導數(shù)的概念及其應用

1、導數(shù)的概念與計算、基礎知識2、幾種常見函數(shù)的導數(shù)(1)C、0 (C為常數(shù)).(2)(xn) nxn(sin x)二 cosx(4) (cosx) - -sin x1 x 1 e (In x)； (log a )log a .XXXXXX(e ) e ； (a ) a In a.4、導數(shù)的運算法則(1)(f(x)_g(x) = f(x)_g(x)(2)(f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(f(x)、一 f(x)g(x)-f(x)g(x)( )- 2 . g(x)g (x)1幾何意義：函數(shù) y = f(x)在點x= x0處的導數(shù)是曲線 y = f(x)在P(Xo, f(Xo)

2、處的切線的斜率f (Xo)，相應的切線方程是 y y 二 f (xo)(x X。).備注：準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面:(1) 直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線 只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切 線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點.(2) 曲線未必在其切線的“同側”，如曲線y = x3在其過(0,0 )點的 切線y= 0的兩側.二、典型例題4、已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f (x)且滿足f(x) = 2xf (e) + In x,則f(e) =三、隨堂練習1、 (2016 年全國 II 卷)已知函數(shù) f(x) = (x 1

3、)1 nxa(x_1).當a = 4時，求曲線y二f(x)在1, f(1)處的切線方程2、(2016年全國III卷)已知f x為偶函數(shù)，當x乞0時， f(x)二e-x ,則曲線y = f x在點(1,2)處的切線方程式1 a 25、2014 全國新課標卷 I 設函數(shù) f(x)= aln x+一x bx(a 1),曲線y= f(x)在點(1, f(1)處的切線斜率為0求b;6、2014新課標全國卷U 已知函數(shù)f(x) = X3 3x2 + ax+ 2,曲線 y= f(x)在點(0, 2)處的切線與x軸交點的橫坐標為2.求a；7、2012課程標準卷曲線y=x(3lnx+1)在點(1, 1)處的切線

4、方 程為.3、2015全國卷I 已知函數(shù)f(x) = ax3 + x+ 1的圖像在點(1 ,f(1)處的切線過點(2, 7),貝U a=.1求曲線y =x3 -3x21在點(1,- 1)處的切線方程2、若直線 y=x是曲線y =X3 -3x2 ax的切線，貝a=& 2011課標全國卷已知函數(shù)f(x)=a警+上，曲線y=f(x)在點X + 1 X(1, f(1)處的切線方程為x+ 2y 3= 0.求a, b的值；3、若曲線y= xln x 上點P處的切線平行于直線2x-y+ 1 = 0,則點P的4、2015全國卷U 已知曲線y= x+ In X在點(1 , 1)處的切線與十白曲線y= ax +

5、(a+2)x+ 1相切，則a=.坐標是.導數(shù)幾何意義的應用，需注意以下兩點：(1)當曲線y = f (x)在點(X。, f (X。)處的切線垂直于 x軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在，切線方程是X = X0； 注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線曲線y=f (x)導數(shù)的綜合應用在點 P (X0,f( X0)處的切線方程是y f( X0)= f (X0)(X - X0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上求解.一、基礎知識1 函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性11 (2016年全國1卷)若函數(shù)fgrygrsinx在在某個區(qū)間(a, b)內(nèi)，如果f(x) 0,那么函數(shù)y= f (x

6、)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f (x) 0,右側f(X)0,那 么f ( Xo)是極大值； 如果在X0附近的左側f (x) 0,那 么f ( X0)是極小值.3.函數(shù)的最值：設函數(shù)f (X)在a, b上連續(xù)，在(a, b) 內(nèi)可導，求f (x)在a, b上的最大值和最小值的步驟如下： 求f (x)在(a, b)內(nèi)的極值； 將f (x)的各極值與f (a), f (b)進行比較，其中最大 的一個是最大值，最小的一個是最小值.備注：可導函數(shù)的極值點X0一定滿足f (X0) = 0,但當f (Xi) = 0 時，Xi 不一定是極值點.如 f (x) = x3, f (0) = 0, 但X = 0不是

7、極值點.二、典型例題(一)函數(shù)的單調(diào)性例1、2012 課程標準卷設函數(shù)f (x) = ex- ax 2.)求f (x) 的單調(diào)區(qū)間；解：(1)f(x)的定義域為(一x,+x), f (x) = ex a.若a0，所以f(x)在(x, +)單調(diào)遞增. 若 a0,則當 x ( x, ina)時，f (x)0 ,所以，f(x)在(一x, | na)單調(diào)遞減，在(In a,+x)單調(diào)遞 增.【技巧點拔】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1) 確定函數(shù)y= f (x)的定義域；(2) 求導數(shù) y = f(x)；(3) 解f (x) 0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū) 間；(4) 解f (x) 0恒成立，所以 =

8、 4a2 12a 0,解得 0W a 0；若函數(shù)f (x )單調(diào)遞減，則f( x ) 0且在區(qū)間(a, b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x )工 0”.隨堂練習單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(A) U1J(叫調(diào)(C)卜黑(D) - T2、2014 新課標全國卷U 若函數(shù)f (x) = kx ln x在區(qū) 間(1 , +x)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A. ( x, 2 B . ( x, 1C. 2 , +x) D . 1 , +x)1213、已知函數(shù) f(x) p ax + 2x ln x,若 f(x)在區(qū)間-,2上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(二)函數(shù)的極值與最值例3、2013 新課標全國卷U

9、已知函數(shù)f(x) = x2e_x.)求 f(x)的極小值和極大值。解：定義域為(x,+x). f (x) = e_ xx(x 2).當 x ( x, 0)或 x (2 ,+x)時，f (x)0.所以f(x)在(一x, 0) , (2 , +x)單調(diào)遞減，在(0 , 2)單調(diào)+ C,A.B.C. 遞減D.F列結論中錯誤的是()? x R, f(x 0) = 0函數(shù)y= f(x)的圖像是中心對稱圖形若X0是f (x)的極小值點，貝U f (x)在區(qū)間(一x, x)單調(diào)x2 4x,曲線y= f(x)在點(0 , f(0)處的切線方程為y = 4x + 4. (1)求a, b的值；討論f(x)的單調(diào)性

10、，并求f(x)的極大值.遞增.若X0是f (x)的極值點，則f (X0)= 04、下圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y二x(x, 0)0(0 , 2)2(2 ,+x )f (x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值:單調(diào)遞減(或者列表)列命題:-3是函數(shù)y = f (x)的極值點故當x = 0時，f(x)取得極小值，極小值為f(0) = 0;當x= 2時，f(x)取得極大值，極大值為f(2) = 4e 2.【技巧點拔】求可導函數(shù)極值的步驟：求f (x)；求方程f(x)= 0的根；檢查f (x)在方程f (x)= 0的根的左右兩側導數(shù)值 的符號如果左正右負，那么f (x)在這個根處取得極大值；如 果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值.隨堂練習1、2014 新課標全國卷U 函數(shù)f(x)在x = X。處導數(shù)存在.若p：f (xo) = 0,q：x = xo是f (x)的極值點，則p是q的()條件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要2、已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx + a2在x= 1處有極值10, 求a,b的值-1是函數(shù)y = f (x)的最小值點xf (x)在x = 0處切線的斜率小于零f (x)在