特殊的四邊形壓軸題

1、特殊的四邊形 壓軸題題一解答題（共30小題）1已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H（1）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系： ；（2）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖，已知MAN=45，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)（可利用（2）得到的結(jié)論）2如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)（1）求證：ABECDF；（2）當(dāng)四邊形

2、AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積3如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF=BD，連接BF（1）求證：D是BC的中點(diǎn)（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論4已知在RtABC中，ACB=90，現(xiàn)按如下步驟作圖：分別以A，C為圓心，a為半徑（aAC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點(diǎn)；過M，N兩點(diǎn)作直線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E；將ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，設(shè)點(diǎn)D的像為點(diǎn)F（1）請(qǐng)?jiān)趫D中直線標(biāo)出點(diǎn)F并連接CF；（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；（3）當(dāng)B為多少度時(shí)，四邊形BCFD是菱形5如圖，在矩形AB

3、CD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接CP，過點(diǎn)P作PQCP交AD邊于點(diǎn)Q，連接CQ（1）當(dāng)CDQCPQ時(shí)，求AQ的長(zhǎng)；（2）取CQ的中點(diǎn)M，連接MD，MP，若MDMP，求AQ的長(zhǎng)6正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角DAG=，其中0180，連結(jié)DF，BF，如圖（1）若=0，則DF=BF，請(qǐng)加以證明；（2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由7如圖正方形ABCD中，

4、E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AFBE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有BM=DM+CD（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）求證：MBC=2ABE8如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點(diǎn)，且BE=BF，過點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M（1）求證：BFC=BEA；（2）求證：AM=BG+GM9如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若

5、有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由10如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC處，連接AC，BC，CC，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程11如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、DC上，BE=DF，EAF=60（1）若AE=2，求EC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)G在DC上，且AGC=120，求證：AG=EG+FG12如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O點(diǎn)E是線段DO上一點(diǎn)，連接CE點(diǎn)F是OCE的平分線上一點(diǎn)，且BFCF與CO相交于點(diǎn)M點(diǎn)G是線段CE上一點(diǎn)，且CO=CG（1）若OF=4，求FG的長(zhǎng)；（2）求證：BF=OG+CF13（1）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)

6、均為3，求三角形DBF的面積（2）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為1，求三角形DBF的面積（3）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為b，求三角形DBF的面積14如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，交BC的延長(zhǎng)線于G，M是FG的中點(diǎn)（1）求證：1=2；ECMC（2）試問當(dāng)1等于多少度時(shí)，ECG為等腰三角形？請(qǐng)說明理由15如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點(diǎn)B、C外的任意一點(diǎn)，AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接MF、CN（1）求證：BM+DF=MF；（2）求NCE的度數(shù)16如圖，

7、在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形（2）當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請(qǐng)說明理由17如圖，ABC中，AB=AC，AD是ABC外角的平分線，已知BAC=ACD（1）求證：ABCCDA；（2）若B=60，求證：四邊形ABCD是菱形18如圖，在ABC中，AB=AC，B=60，F(xiàn)AC、ECA是ABC的兩個(gè)外角，AD平分FAC，CD平分ECA求證：四邊形ABCD是菱形19如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交

8、AC于F，連接DF（1）證明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；（3）在（2）的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使得EFD=BCD，并說明理由20如圖，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說明理由21如圖，ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MNBC設(shè)MN交ACB的平分線于點(diǎn)E，交ACB的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊A

9、C上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由22如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)D作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由；（2）若BD=8cm，求線段BE的長(zhǎng)23如圖，菱形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，EFAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（1）DE和BF相等嗎？請(qǐng)說明理由（2）連接AF、BE，四邊形AFBE是平行四邊形嗎？說明理由24如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接CE、CF（1）求證：CE=CF；（2）如圖2，若H為AB上一點(diǎn)，連接CH，使CHB=2ECB，求證：CH=AH+AB25如圖，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是

10、DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=BF，連接AF、CF（1）請(qǐng)你猜想圖中與點(diǎn)F有關(guān)的一個(gè)正確結(jié)論；（2）證明你的猜想26如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E、M在AD上，且CD=CM，點(diǎn)F為AB上的點(diǎn)，且ECF=B（1）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為8，且D=67.5，求MCD的面積；（2）求證：BF=EFEM27如圖，在菱形ABCD中，B=60，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上（1）若AB=4，試求菱形ABCD的面積；（2）若AEF=60，求證：AB=CE+CF28（1）人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)92頁第14題是這樣敘述的：如圖1，ABCD中，過對(duì)角線BD上一點(diǎn)P作EFBC，HGAB，圖中哪兩個(gè)平行四邊形的面積相等？為什么？根

11、據(jù)習(xí)題背景，寫出面積相等的一對(duì)平行四邊形的名稱為 和 ；（2）如圖2，點(diǎn)P為ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AD、AB的平行線分別交ABCD的四邊于點(diǎn)E、F、G、H已知SBHPE=3，SPFDG=5，則SPAC= ；（3）如圖3，若五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重復(fù)、無縫隙）已知四個(gè)平行四邊形面積的和為14，四邊形ABCD的面積為11，則菱形EFGH的周長(zhǎng)為 29將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，然后展開，折痕為EF，連接AE、CF，求證：四邊形AECF是菱形30如圖，ABC中，BAC=90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AEDC，ECAD，連接DE交AC于點(diǎn)O，（1）求證：四邊形

12、ADCE是菱形；（2）若AB=AO，求tanOCE的值2017年11月04日數(shù)學(xué)1的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H（1）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH=AB；（2）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖，已知MAN=45，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)（可利用（2）得到的結(jié)論）【分析】（

13、1）由三角形全等可以證明AH=AB，（2）延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，證明AEMANM，能得到AH=AB，（3）分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH=x，則MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x【解答】解：（1）如圖AH=AB（2）數(shù)量關(guān)系成立如圖，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AE

14、M和ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，AB=AH（3）如圖分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD設(shè)AH=x，則MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6分）解得x1=6，x2=1（不符合題意，舍去）AH=6【點(diǎn)評(píng)】主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判斷，難度中等2如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)（1）求證：ABECDF； （2）當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形

15、的面積【分析】第（1）問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質(zhì)，很容易用SAS證全等第（2）要求菱形的面積，在第（1）問的基礎(chǔ)上很快知道ABE為等邊三角形這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得【解答】（1）證明：在ABCD中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF（2）解：四邊形AECF為菱形，AE=EC又點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，BE=EC，即BE=AE又BC=2AB=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE為等邊三角形，ABCD的BC邊上的高為2sin60=，菱形AECF的面積為2【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形，四邊形的知識(shí)以及邏輯推理

16、能力（1）用SAS證全等；（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以ABE為等邊三角形3如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF=BD，連接BF（1）求證：D是BC的中點(diǎn)（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論【分析】（1）因?yàn)锳FBC，E為AD的中點(diǎn)，即可根據(jù)AAS證明AEFDEC，故有BD=DC；（2）可根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定【解答】（1）證明：AFBC，AFE=DCE（1分）E是AD的中點(diǎn)，AE=DE（2分）AEF=DEC，AEFDEC（3分）AF=DC，AF=BD

17、BD=CD，D是BC的中點(diǎn)；（4分）（2）四邊形AFBD是矩形，（5分）證明：AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，ADB=90，（6分）AF=BD，AFBC，四邊形AFBD是平行四邊形，（7分）四邊形AFBD是矩形【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)要熟知這些判定定理才會(huì)靈活運(yùn)用，根據(jù)性質(zhì)才能得到需要的相等關(guān)系4已知在RtABC中，ACB=90，現(xiàn)按如下步驟作圖：分別以A，C為圓心，a為半徑（aAC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點(diǎn)；過M，N兩點(diǎn)作直線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E；將ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，設(shè)點(diǎn)D的像為點(diǎn)F（1）請(qǐng)?jiān)趫D中直線標(biāo)出點(diǎn)F并連接CF；（2）求證：四

18、邊形BCFD是平行四邊形；（3）當(dāng)B為多少度時(shí)，四邊形BCFD是菱形【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）首先根據(jù)作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可；（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定即可【解答】解：（1）如圖所示：（2）根據(jù)作圖可知：MN垂直平分線段AC，D、E為線段AB和AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DE=BC，將ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，點(diǎn)D的像為點(diǎn)F，EF=ED，DF=BC，DEBC，四邊形BCFD是平行四邊形；（3）當(dāng)B=60時(shí)，

19、四邊形BCFD是菱形；B=60，BC=AB，DB=AB，DB=CB，四邊形BCFD是平行四邊形，四邊形BCFD是菱形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定及基本作圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠了解各種特殊四邊形的判定定理，難度不大5如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接CP，過點(diǎn)P作PQCP交AD邊于點(diǎn)Q，連接CQ（1）當(dāng)CDQCPQ時(shí)，求AQ的長(zhǎng)；（2）取CQ的中點(diǎn)M，連接MD，MP，若MDMP，求AQ的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；（2）方法1、過M作EFCD于F，則EFAB

20、，先證得MDFPME，求得ME=DF=，然后根據(jù)梯形的中位線的性質(zhì)定理即可求得方法2、利用三角形的外角和DMP=90，得出DCP=90，得出BP=BC=3，再判斷出AQ=AP=2即可【解答】解：（1）CDQCPQ，DQ=PQ，PC=DC，AB=DC=5，AD=BC=3，PC=5，在RtPBC中，PB=4，PA=ABPB=54=1，設(shè)AQ=x，則DQ=PQ=3x，在RtPAQ中，（3x）2=x2+12，解得x=，AQ=（2）方法1，如圖2，過M作EFCD于F，則EFAB，MDMP，PMD=90，PME+DMF=90，F(xiàn)DM+DMF=90，MDF=PME，M是QC的中點(diǎn)，DM=QC，PM=QC，D

21、M=PM，在MDF和PME中，MDFPME（AAS），ME=DF，PE=MF，EFCD，ADCD，EFAD，QM=MC，DF=CF=DC=，ME=，ME是梯形ABCQ的中位線，2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，AQ=2方法2、點(diǎn)M是RtCDQ的斜邊CQ中點(diǎn)，DM=CM，DMQ=2DCQ，點(diǎn)M是RtCPQ的斜邊的中點(diǎn)，MP=CM，PMQ=2PCQ，DMP=90，2DCQ+2PCQ=90，PCD=45，BCP=9045=45，BPC=45=BCP，BP=BC=3，CPQ=90，APQ=1809045=45，AQP=9045=45=APQ，AQ=AP=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判

22、定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，梯形的中位線的性質(zhì)等，（2）求得MDFPME是本題的關(guān)鍵6正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角DAG=，其中0180，連結(jié)DF，BF，如圖（1）若=0，則DF=BF，請(qǐng)加以證明；（2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明DGFBEF即可；（2）當(dāng)=180時(shí)，DF=BF（3）利用正方形的性質(zhì)和DGFBEF的性質(zhì)即可

23、證得是真命題【解答】（1）證明：如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90，DG=BE，在DGF和BEF中，DGFBEF（SAS），DF=BF；（2）解：圖形（即反例）如圖2，（3）解：補(bǔ)充一個(gè)條件為：點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)；即：若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角=0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，命題和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意利用正方形的性質(zhì)找三角形全等的條件7如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AFBE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有B

24、M=DM+CD（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）求證：MBC=2ABE【分析】（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，根據(jù)AFBE，求出AEB=AFD，推出BAEADF，即可證出點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，證FDGFCB，求出B，F(xiàn)，G共線，再證ABECBF，得到ABE=CBF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出結(jié)論（1）證明：正方形ABCD，AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，AFBE，AOE=90，EAF+AEB=90，EAF+BAF=90，AEB=BAF，ABCD，BAF=AFD，AEB=A

25、FD，BAD=D，AB=AD，BAEADF，AE=DF，E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；（2）證明：延長(zhǎng)AD到G使MG=MB連接FG，F(xiàn)B，BM=DM+CD，DG=DC=BC，GDF=C=90，DF=CF，F(xiàn)DGFCB（SAS），DFG=CFB，B，F(xiàn)，G共線，E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)，AD=CDAE=CF，AB=BC，C=BAD=90，AE=CF，ABECBF，ABE=CBF，AGBC，AGB=CBF=ABE，MBC=AMB=2AGB=2GBC=2ABE，MBC=2ABE【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)

26、行證明是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度8如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點(diǎn)，且BE=BF，過點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M（1）求證：BFC=BEA；（2）求證：AM=BG+GM【分析】（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，AB=BC，又BE=BF，所以ABE和CBF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可證出；（2）連接DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)，AB=AD，DAC=BAC=45，AG是公共邊，所以ABG和ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，BG=DG，對(duì)應(yīng)角相等2=3，因?yàn)锽GAE，所以BAE+2=90，而B

27、AE+4=90，所以2=4，因此3=4，根據(jù)GMCF和（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可以得到1=BFC=2，在ADG中，DGC=3+45，所以DGM三點(diǎn)共線，因此ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM證明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=90，在ABE和CBF中， ，ABECBF（SAS），BFC=BEA；（2）連接DG，在ABG和ADG中，ABGADG（SAS），BG=DG，2=3，BGAE，BAE+2=90，BAD=BAE+4=90，2=3=4，GMCF，BCF+1=90，又BCF+BFC=90，1=BFC=2，1=3，在ADG中，DGC=3+45，

28、DGC也是CGH的外角，D、G、M三點(diǎn)共線，3=4（已證），AM=DM，DM=DG+GM=BG+GM，AM=BG+GM【點(diǎn)評(píng)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形全等的性質(zhì)，第二問中，證明三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵9如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明（2）當(dāng)DP=CP時(shí)，

29、四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值（3）四邊形PMEN是矩形的話，DPC必需為90，判斷一下DPC是不是直角三角形就行解：（1）M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，ME是PC的中位線，NE是PD的中位線，MEPC，ENPD，四邊形PMEN是平行四邊形；（2）當(dāng)AP=5時(shí)，在RtPAD和RtPBC中， ，PADPBC，PD=PC，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，NE=PM=PD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN可能是矩形若四邊形PMEN是矩形，則DPC=90設(shè)PA=x，PB=10x，DP=，CP= DP2+CP

30、2=DC2 16+x2+16+（10x）2=102x210x+16=0 x=2或x=8 故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，四邊形PMEN是矩形【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等等性質(zhì)10如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC處，連接AC，BC，CC，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)判斷得出【解答】解；圖中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC，理由：四邊形ABCD是正方形，AB=AD=DC，BAD=ADC

31、=90，DC=DC=DA，DCC，DCA為等腰三角形，CDC=30，ADC=90，ADC=60，ACD為等邊三角形，AC=AD=AB，CAB為等腰三角形，CAB=9060=30，CDC=CAB，在DCC和ABC中，DCCABC（SAS），CC=CB，BCC為等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出ACD為等邊三角形是解題關(guān)鍵11如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、DC上，BE=DF，EAF=60（1）若AE=2，求EC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)G在DC上，且AGC=120，求證：AG=EG+FG【分析】（1）連接EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=

32、AD，B=D，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而得到AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF，再判斷出CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系求解即可；（2）方法一：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出AGF=60，然后判斷出點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，從而得到AGE=AFE=60，再求出CGE=60，延長(zhǎng)GE交AB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得H=CGE=60，再求出GAF=HAE，然后利用“角角邊”證明AFG和AEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=AH，F(xiàn)G=EH，從而得證；方法二：在AG上截取G

33、H=FG，可得FGH是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得FH=FG，F(xiàn)HG=60，再求出AFH=EFG，然后利用“邊角邊”證明AFH和EFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等AH=GE，然后證明即可【解答】（1）解：如圖，連接EF，在正方形ABCD中，AB=AD，B=D，在ABE和ADF中，ABEADF（SAS），AE=AF，EAF=60，AEF是等邊三角形，EF=AE=2，BE=DF，BC=CD，BCBE=CDDF，即CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EC=EF=2=；（2）方法一：證明：AGC=120，AGF=180AGC=180120=60，又AEF是等邊三角形，（已證）AEF=60，點(diǎn)

34、A、E、G、F四點(diǎn)共圓，AGE=AFE=60，CGE=AGCAGE=12060=60，如圖（2）延長(zhǎng)GE交AB的延長(zhǎng)線于H，ABCD，H=CGE=60，H=AGF，又GAF+EAG=EAF=60，HAE+EAG=GAB=60，GAF=HAE，在AFG和AEH中，AFGAEH（AAS），AG=AH，F(xiàn)G=EH，AGE=60，AGH是等邊三角形，AH=GH=EG+EH=EG+FG，即AG=EG+FG方法二：如圖（2）在AG上截取GH=FG，AGC=120，AGF=60，F(xiàn)GH是等邊三角形，F(xiàn)H=FG，F(xiàn)HG=60，AEF是等邊三角形，AFE=60，AFE=GFH=60，AFEEFH=GFHEFH，

35、即AFH=EFG，在AFH和BFG中，AFHEFG（SAS），AH=GE，AG=AH+GH=EG+FG，即AG=EG+FG【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）先求出四點(diǎn)共圓，然后求出AGE=AFE=60，然后作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵12如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O點(diǎn)E是線段DO上一點(diǎn)，連接CE點(diǎn)F是OCE的平分線上一點(diǎn)，且BFCF與CO相交于點(diǎn)M點(diǎn)G是線段CE上一點(diǎn)，且CO=CG（1）若OF=4，求FG的長(zhǎng)；（2）求證：BF=OG+CF【分析】（1）根據(jù)條件證明OCFGCF，由全等的性質(zhì)就可以得出OF=GF而得出結(jié)論；（2）在BF上截取BH=CF

36、，連接OH通過條件可以得出OBHOCF可以得出OH=OF，從而得出OGFH，OHFG，進(jìn)而可以得出四邊形OHFG是平行四邊形，就可以得出結(jié)論【解答】（1）解：CF平分OCE，OCF=ECFOC=CG，CF=CF，在OCF和GCF中，OCFGCF（SAS）FG=OF=4，即FG的長(zhǎng)為4（2）證明：在BF上截取BH=CF，連接OH四邊形ABCD為正方形，ACBD，DBC=45，BOC=90，OCB=180BOCDBC=45OCB=DBCOB=OCBFCF，BFC=90OBH=180BOCOMB=90OMB，OCF=180BFCFMC=90FMC，且OMB=FMC，OBH=OCF在OBH和OCF中，

37、OBHOCF（SAS）OH=OF，BOH=COFBOH+HOM=BOC=90，COF+HOM=90，即HOF=90OHF=OFH=（180HOF）=45OFC=OFH+BFC=135OCFGCF，GFC=OFC=135，OFG=360GFCOFC=90FGO=FOG=（180OFG）=45GOF=OFH，HOF=OFGOGFH，OHFG，四邊形OHFG是平行四邊形OG=FHBF=FH+BH，BF=OG+CF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)采用截取法作輔助線是關(guān)鍵13（1）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為3，求三角形DBF的面積（

38、2）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為1，求三角形DBF的面積（3）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為b，求三角形DBF的面積【分析】（1）三角形的面積為底高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解（2）正方形ABCD的面積加上以CD為長(zhǎng)CE為寬的長(zhǎng)方形的面積減去ABD，BEF，DGF的面積即可求出解（3）兩個(gè)正方形的面積減去ABD，BEF，GDF的面積可求出解【解答】解：（1）三角形DBF的面積：33=（2分）（2）三角形DBF的面積：32+3133（3+1）121=（3）三角形DBF的面積：a2+b2aa（a+b）b（ba）b=（2分）結(jié)論是：三

39、角形DBF的面積的大小只與a有關(guān)，與b無關(guān)【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀圖的能力，關(guān)鍵是從圖中看出三角形DBF的面積由哪些圖形相加減得到14如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，交BC的延長(zhǎng)線于G，M是FG的中點(diǎn)（1）求證：1=2；ECMC（2）試問當(dāng)1等于多少度時(shí)，ECG為等腰三角形？請(qǐng)說明理由【分析】（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得ADE=CDE，然后利用邊角邊定理證明ADE與CDE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可證明；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得1=G，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=MG，然后據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到G=MCG，所以2=MC

40、G，然后根據(jù)FCG=90即可證明MCE=90，從而得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合等腰三角形兩底角相等G=GEC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求解（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ADE=CDE，AD=CD，在ADE與CDE，ADECDE（SAS），1=2， ADBG（正方形的對(duì)邊平行），1=G，M是FG的中點(diǎn)，MC=MG=MF，G=MCG，又1=2，2=MCG，F(xiàn)CG=MCG+FCM=90，ECM=2+FCM=90，ECMC；（2）解：1=30時(shí)，ECG為等腰三角形理由如下：ECG為等腰三角形，G=CEG，又1=2=G，在ECG中，G+CEG+2+FCG=180，即31+9

41、0=180，解得1=30故答案為：1=30時(shí)，ECG為等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是綜合題，但難度不大，細(xì)心分析即可找出解題思路15如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點(diǎn)B、C外的任意一點(diǎn)，AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接MF、CN（1）求證：BM+DF=MF； （2）求NCE的度數(shù)【分析】（1）截長(zhǎng)補(bǔ)短類型題目，延長(zhǎng)CD至G使DG=BM，證明ADGABM，將BM+DF轉(zhuǎn)化到一條線段GF上，再證明MF=GF；（2）過點(diǎn)N作NHEB，證MHNABM，再根據(jù)線段間的

42、關(guān)系得到NH=HC，從而得到CHN是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCE=45【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CD至G使DG=BM，在ADG和ABM中， ，ADGABM（SAS），AG=AM，又AMN為等腰直角三角形，MAN=45，F(xiàn)AD+MAB=45，DAG=BAM，GAF=FAD+DAG=45，GAF=MAN，在在AFG和AFM中， ，AFGAFM（SAS），MF=GF，又GF=GD+DF，GD=BM，BM+DF=MF；（2）解：過點(diǎn)N作NHEB于點(diǎn)H，AMB=180AMNNMH=90NMH=MNH，在ABMMHN中， ，ABMMHN（AAS），AB=MH，BM=NH，CH=MHM

43、C=ABMC=BCMC=BM=NH，CHN是等腰直角三角形，NCE=NCG=45【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形，然后確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)16如圖，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形（2）當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請(qǐng)說明理由【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NDAM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NDE=MAE，DNE=AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義

44、求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明NDE和MAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；（2）連接BD，求出ABD是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DMAB，然后根據(jù)矩形的定義證明（1）證明：四邊形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，DE=AE，在NDE和MAE中，NDEMAE（AAS），ND=MA，四邊形AMDN是平行四邊形；（2）AM=1理由如下：如圖，連接BD，四邊形ABCD是菱形，AD=AB=2，DAB=60，ABD是等邊三角形，AM=1，AB=2，AM=MB=1，DMAB

45、，即DMA=90，又四邊形AMDN是平行四邊形，四邊形AMDN是矩形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口17如圖，ABC中，AB=AC，AD是ABC外角的平分線，已知BAC=ACD（1）求證：ABCCDA；（2）若B=60，求證：四邊形ABCD是菱形【分析】（1）求出B=ACB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出FAC=2ACB=2DAC，推出DAC=ACB，根據(jù)ASA證明ABC和CDA全等；（2）推出ADBC，ABCD，得出平行四邊形ABCD，根據(jù)B=60，AB=AC，得出等邊ABC，推出AB=BC即

46、可【解答】證明：（1）AB=AC，B=ACB，F(xiàn)AC=B+ACB=2ACB，AD平分FAC，F(xiàn)AC=2CAD，CAD=ACB，在ABC和CDA中ABCCDA（ASA）；（2）FAC=2ACB，F(xiàn)AC=2DAC，DAC=ACB，ADBC，BAC=ACD，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，B=60，AB=AC，ABC是等邊三角形，AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，綜合性也比較強(qiáng)18如圖，在ABC中，AB=AC，B=60，F(xiàn)AC、ECA

47、是ABC的兩個(gè)外角，AD平分FAC，CD平分ECA求證：四邊形ABCD是菱形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出【解答】證明：B=60，AB=AC， ABC為等邊三角形，AB=BC，ACB=60，F(xiàn)AC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， 平行四邊形ABCD是菱形【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)等內(nèi)容，注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，得出AB=BC是解決問題的關(guān)鍵19如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF

48、（1）證明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；（3）在（2）的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使得EFD=BCD，并說明理由【分析】（1）首先利用SSS定理證明ABCADC可得BAC=DAC，再證明ABFADF，可得AFD=AFB，進(jìn)而得到AFD=CFE；（2）首先證明CAD=ACD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；（3）首先證明BCFDCF可得CBF=CDF，再根據(jù)BECD可得BEC=DEF=90，進(jìn)而得到EFD=BCD（1）證明：在ABC和ADC中， ，ABCADC（SS

49、S），BAC=DAC，在ABF和ADF中，ABFADF（SAS），AFD=AFB，AFB=CFE，AFD=CFE；（2）證明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四邊形ABCD是菱形；（3）當(dāng)EBCD時(shí)，即E為過B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，EFD=BCD，理由：四邊形ABCD為菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF和DCF中，BCFDCF（SAS），CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBE=CDF+EFD，EFD=BCD【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)

50、，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具20如圖，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說明理由【分析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出ADB=90，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可（1）證明：點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，四邊形AEBD是平行四邊形，AB=AC，AD是BAC的角平分線，ADBC，ADB=90，平行四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)BAC=90時(shí)，理由：BAC=90，AB=AC，AD是BAC的角平分線，AD=BD=CD，由（1）得四邊形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關(guān)鍵21如圖，ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MNBC設(shè)MN交ACB的平分線于點(diǎn)E，交ACB的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)