決戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題綜合提升訓練《二次函數(shù)》(含解析)

1、二次函數(shù)1如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y ax2+bx+3（ a 0）的圖象經(jīng)過點A（ 1，0），點 B（3， 0），與 y 軸交于點 C（ 1）求 a， b 的值；（ 2）若點 P為直線 BC上一點， 點 P到 A，B 兩點的距離相等， 將該拋物線向左 （或向右）平移，得到一條新拋物線，并且新拋物線經(jīng)過點P，求新拋物線的頂點坐標解：（ 1）二次函數(shù)yax2+3（ 0）的圖象經(jīng)過點（ 1， 0），點（ 3， 0），bxaAB，解得；（ 2） y x2+2x+3（ x 1） 2+4，拋物線的對稱軸為直線 x 1， C（ 3， 0），點 P到 A， B兩點的距離相等，點 P在拋物線的對稱軸

2、x 1 上， B（ 3， 0）， C（ 0， 3），直線 BC的解析式為y x+3，令 x1，則 y 1+3 2， P（ 1， 2），設平移后的新拋物線的解析式為y（ x h） 2+4，新拋物線經(jīng)過點P， 2（ 1 h） 2+4，解得 h11+，h2 1，新拋物線的頂點坐標為（1+， 4）或（ 1， 4）2如圖 a，已知拋物線yx2+bx+c 經(jīng)過點 A（4， 0）、C（0， 2），與 x 軸的另一個交點為 B（ 1）求出拋物線的解析式（ 2）如圖 b，將 ABC繞 AB的中點 M旋轉 180得到 BAC， 試判斷四邊形 B C AC的形狀并證明你的結論（ 3）如圖a，在拋物線上是否存在點D，

3、使得以A、 B、 D 三點為頂點的三角形與ABC全等？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在請說明理由解：（ 1）將點 A、 C的坐標代入拋物線表達式并解得：b 1，c 2，故：拋物線的解析式為：y x2+x+2；（ 2）四邊形 BC AC為矩形拋物線 y x2+x+2 與 x 軸的另一個交點為： （ 1， 0）由勾股定理求得：BC， AC2，又 AB 5，由勾股定理的逆定理可得：ABC直角三角形，故 BCA 90；o已知， ABC繞 AB的中點 M旋轉 18 0 得到 BAC，則 A、 B互為對應點，由旋轉的性質可得： BCAC ， AC BC所以，四邊形BC AC為平行四邊形，已證BCA

4、90，四邊形 BC AC為矩形；（ 3）存在點 D，使得以 A、 B、 D三點為頂點的三角形與ABC全等，則點 D與點 C關于函數(shù)對稱軸對稱，故：點 D的坐標為（ 3， 2）3如圖，已知二次函數(shù)y x22x+m的圖象與 x 軸交于點 A、 B，與 y 軸交于點 C，直線 AC交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點D，若點 C為 AD的中點（ 1）求 m的值；（ 2）若二次函數(shù)圖象上有一點Q，使得 tan ABQ 3，求點 Q的坐標；（ 3）對于（ 2）中的 Q點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使得QBP COA？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由解：（ 1）設對稱軸交x 軸于點 E，交對稱軸

5、于點D，函數(shù)的對稱軸為：x 1，點 C為 AD的中點，則點A（ 1， 0），將點 A的坐標代入拋物線表達式并解得：m 3，故拋物線的表達式為：yx2 2x 3 ；（ 2） tan ABQ 3，點 B（ 3， 0），則 AQ所在的直線為： y 3x（ x 3） ，聯(lián)立并解得： x 4 或 3（舍去）或 2，故點 Q（ 4， 21）或（ 2， 3）；（ 3）不存在，理由： QBP COA，則 QBP90當點 Q（ 2， 3）時，則 BQ的表達式為： y （ x 3） ，聯(lián)立并解得：x 3（舍去）或，故點 P（，），此時 BP： PQ OA： OB，故點 P 不存在；當點 Q（ 4，21）時，同理可

6、得：點P（，），此時 BP： PQ OA： OB，故點 P 不存在；綜上，點 P 不存在4如圖，已知二次函數(shù)yax2+4ax+c（ a0）的圖象交x 軸于 A、B 兩點（ A 在 B 的左側），交 y 軸于點 C一次函數(shù)yx+b 的圖象經(jīng)過點A，與 y 軸交于點 D（0， 3），與這個二次函數(shù)的圖象的另一個交點為E，且 AD：DE 3：2（ 1）求這個二次函數(shù)的表達式；（ 2）若點 M為 x 軸上一點，求MD+MA的最小值解：（ 1）把 D（ 0， 3）代入 yx+b 得 b 3，一次函數(shù)解析式為yx 3，當 y0 時，x 30，解得 x 6，則 A（ 6， 0），作 EFx 軸于 F，如圖，

7、 ODEF， OF OA 4， E 點的橫坐標為 4，當 x4 時， yx3 5， E 點坐標為（ 4， 5），把 A（ 6， 0），E（ 4， 5）代入 y ax2+4ax+c 得，解得，拋物線解析式為yx2x+ ；（ 2）作 MH AD于 H，作D點關于x 軸的對稱點 D，如圖，則D（ 0，3），在 Rt OAD中， AD 3， MAH DAO， Rt AMH Rt ADO，即， MHAM， MDMD， MD+ MA MD+MH，當點 M、 H、 D共線時， MD+MAMD +MH D H，此時 MD+MA的值最小， D DH ADO， Rt DHD Rt DOA，即，解得 DH， MD+

8、MA的最小值為5如圖 1，已知拋物線y ax2+bx+c（ a 0）與 x 軸交于 A（ 3，0）、 B（1， 0）兩點，與y 軸交于點 C（ 0， 3）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）如圖 2，直線 AD：yx+1 與 y 軸交于點 D，P 點是 x 軸上一個動點，過點P作 PG y 軸，與拋物線交于點 G，與直線 AD交于點 H，當點 C、 D、 H、 G四個點組成的四邊形是平行四邊形時，求此時 P 點坐標（ 3）如圖 3，連接和，Q點是拋物線上一個動點，連接，當時，ACBCAQQACBCO求 Q點的坐標解：（ 1）拋物線的表達式為：y（+3）（ 1）a（x2+2x 3），axx故 3a

9、 3，解得： a 1，故拋物線的表達式為：y x2 2x+3 ；（ 2）直線 AD： yx+1 與 y 軸交于點 D，則點 D（0， 1），則 CD 2；設點 P（ x， 0），則點 H（x，x +1）、點 G（ x， x2 2x+3），則 2，即 |x+1（x22x+3） | 2，GH CD解得： x或，故點 P（，0）或（， 0）或（，0）；（ 3）設直線 AQ交 y 軸于點 H，過點 H作 HM AC交于點 M，交 AQ于點 H，設： MH x MC， QAC BCO，則 tan CAH，則 AM 3x，故 ACAM+CM 4x 3，解得： x，則 CHx，OH OC CH，故點 H（

10、0，），同理點H（， 3），由 點 AH坐標得，直線AH的表達式為： y（ x+3） ，同理直線 AH的表達式為：y 2（x+3） ，聯(lián)立并解得：x 3（舍去）或；聯(lián)立并解得：x 3（舍去）或 1；故點 Q的坐標為：（，）或（ 1， 4）6在平面直角坐標系中，直線yx 2 與 x 軸交于點B，與 y 軸交于點C，二 次函數(shù) y x2+bx+c 的圖象經(jīng)過 B， C兩點，且與 x 軸的負半軸交于點 A（ 1）直接寫出：b 的值為； c 的值為 2；點A的坐標為（ 1， 0）；（ 2）點M是線段BC上的一動點，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上設點D的橫坐標為m如圖 1，過點 D作 DM BC于

11、點 M，求線段DM關于 m的函數(shù)關系式，并求線段DM的最大值；若 CDM為等腰直角三角形，直接寫出點M的坐標1解：（ 1）直線 yx2 與 x 軸交于點 B，與 y 軸交于點 C，則點 B、 C的坐標為：（ 4，0）、（ 0， 2），將點 B、 C的坐標代入拋物線表達式并解得：b ，c 2，故拋物線的表達式為：yx2x 2 ，點（ 1， 0）；A故答案為：， 2，（ 1， 0）；（ 2）如圖 1，過點 D作 y 軸的平行線交BC于點 H，設點 D（ m， m2m 2），點 H（ m，m 2），則 MDH OBC， tan OBC tan ，則 cos；MD DHcos MDH（ m 22m+2

12、）2m+（ m+4m）， 0，故 DM有最大值；設點 M、 D的坐標分別為： （ s，s 2），（m， n）， n2m 2；m（）當 CDM 90時，如圖2 左圖，過點 M作 x 軸的平行線交過點D于 x 軸的垂線于點F，交 y 軸于點 E，則 MEC DFM（ AAS）， MEFD， MFCE，即 s 2 2m s， s s2 n，解得： s，故點M（，）；（）當 MDC 90時，如圖2 右圖，同理可得： s，故點 M（，）；（）當 MCD 90時，則直線 CD的表達式為： y 2x 2 ，聯(lián)立并解得：x 0 或 1，故點 D（ 1， 0），不在線段BC的下方，舍去；綜上，點坐標為：（，）或

13、（，）M7如圖，拋物線y （ 1）（x3）（ 0）與x軸交于，兩點，拋物線上另有一點Ca xaA B在 x 軸下方，且使 OCA OBC（ 1 ）求線段 OC的長度；（ 2）設直線 BC與 y 軸交于點 D，點 C是 BD的中點時，求直線 BD和拋物線的解析式，（ 3）在（ 2）的條件下，點P 是直線 BC下方拋物線上的一點，過P作 PE BC于點 E，作PF AB交 BD于點 F，是否存在一點P，使得 PE+PF最大，若存在，請求出該最大值；若不存在，請說明理由解：（ 1） a（ x1）（ x 3） 0，x1 1， x2 3，則點 A的坐標為（ 1， 0），點 B 的坐標為（ 3， 0），

14、OA1， OB 3， OCA OBC，即，解得， OC；（ 2）在 Rt BOD中，點 C是 BD的中點， BD2OC 2 ，由勾股定理得，OD，點 D的坐標為（ 0，）設直線 BD的解析式為： y kx+b ，則，解得，則直線 BD的解析式為： yx，點 B的坐標為（ 3， 0），點 D的坐標為（ 0，），點 C是 BD的中點，點 C的坐標為（，）， a（ 1）（ 3），解得， a，拋物線的解析式：y（ 1）（ 3），即yx2x+2 ；xx（ 3）作 PG OB交 BD于 G，tan OBD， OBD 30， PFAB， PFG OBD 30， PFPG， PEBC， PFPG， EPG P

15、FG 30， PE PG， PE+PFPG+PGPG，設點P的坐標為（，2+2），點G的坐標為（，m ），mmmm2 PGm（mm+2）2m+3m 3 PE+PFPG2m 3m+ 3（ m） 2+，則 +的最大值為PE PF8已知拋物線y ax2+bx+c 經(jīng)過點 A（ 2，0）， B（3， 0），與 y 軸負半軸交于點C，且 OC OB（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）在 y 軸負半軸上存在一點 D，使 CBD ADC，求點 D的坐標；（ 3）點 D關于直線 BC的對稱點為 D，將拋物線 y ax2+bx+c 向下平移 h 個單位，與線段 DD只有一個交點，直接寫出 h 的取值范圍解：（ 1

16、） OC OB，則點 C（ 0， 3），拋物線的表達式為：y a（ x+2）（ x 3） a（ x2 x 6）， 6a 3，解得： a ，故拋物線的表達式為： y x2 x 3；（ 2）設： CD m，過點 D作 DH BC交 BC的延長線于點H，則 CHHDm，tan ADC tan DBC，解得：m 3 或 4（舍去4），故點 D（ 0， 6）；（ 3）過點 C作 x 軸的平行線交 DH的延長線于點 D，則 D（ 3， 3）；平移后拋物線的表達式為： y x2 x3 h，當平移后的拋物線過點C時，拋物線與線段DD有一個公共點，此時，h 3；當平移后的拋物線過點D時，拋物線與線段DD有一個公

17、共點，即 39h，解得： h 15，故 3h 159如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y x2 的對稱軸為直線l ，將直線 l 繞著點 P（ 0，2）順時針旋轉的度數(shù)后與該拋物線交于AB兩點（點 A 在點 B 的左側），點 Q是該拋物線上一點（ 1）若 45，求直線 AB的函數(shù)表達式；（ 2）若點 p 將線段分成 2： 3 的兩部分，求點 A 的坐標（ 3）如圖，在（1）的條件下，若點Q在y軸左側，過點p作直線lx軸，點是直M線l上一點，且位于y軸左側，當以， ，Q為頂點的三角形與相似時，求的坐P BPAMM標解：（ 1） 45，則直線的表達式為：y x+b，將（ 0， 2）代入上式并解得：b

18、2，故直線 AB的表達式為： y x+2；（ 2） AP： PB 2： 3，設 A（ 2a， 4a2）B（ 3a，9a2），解得：，（舍去），； AP：PB 3： 2，設 A（ 3a， 9a2）， B（ 2a， 4a2），解得：，（舍去），綜上或；（ 3） MPA 45， QPB 45 A（ 1， 1）， B（ 2，4）， QBP 45時，此時 B， Q關于 y 軸對稱， PBQ為等腰直角三角形， M1（ 1， 2） M2（ 2， 2）， BQP 45時，此時 Q（ 2， 4）滿足，左側還有Q 也滿足， BQP BQ P， Q ，B， P， Q四點共圓，則圓心為 BQ中點 D（ 0， 4）；設

19、 Q （x， x2），（x 0），Q D BD，（ x 0） 2+（ x2 4） 2 22（ x2 4）（ x2 3） 0， x0 且不與 Q重合，Q P2， Q P DQ DP 2， DPQ為正三角形，則，過 P作 PEBQ，則，當 Q BP PMA時，則，故點；當 時，Q PBPMA，則，故點；綜上點 M的坐標：（ 1，2），（ 2， 2），10如圖， Rt 中， 90， 軸， 0.6 ，則稱 Rt為準黃金直角三角FHGHFH xFHG形（G在F的右上方）已知二次函數(shù)y12+c的圖象與x軸交于、兩點，與yaxbxA B軸交于點E（ 0， 3），頂點為C（1， 4），點 D為二次函數(shù)y2 a

20、（ x1 m） 2+0.6 m4（ m0）圖象的頂點（ 1）求二次函數(shù) y1 的函數(shù)關系式；（ 2）若準黃金直角三角形的頂點 F 與點 A 重合、 G落在二次函數(shù) y1 的圖象上，求點 G的坐標及 FHG的面積；（ 3）設一次函數(shù)y mx+m與函數(shù) y1 、y2 的圖象對稱軸右側曲線分別交于點P、 Q且 P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合，求 m的值，并判斷以C、D、Q、 P為頂點的四邊形形狀，請說明理由解：（ 1）設二次函數(shù)y1 的函數(shù)關系式為y1 a（ x 1） 2 4，將 E（0， 3）代入得 a4 3，解得 a 1， y1（ x 1） 2 4 x2 2x 3；（ 2）設

21、G a， 0.6 （ a+1） ，代入函數(shù)關系式，得，（a 1） 2 4 0.6 （ a+1），解得 a13.6 ， a2 1（舍去），所以點 G坐標為（ 3.6 ， 2.76 ）由 x2 2x 3 0 知 x1 1， x2 3， A（ 1， 0）、B（ 3， 0），則 AH4.6 ， GH 2.76 ， SFHG 4.6 2.76 6.348 ；（ 3） y mx+m m（ x+1），當 x 1 時， y 0，直線 y mx+m過點 A，延長 QH，交 x 軸于點 R，由平行線的性質得， QRx 軸 FHx 軸， QPH QAR， PHQ ARQ 90， AQR PHQ，0.6 ，設 Q n

22、， 0.6 （ n+1） ，代入 y mx+m中，得 mn+m 0.6 （n+1），整理，得： m（ n+1） 0.6 （ n+1）， n+1 0， m 0.6 四邊形 CDPQ為平行四邊形，理由如下：連接 CD，并延長交 x 軸于點 S，過點 D作 DKx 軸于點 K，延長 KD，過點 C作 CT垂直 KD延長線，垂足為T，2+0.6 m 4， y （ x 1 m）2點 D由點 C向右平移 m個單位，再向上平移0.6 m個單位所得，0.6 ， tan KSD tan QAR， KSD QAR， AQCS，即 CD PQ AQCS，由拋物線平移的性質可得， CT PH，DT QH， PQCD，

23、四邊形 CDPQ為平行四邊形11如圖，點P是二次函數(shù)y+1 圖象上的任意一點，點（ 1，0）在x軸上B（ 1）以點P為圓心，長為半徑作 BPP直線l經(jīng)過點 （ 0， 2）且與x軸平行，判斷P與直線l的位置關系，并說明理由C若 P 與 y 軸相切，求出點P 坐標；（2）P1、P2、P3 是這條拋物線上的三點，若線段 BP1、BP2、BP3的長滿足，則稱 P2 是 P1、 P3 的和諧點，記做T（ P1， P3）已知 P1、P3 的橫坐標分別是2， 6，直接寫出（1， 3）的坐標（ 1，） T P P解：（ 1） P與直線相切過 P 作 PQ直線，垂足為Q，設 P（ m， n）22222則 PB（

24、 m 1）+n ， PQ（ 2n），即：（ m1） 2 4 4n，2（ 1）2+n24 4 +2（ 2）22PBmn nnPQ PBPQ， P與直線相切；當 P 與 y 軸相切時 PD PB PQ | m| 2 n，即： n 2m代入（ m 1） 2 4 4n22得： m6m+5 0 或 m+2m+5 0解得： m1 1， m2 5 P（ 1， 1）或 P（ 5， 3）；（ 2），則 BP2（ BP1+BP2），P1、 P3 的橫坐標分別是2， 6，則點 P1、 P2 的坐標分別為： （ 2，）、（ 6，），BP2（ BP1+BP2）（+），設點 P2 的坐標為：（ m， n），n（ m 1）

25、2 +1，則（ m 1） 2+（ n）2（） 2，解得： m 1，故點 P2 的坐標，即T（ P1， P3）的坐標為：或12如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y ax2+bx+2（ a0）與 x 軸交于 A（ 1，0），B（ 3，0）兩點，與y 軸交于點 C，連接 BC（ 1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（ 2）若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以， ， ，為頂點MBCMN的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M 的坐標；若不存在，請說明理由；（ 3）點 P 是直線 BC上方拋物線上的點，若PCB BCO，求出 P 點的到 y 軸的距離（ 1）解：（ 1）將點

26、 A（ 1， 0），B（ 3， 0）代入 yax2+bx+2，可得，；（ 2）存在點 M使得以 B，C， M， N為頂點的四邊形是平行四邊形，由題得， B（ 3，0）， C（ 0， 2），設 N（ 1， n）， M（ x，y），四邊形是平行四邊形時，x 2，CMNB；四邊形 CNBM時平行四邊形時， x 2， M（ 2， 2）；四邊形 CNNB時平行四邊形時， x 4，；綜上所述： M（ 2， 2）或或；（ 3）解法一：過點B 作 BH平行于 y 軸交 PC的延長線與H點 BHOC OCB HBC又 OCB BCP PCB HBC HCHB又 OCOB HBOB故可設 H（ 3， m），即 H

27、BHC m過點 H作 HN垂直 y 軸于 N在 Rt HCN中，則222m 3 +（ m 2）解得由點C、 P 的坐標可得，設直線CP的解析式為；故解得 x10（舍去），即點 P到 y 軸的距離是解法二、 過點 B作 CP的垂線， 垂足為 M，過點 M作 x 軸的平行線交y 軸于點 N，再過點 B作 DN的垂線，垂足為 D，（以下簡寫）可得 BOC BMC得 BMBC 3， OC CM2設點 M（ m， n）得 BDn， CN n 2， MN m， MD 3 m可證 BDM MNC所以得解得，則同解法一直線CP的解析式故解得 x10（舍去），即點 P到 y 軸的距離是13如圖，已知拋物線y a

28、x2+bx+c 的圖象經(jīng)過點A（ 3， 3）、B（ 4，0）和原點 O，P為直線OA上方拋物線上的一個動點（ 1）求直線 OA及拋物線的解析式；（ 2）過點 P 作 x 軸的垂線， 垂足為 D，并與直線 OA交于點 C，當 PCO為等腰三角形時，求 D的坐標；（ 3）設面積為P 關于對稱軸的點為，如果存在，求出Q，拋物線的頂點為 M，探索是否存在一點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由P，使得PQM的解：（ 1）設直線OA的解析式為y1 kx，把點 A坐標（ 3， 3）代入得： k 1，直線 OA的解析式為y x；再設 y2ax（ x4），把點 A坐標（ 3， 3）代入得： a 1，函數(shù)的解析式為y x2+4x，直線的解析式為y，二次函數(shù)的解析式是yx2+4 OAxx2（ 2）設 D的橫坐標為m，則 P 的坐標為（ m， m+4m）， P 為直線 OA上方拋物線上的一個動點， 0 m 3此時僅有OC PC，解得；，（ 3）函數(shù)的解析式為y x2+4x，對稱軸為x 2，頂點 M（ 2， 4），設 P（n， n2+4n），則 Q（4 n， n2+4n）， M到直線 PQ的距離為 4（ n2+4n）（ n 2） 2，要使 PQM