培訓(xùn)地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、 1 為了了解地球的形狀，讓我們由遠(yuǎn)及 近地觀察一下地球的自然表面。 浩瀚宇宙之中浩瀚宇宙之中 : : 地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球 體。體。 地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表 面。面。 珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。 事實(shí)是：事實(shí)是： 地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤 道半徑略長(zhǎng)，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的 橢球體。 當(dāng)海洋靜止時(shí)，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛 垂線）成正交，這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。 在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合， 并假想其穿過(guò)大陸、島嶼形成一

2、個(gè)閉合曲面，這就是大地水 準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面地球物理表 面。它所包圍的形體稱為大地體。 1. 地球形體的一級(jí)逼近： 對(duì)地球形狀的很好近似，其面上高出與面 下缺少的相當(dāng)。 2. 起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略： 對(duì)大地測(cè)量和地球物理學(xué)有研究?jī)r(jià)值，但 在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。 3. 重力等位面： 可使用儀器測(cè)得海拔高程（某點(diǎn)到大地水 準(zhǔn)面的高度）。 在測(cè)量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)代替大地球體，這 個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為 地球橢球體，簡(jiǎn)稱 橢球體。 它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué) 表面，所以人們視其為 地球體的數(shù)學(xué)表面，也 是對(duì)地球形體的二級(jí)逼 近，用于測(cè)量計(jì)算的基 準(zhǔn)面。 橢球體 三要素

3、: 長(zhǎng)軸 a（赤道半徑）、短軸 b（極半徑）和橢球的扁率 f Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b WGS world geodetic system 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2 a - b 6

4、378137 - 6356752.3 f = = a 6378137 1 = 298.257 f 對(duì) a，b，f 的具體測(cè)定就是近代大地測(cè)量的 一項(xiàng)重要工作。 對(duì)地球形狀 a，b，f 測(cè)定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與 橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好 的一個(gè)地球橢球體 參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球 體定位。 通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球 橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面 最貼近的位置上，并求出 兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù) 學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三 級(jí)逼近。 由于國(guó)際上在推求年代、方法及測(cè)定的地區(qū)不同， 故地球橢球體的元素值有很多種。 中國(guó)1952年前采用海福特（Hayford）橢球體 ； 195

5、31980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原 點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)） ； 自1980年開(kāi)始采用 GRS 1975（國(guó)際大地測(cè)量與地 球物理學(xué)聯(lián)合會(huì) IUGG 1975 推薦）新參考橢球體系，并 確定陜西涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大 地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。 陜西省涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn) 北洪流村為 “1980 西安坐標(biāo)系西安坐標(biāo)系” 大地 坐標(biāo)的起算點(diǎn)大 地原點(diǎn)。 地球表面上的定位問(wèn)題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué) 研究及軍事國(guó)防等密切相關(guān)的重大問(wèn)題。具體而言，就 是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。 2 用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面 坐標(biāo)。 天文經(jīng)緯度 大地經(jīng)緯度 地心經(jīng)緯度 天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在上的 位

6、置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。 天文經(jīng)度：觀測(cè)點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂 子午面間的兩面角。 在地球上定義為本初子午面與觀測(cè)點(diǎn)之間 的兩面角。 天文緯度： 在地球上定義為鉛垂線與赤道平面 間的夾角。 大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在上的位 置，用大地經(jīng)度l 、大地緯度 和大地高 h 表 示。 大地經(jīng)度l l ：指參考橢球 面上某點(diǎn)的大地子午面與 本初子午面間的兩面角。 東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。 大地緯度 ：指參考橢球 面上某點(diǎn)的垂直線（法線） 與赤道平面的夾角。北緯 為正，南緯為負(fù)。 地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)， 地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l ，地心緯度是指 上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

7、 。 在大地測(cè)量學(xué)中，常以 天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地圖學(xué)中，以大地經(jīng) 緯度定義地理坐標(biāo)。 在地理學(xué)研究及地圖學(xué) 的小比例尺制圖中，通常將 橢球體當(dāng)成正球體看，采用 地心經(jīng)緯度。 1.中國(guó)的大地坐標(biāo)系 1980年以前：參見(jiàn)電子教案本章第十三頁(yè)； 1980年選用1975年國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)推薦的參考 橢球： ICA-75橢球參數(shù) a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257 2.中國(guó)的大地控制 網(wǎng) 平面控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精 確測(cè)定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成， 由三角測(cè)量或?qū)Ь€測(cè)量完成，依 精度不同，分為四等。 由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布

8、 全國(guó)各地。 高程控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定高程的地 面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測(cè)量或三角高程測(cè)量完成。 依精度不同，分為四等。 中國(guó)高程起算面是 黃海平均海水面。 1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制 點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推 算，稱為1956年黃海高程系。 1987年國(guó)家測(cè)繪局公布： 啟用1985國(guó)家高程基準(zhǔn) 取代黃海平均海水面 其比黃海平均海水面 上升 29毫米。 青島觀象山 水準(zhǔn)原點(diǎn) 絕對(duì)高程 相對(duì)高程 國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn) 國(guó)家測(cè)繪局 平面控制 網(wǎng) 國(guó)家測(cè)繪局 高程控制網(wǎng) 國(guó)家測(cè)繪局 水準(zhǔn)面示意圖 國(guó)家測(cè)繪局 GPS控制網(wǎng) 國(guó)家測(cè)繪局 授時(shí)與測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng) (Naviga

9、tion Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)， 可提供高精度、全天候、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位、定時(shí)及導(dǎo)航服務(wù)。 1. GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分 組成組成 空間部分空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們?cè)诟叨?0 200km的近 圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個(gè)軌道面上，軌道傾角55，兩個(gè)軌道面之間在經(jīng) 度上相隔60，每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了 在地球上任意地點(diǎn)，任意時(shí)刻，至少同時(shí)可見(jiàn)到四顆衛(wèi)星。 地面支撐系統(tǒng)地面支撐系統(tǒng)：1個(gè)主

10、控站，3個(gè)注入站，5個(gè)監(jiān)測(cè)站。 它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的 參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于 GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。 用戶設(shè)備部分用戶設(shè)備部分：GPS接收機(jī)接收衛(wèi)星信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)處 理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出 用戶的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到 航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。 2. GPS系統(tǒng)定位原系統(tǒng)定位原 理理 數(shù)據(jù)，組成3個(gè)方程式，就可以解出觀測(cè)點(diǎn)的位置（X,Y,Z）?？紤]到衛(wèi)星的時(shí)鐘 與接收機(jī)時(shí)鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個(gè)未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引 入第4顆衛(wèi)星，形成4個(gè)方

11、程式以求解，從而得到觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。 通過(guò)測(cè)量衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)接收 機(jī)的時(shí)間延遲，即可算出用戶到衛(wèi) 星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距 離公式，利用3顆衛(wèi)星的 3.常用常用GPS測(cè)量模式測(cè)量模式 常規(guī)靜態(tài)測(cè)量：采用兩臺(tái)(或兩臺(tái)以上)GPS接收機(jī)，分別安置在一條或數(shù)條基線 的兩端，同步觀測(cè)4顆以上衛(wèi)星，每時(shí)段根據(jù)基線長(zhǎng)度和測(cè)量等級(jí)觀測(cè)45分鐘以 上的時(shí)間。常用于建立全球性或國(guó)家級(jí)大地控制網(wǎng)、地殼運(yùn)動(dòng)監(jiān)測(cè)網(wǎng) 。 快速靜態(tài)測(cè)量：這種模式是在一個(gè)已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站， 連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)數(shù)分鐘。 這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測(cè)量、

12、地籍測(cè)量等。 這種方法要 求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò) 20km。 靜態(tài)測(cè)量模式 準(zhǔn)動(dòng)態(tài)測(cè)量 在一已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。 移動(dòng)站接收機(jī)在進(jìn)行初始化后依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)幾個(gè)歷元數(shù)據(jù)。 這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測(cè)時(shí)間不一樣外，它要求移動(dòng)站在搬站過(guò)程中 不能失鎖，并且需要先在已知點(diǎn)或用其它方式進(jìn)行初始化（采用有OTF功能的 軟件處理時(shí)例外）。 這種模式可用于開(kāi)闊地區(qū)的加密控制測(cè)量、工程定位及碎部測(cè)量、剖面測(cè) 量及線路測(cè)量等。 要求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基 準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò)20km

13、。 動(dòng)態(tài)測(cè)量模式 實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)測(cè)量：DGPS和RTK 在一個(gè)已知測(cè)站上架設(shè)GPS基準(zhǔn)站接收機(jī)和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星，并 通過(guò)數(shù)據(jù)鏈向移動(dòng)站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動(dòng)站接收機(jī)通過(guò)移動(dòng)站數(shù)據(jù)鏈接收基準(zhǔn)站發(fā)射來(lái)的數(shù) 據(jù)，并在機(jī)進(jìn)行處理，從而實(shí)時(shí)得到移動(dòng)站的高精度位置。 DGPS通常叫做實(shí)時(shí)差分測(cè)量，精度為亞米級(jí)到米級(jí)，這種 方式是基準(zhǔn)站將基準(zhǔn) 站上測(cè)量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿?dòng)站，移動(dòng)站接收到RTCM數(shù)據(jù)后，自 動(dòng)進(jìn)行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標(biāo)。 RTK 則是以載波相位觀測(cè)量為根據(jù)的實(shí)時(shí)差分GPS測(cè)量，它是GPS測(cè)量技術(shù)發(fā)展 中的一個(gè)新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過(guò)是基準(zhǔn)站將觀測(cè)數(shù)

14、據(jù)發(fā)送到移動(dòng) 站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動(dòng)站接收機(jī)再采用更先進(jìn)的在機(jī)處理方法進(jìn)行處理， 從而得到精度比DGPS高得多的實(shí)時(shí)測(cè)量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。 3 地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的 客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過(guò)由曲面到 平面的轉(zhuǎn)換。 地圖投影： 在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)與 點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。 地圖投影的實(shí)質(zhì)： 是將地球橢球面上的經(jīng)緯線 網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。 x = f1( , l ) y = f2( , l ) 1. 地圖比例尺的含 義地圖比例尺：地圖上一直線段長(zhǎng)度與地面相應(yīng)直線水平投影長(zhǎng)度之比。 可表達(dá)為

15、（d為圖上距離，D為實(shí)地距離） 根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為： 主比例尺 ： 在投影面上沒(méi)有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。 1d DM 2. 地圖比例尺的表示 數(shù)字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百萬(wàn)分之 一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺 特殊比例尺 變比例尺 無(wú)級(jí)別比例尺 1. 投影變形的概念 把地圖上和 地球儀上的經(jīng)緯線 網(wǎng)進(jìn)行比較，可以 發(fā) 現(xiàn)變形表現(xiàn)在長(zhǎng) 度、面積和角度 三個(gè)方面。 2.變形橢圓 X m X 為經(jīng)線長(zhǎng)度比；為緯線長(zhǎng)度比 Y n Y 微小圓變形橢 圓 該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后

16、通常 會(huì)變?yōu)闄E圓，即： 以O(shè)為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐 標(biāo)軸的橢圓方程式。 代入： X2 + Y2 = 1，得得 X m X Y n Y 22 22 1 XY mn 特別方向：特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向及經(jīng)向和 緯向 長(zhǎng)軸方向（極大值）a 短軸方向（極小值）b 經(jīng)線方向 m ；緯線方向 n 統(tǒng)稱統(tǒng)稱 主方向主方向 據(jù)，有 m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab 3.投影變形的性質(zhì)和大小 和： 投影面上一微小線段 （變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面 上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。 m表示長(zhǎng)度比長(zhǎng)度比，Vm表示長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度變形 長(zhǎng)度比是

17、變量，隨位置和方向的變化而變化。 d d s s m1Vmm = 0 不變 0 變大 0 變大 0 變小 ： 投影面上任意兩方向線所夾之角與 球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以 表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 、 y )，則tan y x tan y x x a x y b y tantan byb axa tantantantan(1)tan bb aa tantantantan(1)tan bb aa sin() tan coscos ab a sin() sin() ab ab 將上式兩邊各減和加 tan 即： 將兩式相除，得： sin()s

18、in() ab ab sin() ab ab (1802 )(1802 )2()mm sin 2 ab ab tan(45) 2 b a 22 22 2sin sin 22sin mnmn mnmn q q 顯然當(dāng)（ + ）= 90時(shí)，右 端取最大值，則最大方向變形： 以表示角度最大變形： 若已知 m, n, q ，則： 1. 幾何投影法 地圖投影最初建立在透視的幾何原 理上，它是把橢球面直接透視到平面上， 或透視到可展開(kāi)的曲面上，如平面、圓 柱面和圓錐面。 2. 數(shù)學(xué)解析法 以正軸圓錐投影為例 經(jīng)線經(jīng)線 投影為放射直線， 經(jīng)差l 與投影面上d成 正比：d = cl （c為圓錐系數(shù)，0 c 1

19、）。 緯線緯線 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 的函數(shù)， r = f（）。 圓錐投影的一般公式為： X = r s - r cos r = f() Y = r sin d d = cl d d A B m ABR r d cos d A D m ADR r d l Pmn sin 2 mn mn dd dcos dcos c RRR rr dr l 2 tan (45/2) kk U r e tan(45/2) tan (45/2) U y sinesiny 等角投影條件：=0，m=n，構(gòu)成 經(jīng)移項(xiàng)、積分、整理得： 1. 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 （1）: 將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到 幾何

20、面上，然后將幾何面展為平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面與球面相切 或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影: 以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面 相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然 后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影: 以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面 相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然 后將圓錐面展為平面而成。 （2） 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法 確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。 偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變 經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中 央經(jīng)線的曲線。 偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變

21、經(jīng) 線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投 影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng) 線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投 影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后 沿一母線剪開(kāi)展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央 經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于 中央經(jīng)線的曲線。 2. 按地圖投影的變形性質(zhì)分類 : 投影面上某點(diǎn)的任意兩方向 線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度 變形為零 =0（或 a=b，m=n）。 : 投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面 積相等，即面積變形為零 Vp=

22、0（或 P=1， a=1/b）。 : 投影圖上，長(zhǎng)度、面積和角度都 有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影 是在特定方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形的任意投影 （m=1）。 1. 傳統(tǒng)地圖的投影變換 格網(wǎng)轉(zhuǎn)繪法 藍(lán)圖嵌貼法 2. 數(shù)字地圖的投影變換 投影變換的一般公式 X = f1(x,y) Y = f2(x,y) x = f1(, l ) X = 1(, l ) y = f2(, l ) Y = 2(, l ) = (x,y) l =l(x,y) X = 1(x,y), l(x,y) Y = 2(x,y), l(x,y) 定域內(nèi)單 值、連續(xù) A投影 B投影 反解 代入 B 如不知地圖的投影系統(tǒng)，可通過(guò)

23、多項(xiàng)式實(shí)施變換： X = a00 + a10 x + a20 x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30 x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + Y = b00 + b10 x + b20 x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30 x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + 系數(shù) aij， bij 可用多個(gè)已知坐標(biāo)點(diǎn)求出。 根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等角圓柱投影 等角圓錐投影 x = rk lnU , y = rkl y U = e n , l= rk x ( n = ) rk r = K / U2 X = r

24、 s - r cos d = l Y = r sin d K 為積分常數(shù)， 為圓錐系數(shù) cos() e s an k ky X r r sin() ean k ky Y r 根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等距圓柱投影 等距圓錐投影 x = s , y = rkl y l= rk y X = r s - (C - s )cos( ) rk y Y = (C - s ) sin( ) rk r = C - s X = r s - r cos d d = l Y = r sin d C 為積分常數(shù)，s 為緯度的經(jīng)線弧長(zhǎng) 4 1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位 置 2.制圖比例尺 3.地圖的內(nèi)容 4.出版

25、方式 1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置 制圖區(qū)域的地理位置決定 投影種類 制圖區(qū)域的形狀直接制約 投影選擇 制圖區(qū)域的范圍大小影響 投影選擇 2.制圖比例尺 不同比例尺地圖對(duì)精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形圖，對(duì)精度要求高，宜采用變形 小的投影，如分帶投影。 中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位 精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。 3. 地圖的內(nèi)容 主題和內(nèi)容不同，對(duì)投影的要求也不同。 要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影 要求面積對(duì)比正確，應(yīng)選擇等積投影 教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不 大，則應(yīng)選擇任意投影 4.出版方式 單幅圖 系列圖 地圖集 1. （） 以橢圓柱為投

26、影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢 圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍 內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。 由 德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F. Gauss，17771855） 及大地測(cè)量學(xué) 家克呂格（J. Krger， 18571923）共同 創(chuàng)建。 此投影無(wú)角度變形，中央經(jīng)線無(wú)長(zhǎng)度變形。 為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差 6或 3分帶，長(zhǎng)度變形 0.14% 中國(guó)國(guó)家基本比例尺地形圖采用高斯中國(guó)國(guó)家基本比例尺地形圖采用高斯-克克 呂格呂格6分帶投影：分帶投影： 11萬(wàn)（萬(wàn)（3分帶）分帶） 12.5萬(wàn)、萬(wàn)、15萬(wàn)、萬(wàn)、110萬(wàn)、萬(wàn)、125萬(wàn)、萬(wàn)、 150萬(wàn)。萬(wàn)。

27、 yA = 245 863.7 m yB = - 168 474.8 m yA通 = 20 745 863.7 m yB通 = 20 331 525.2 m 以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高 圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的 地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又 稱 Universal Transverse Mercator UTM 投影。 此投影無(wú)角度變形， 中央經(jīng)線長(zhǎng)度比為 0.9996，距中央經(jīng)線 約180km處的兩條 割線上無(wú)變形。亦采 用分帶投影方法：經(jīng) 差6或3分帶。長(zhǎng) 度變形 1 任意投影 適于南北方 向延伸地區(qū) 地圖 普通多圓錐分帶投影圖 將整個(gè)地球按

28、一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤 道相接。用于制作地球儀。 等 差 分 緯 線 多 圓 錐 投 影 中國(guó)地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大 而呈等差遞減，屬任意投影。 正 切 差 分 緯 線 多 圓 錐 投 影 中國(guó)地圖出版社1976年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函 數(shù)遞減。屬任意投影。 世界圖 設(shè)想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切 或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓 柱面沿一條母線剪開(kāi)展為平面而成。 2. 圓柱投影 正軸等角圓柱投影 由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Mercator Gerardus，15121594）于15

29、69年所創(chuàng)設(shè)， 故又名墨卡托投影。 特點(diǎn)特點(diǎn): 不僅保持了方向和相對(duì) 位置的正確，而且使等角航線 在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性 對(duì)航海具有重要的實(shí)用價(jià)值。 墨卡托投影 等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度 的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角 航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。 等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航 海具有很重要的意義。 大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過(guò)兩點(diǎn)間 的大圓弧，也稱為大圓航線。 墨卡托投 影 等角航線 在圖上 表現(xiàn)為直線。這一 特性對(duì)航海具有很 重要的意義。 地球面上兩點(diǎn)間最 短距離是通過(guò)兩點(diǎn) 間的大圓弧，也 稱 為大圓航線 3. 偽圓柱投影 是在

30、圓柱投影的基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍然為平 行直線，而經(jīng)線則根據(jù)某些特定條件改變經(jīng)線形狀 而設(shè)計(jì)成對(duì)稱于中央經(jīng)線的各類曲線的非幾何投影， 在具體應(yīng)用中以等積性質(zhì)居多，而無(wú)等角投影。 桑遜（Sanson）投影 摩爾威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影 常用的投影方案： 桑遜（Sanson - Flam steed）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為 間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。 由法國(guó)桑遜于1650年設(shè)計(jì)。 投影特點(diǎn)： P = 1 無(wú)面積變形 n = 1 緯線長(zhǎng)度比為1 m0 = 1 中央經(jīng)線長(zhǎng)度比=1 m 1 經(jīng)線長(zhǎng)度比 1 摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為 間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。 由德國(guó)摩爾威特于1805年設(shè)計(jì)。 投影特點(diǎn)：