23.正方體的模型功能之內(nèi)置多面體

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號)愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明正方體的模型功能之內(nèi)置多面體模型解題法之二 我們把正方體中的部分幾何體為正方體的內(nèi)置多面體;構(gòu)造正方體的內(nèi)置多面體,并以此模型為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)有關(guān)問題,是高考命題的常用方法;解答該類問題的關(guān)鍵是掌握正方體中常見的內(nèi)置多面體.母題結(jié)構(gòu):在正方體abcd-a1b1c1d1中,()設(shè)計(jì)四面體acdd1為正方體abcd-a1b1c1d1的一角四面體的條件;()尋找構(gòu)造正方體的內(nèi)置多面體.母題解析:()四面體acdd1的三條側(cè)棱da、dc、dd1兩兩垂直,且長度相等;四面體acdd1的三條側(cè)棱da、dc、

2、dd1兩兩垂直,且acd1是正三角形;若ac的中點(diǎn)為e,dd1、de、ac兩兩垂直,ea=ec=ed,ad1c=600;若ac、ad1的中點(diǎn)分別為e、f,deac,def與acd1都是正三角形;()若ac的中點(diǎn)為e,四棱錐e-cdd1c1;若正方體abcd-a1b1c1d1的中心為o,則正四棱錐o-abcd;若正方體abcd-a1b1c1d1的中心為o,bc1的中點(diǎn)為e,多面體abcdeo;若aa1的中點(diǎn)為e,四棱錐e-acc1e. 1.正方體一角四面體 子題類型:(2006年全國高考試題)如圖,l1、l2是互相垂直的異面直線,mn是它們的公垂線段.點(diǎn)a、b在l1上,c在l2上,am=bm=m

3、n=a.()證明:acnb;()若acb=600,求nb與平面abc所成角的余弦值.解析:()由am=bm=mn=abnan;又由cnab,cnnmcn平面abncnbnbn平面acnbnacacnb;()由nmab,am=bmna=nbca=cb;又由acb=600abc是正三角形,把幾何圖形放置到正方體中,如圖,則nd平面abcnb與平面abc所成角與bnd互余nb與平面abc所成角的余弦值=sinbnd=.點(diǎn)評:正方體abcd-a1b1c1d1的一角四面體acdd1具有豐富的性質(zhì),是高考命題的重要載體,設(shè)計(jì)一角四面體acdd1的隱蔽條件是構(gòu)造該四面體的關(guān)鍵,也是構(gòu)造創(chuàng)新型試題的一個主要方

4、法. 2.構(gòu)造內(nèi)置多面體 子題類型:(2010年安徽高考理科試題)如圖,在多面體abcdef中,四邊形abcd是正方形,efab,effb,ab=2ef,bfc=900,bf=fc,h為bc的中點(diǎn).()求證:fh平面edb;()求證:ac平面edb;()求二面角b-de-c的大小.解析:把多面體abcdef放置到正方體中,如圖,設(shè)ac與bd的交點(diǎn)為o;由ab=2ef=2,efabef平行且等于ohfhoe,且oe平面edbfh平面edb;()由bf=fc,h為bc的中點(diǎn)fhbc,由efab,abbcefbc,又effbef平面bcfeffhfheffhabfh平面abcdfhaceoac,又因

5、acbdac平面edb;()由ac平面edb,bf平面cde,且二面角b-de-c的大小為銳角二面角b-de-c的大小=直線ac與bf的成角=.點(diǎn)評:構(gòu)造正方體的內(nèi)置多面體是高考命制立體幾何載體的重要方法,以正方體的頂點(diǎn)、各棱中點(diǎn)、各面中心和正方體的中心中的部分點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)造出許多幾何體,也是構(gòu)造正方體的內(nèi)置多面體的主要方法. 3.正方體的解題功能 子題類型:(2005年福建高考試題)如圖,在直二面角d-ab-e中,四邊形abcd是邊長為2的正方形,ae=eb,f為ce上的點(diǎn),且bf平面ace.()求證:ae平面bce;()求二面角b-ac-e的大小;()求點(diǎn)d到平面ace的距離.解析:(

6、)由bf平面acebfaeaebf,在直二面角d-ab-e中,bcabbc平面abebcaeae平面bce;由ae平面bceaebe;把幾何圖形放置到正方體中,如圖;()由bb1平面abc,bd1平面acb1二面角b-ac-e的大小=b1bd1互余二面角b-ac-e的余弦值=cosb1bd1=;()點(diǎn)d到平面ace的距離=點(diǎn)d到平面acb1的距離=直線dc1上任一點(diǎn)到平面acb1的距離=正方形cdd1c1的中心o到平面acb1的距離=o到直線ce的距離=.點(diǎn)評:把正方體的內(nèi)置多面體放置到正方體中,依托正方體模型解題功能有:可以直觀襯托出幾何體的基本結(jié)構(gòu);可以擴(kuò)大豐富了解題空間;可以充分利用正方

7、體的相關(guān)結(jié)論. 4.子題系列:1.(2008年北京高考試題)如圖,在三棱錐p-abc中,ac=bc=2,acb=900,ap=bp=ab,pcac.()求證:pcab;()求二面角b-ap-c的大小;()求點(diǎn)c到平面apb的距離.2.(2005年遼寧高考試題)已知三棱錐p-abc中,e、f分別是ac、ab的中點(diǎn),abc、pef都是正三角形,pfab.()證明:pc平面pab;()求二面角p-ab-c的平面角的余弦值; ()若點(diǎn)p、a、b、c在一個表面積為12的球面上,求abc的邊長.()由球的表面積為12球的半徑r=pa=pb=pc=2abc的邊長=2.3.(2008年江西高考試題)如圖,正三

8、棱錐0-abc的三條側(cè)棱oa、ob、oc兩兩垂直,且長度均為2.e、f分別是ab、ac的中點(diǎn),h是ef的中點(diǎn),過ef作平面與側(cè)棱oa、ob、oc或其延長線分別相交于a1、b1、c1,已知oa1=.()求證:b1c1平面oah;()求二面角o-a1b1-c1的大小.4.(2010年安徽高考文科試題)如圖,在多面體abcdef中,四邊形abcd是正方形,ab=2ef=2,efab,effb,bfc=900,bf=fc,h為bc的中點(diǎn).()求證:fh平面edb;()求證:ac平面edb;()求四面體b-def的體積;5.(2007年浙江高考試題)在如圖所示的幾何體中,ea平面abc,db平面abc,

9、acbc,且ac=bc=bd=2ae,m是ab的中點(diǎn).()求證:cmem;()求cm與平面cde所成的角.6.(2010年天津高考試題)如圖,在五面體abcdef中,四邊形adef是正方形,fa平面abcd,bcad,cd=1,ad=2,bad=cda=450.()求異面直線ce與af所成角的余弦值;()證明:cd平面abf;()求二面角b-ef-a的正切值. 5.子題詳解:1.解:由ac=bc=2,acb=900ab=2ap=bp=ab=2,又由pcacpc=2,在pbc中,pc=2,bc=2,pb=2pcbc,故可放置到正方體中,且正方體的棱長為2;()由pcac,pcbcpc平面abcp

10、cab;()由bc平面acp,cq平面abp二面角b-ap-c的余弦值=cosbcq=;()由點(diǎn)c到平面apb的距離=cq=.2.解:()由e、f分別是ac、ab的中點(diǎn)ef=bc;abc、pef都是正三角形pe=ac,pf=abpcap,papbrtacprtabppc=pb;由pfabpa=pbpa=pb=pcacpbcpbpc=apc=900pcbppc平面pab;()由pc平面pab,pq平面abc二面角p-ab-c的平面角的余弦值=cosqpc=;3.解:()由e、f分別是ab、ac的中點(diǎn)efbcef平面obcefb1c1;由h是ef的中點(diǎn)ahef,ohefef平面oahb1c1平面o

11、ah;()分別以直線oa,ob,oc分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,由oa1=ob1=oc1=3平面a1b1c1的法向量m=(2,1,1),又平面oa1b1的法向量n=(0,0,1)cos=.4.解:把多面體abcdef放置到正方體中,如圖,設(shè)ac與bd的交點(diǎn)為o;()由ab=2ef=2,efabef平行且等于ohfhoe,且oe平面edbfh平面edb;()由bf=fc,h為bc的中點(diǎn)fhbc,由efab,abbcefbc,又effbef平面bcfeffhfheffhabfh平面abcdfhaceoac,又因acbdac平面edb;()由四面體bdef的高為bf=,def的面積=efcf=四面體bdef的體積=.5.解:()把幾何體放置到正方體中,如圖,由ea平面abceacmcmea;又由ac=bc,m是ab的中點(diǎn)cmabcm平面abecmem;()作mhde于h,由cm平面abecmdede平面omhmch是cm與平面cde所成的角,不妨設(shè)ae=1,則ac=bc=bd=2cm=,ce=,em=,dm=,cd=2,ed=3mh=,ch=2mch=450.6.解:在四邊形