊微分計算：原積分0 d(x 1)2 (x 1)2 1112d arctaxn(1)arct axn (1)2dx 2tdt ，x49t23所以9x49 x dxx13t 2t dt23 2t 2t 1dt2 3 (t2 1) 1dtt12）對原積分作變量替換，令x t ，則有 x

24、t2 ，312 2(t 1 t 11)dt3 3 12 2(t 1)dt 2 2 1 dt t12(t 1)2 2 21nt 116 9 2ln2 2ln1 7 2ln23）對原積分作變量替換，令 ln x t, 則 x et， dx etdt ，x13 et03e3 dx3 dtx 1 ln x1t對此積分繼續(xù)作變量替換，令 1 t u ，則有 t u2 1， dt 2udu ，t30u21由此又得dt1 2udu1t22 12 du 2即此題也可以直接湊微分計算：e3dx1 x 1 lnx原積分1e3 d(1 lnx)1 1 ln x12（4）對原積分作變量替換，令得e32 1 lnx 1

25、42211t ，則 dx 2 dt ，x t 2212exx2112 edt eee此題也可以直湊微分計算：21 原積分exd(1)1x 211 d(ex)1ee小結1。積分限是積分變量的變化范圍，如果積分變量改變了，則積分限必須同時改變，如果積分變量不變（例如用湊微分法時）則積分限不變。2新積分變量的上限對應于舊積分變量的上限，新積分變量的下限時應于舊積分變量的下限。例如1上例中不能因為1t 1 而寫成22ex1 t2 dx1etdt 。x例 6 用分部積分法求下列各定積分：1) 2 e2x cosxdx02）e1 ln xdxe分析 定積分的分部積分公式b(x)du(x) abu(x)d

26、(x) u(x) (x)a2）小題時應先設法去掉被積函b中的 u（x） （x） 是一個常數(shù)，在計算過程中要隨時確定下來，在計算第（ a數(shù)的絕對值號，這就需要根據(jù)絕對值的性質適當利用定積分對區(qū)間的可加性質。 解（1）02e2xcosxdx 02 e2 xd （ sixn）13從上述等式經(jīng)移項和整理后得出e2xsi nx2 2x2si nxdee2 2e2x sinxd xe 02 2e2xd ( c osx)2xe 2e c osx0 4e2xco sxdxe 2 4 2 e2x cosxdx02 e2x cos xdx（2）首先去掉被積函數(shù)的絕對值號，因為定積分的性質則得到1x 1時， lnx

27、 0；當 1 x e時， lnx 0， e利用1 ln xdx 1 ln xdxe1 ln xdx1e1ln xdxln xdx1e其中第二個積分為e1 ln xdxex ln x11x1 dx ex第一個積分為11 ln xdxeexln x1x1 xdx ex1e最后得出1 ln xdx 2e14例 7 設 f (x) 是以 T 為周期的周期函數(shù)，且 f(x) 在任意有限區(qū)間上連續(xù)，試證：對任意的a ，等T a Tf(x)dx f (x)dx0a成立分析 周期函數(shù)的特點，就是每隔一個周期而重復出現(xiàn)，如圖，是一個周期函數(shù)的圖形，從圖中的幾何意義可以直觀看出結論是成立的。那么如何從理論上給予證

28、明呢？從圖上看現(xiàn)在要證明TTa設t x T，則 f(x) f(t)，且 x 0時，t T，x a 時， t a T ，于是上式可得證。證明 由定積分的區(qū)間可加性質可得 T a Tf (x)dx f (x)dx f(x)dx00aa T T aT a f (x)dx a f (x)dx Tf(x)dx即要證明對于定積分交量替換 t x T ，則 dx dt ，a a T0 f(x)dx T f(x)dxx0a因而tTaTa0 f (x)dxa a T0 f(x)dx T f(t T)dta T a TT f (t)dt T f (x)dx最后得到等式T a Tf (x)dx f (x)dx0a這

29、個等式說明周期函數(shù)在任意一個以周期T 為長度的區(qū)間的定積分都是相等的，它形象地反映出了15周期函數(shù)的性質，讀者可從圖形上理解此性質的幾何意義。例 8 設 f (x) 在 0,1 上連續(xù)，證試：2 f(sin x)dx 2 f(cosx)dx證作變量替換 x t ，則 dx dt ，2x02t20202 f (sin x)dx f (sin( t)( 1)dt0 2 20f (cos t )dt22 f(cost)dt2 f (cost)dx即 2 f(sin x)dx 2 f (cos x) dx本例中也可先對等式右端進行相同的變量替換，同學們自己不妨一試。例 9 求下列各曲線圍成的平面區(qū)域的

30、面積：(1) y 0,y x,x 2(2) y x 2,x y2分析 用定積分計算平面區(qū)域的面積，首先要確定已知曲線圍成的區(qū)域；再由區(qū)域的形狀選擇積分變量( x或 y )，這主要是為了計算方便，最后確定積分限。當計算公式。bA a f(x) g(x)dxa中的 f (x) 或g(x) 為段函數(shù)時，面積需要分塊計算。解( 1)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設此面積為A。則有2A ( x 0)dx32243 xx232)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設此面積為A ，則有1614A A1 A2( x ( x)dx ( x (x 2)dx2 xdx ( x x 2)dx4x32332(2x2 x 2x)4 1

31、6 2 11( 2) 43 3 3 22還有一種簡便的方法，若以 y 做為積分變量，則有22A 1(y 2 y2)dy23( y22 2y y33)8 1 1 (2 4 83) (12 2 31)519222例 10 求拋物線 y x2介于( 0， 0)點及( 2，4)點之間的一段弧分別繞 x軸與 y軸旋而成的旋轉體積。分析 曲線 y f (x) 繞 x 軸或 y 或旋轉形成的旋轉體體積為f (x) 2dx 或fac1(y) 2dy其中區(qū)間 a,b 與 c,d 分別是曲線在 x軸與 y 軸上的投影。Vx和Vy ，由旋轉體體積的計算公式有32解 設曲線繞 x 軸與 y 軸旋轉而成的旋轉體體積分別

32、為22Vx(x2)dx0同樣可得17Vy0( x)2dy 2 y2由此可以看出同一條曲線段繞不同坐標軸旋轉所得的旋轉體積一般是不相等的。例 11 一半圓形水溝的半徑為 r ，流滿了水， 求在這種水位下， 液體對溝的一端上的閘門的側壓力 分析 本例是定積分的物理應用，用微元法求解，解題步驟是：建坐標系；取微段（分割） 將總體量表示為定積分并計算。A的平板，水平放置在深為 h 的液體中，所受壓力為解 根據(jù)物理知道，一面積為F A h ，其中 為液體比重建立坐標系的方法如圖，取微段x ，它所對應的微條面積為A 2 r 2 x2 x該微條在液體中所受壓力為F 2 r 2 x2 x x 9.819.x

33、r 2 x2 x其中水的比重1千克/米 39.8牛頓/ 米3 ，閘門受的壓力即為例1232 2 r0r19.6x r2 x2dx 19.6（r 2 x2）19.6 3r （焦耳）3判斷下列廣義積分的收斂性，對于收斂的無窮積分，求無窮積分的值。dxxdx( 2)xdx 3（3）e xln xe (1 x)3e1）arcta2nxdxx2無窮積分要先判斷收斂性，對收斂的無窮積分求值，與計算定積分類似，但要注意由無窮分 本身性質而決定的一些特殊情況。解 （ 1）利用湊微分法便得分析dx 1d(ln x) lnln x e xlnx e lnx所以原無窮積分是發(fā)散的。（2）由于x 1 x 1 (1 x

34、)3 (1 x)3123 (1 x)2 (1 x)3xdx(1 x)3dx2(1 x)2dx(1 x)31811x110 ( 2(1 x)2 )11(0 ( 1) (0 ( 12) 12注意：在利用公式a (f (x) g(x)dxa f (x)dx a g(x)dx aa時，前提是等式右端的兩個無窮積分都收斂，若( f (x)dx 和g(x)dx 都發(fā)散，則不能利用這aaf (x) g(x) 的原函數(shù)條利質，因此時( f (x) g(x)dx 也有可能是收斂的，這時就需要直接求出aF(x0)a。3)利用分部積分公式。arctanx1dx arctanx( )1x1 arctan xxdxx(

35、1 x2)dx2x(1 x2)令 x2 t ，則 2xdx dt ， x1t1得到dx2x(1 x2)121 (1t 1 t1 )dt21(ln t ln1 t)11 2(lnt1t1(0 ln1) 1ln22 2 2所以，原廣義積分arctanx112 dx ln2x24 2注意：正如前面提到的，11 本例中在計算 ()dt 時，若將廣義積分表示成1 t 1 t1 1 dt dt( )dt1 t 1 t 1 t 1 1 tdt因為 1 dtt 及dt1 t 都是發(fā)散的，故無法計算出它的結果。19三、自我檢測題一)單項項選擇題1設 f (x) a,b 上連續(xù)，則f (x) 在 a,b 上的平均值是(Af (b) f(a)2Bab f (x)dxC1b12 a f (x)dx1bDb1a af(x)dxx32設函數(shù) (x) a f(t)dt ，則 (x) ( )A f (x)B f (x3)23D3x2f (x3)2C 3x2 f(x)3設 f (x)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則在對稱區(qū)間a,a