五種插值法的對比研究本科畢業(yè)論文

1、西藏大學本科生畢業(yè)論文題目：五種插值法的對比研究西藏大學本科生畢業(yè)論文開題報告表論文（設計）名稱五種插值法的對比研究論文（設計）來源自選論文類型指導教師學生姓名學 號專 業(yè)2009級數(shù)學與應用數(shù)學一、選題依據(jù)及意義：依據(jù)：在數(shù)值計算方法中，插值法是計算方法的基礎，數(shù)值微分、數(shù)值積分和微分方程數(shù)值解都建立在此基礎上。意義：插值法有大量的實際應用。我們學習過五種基本的插值方法，即拉格朗日線性插值、牛頓線性插值、分段線性插值、分段三次插值、樣條插值函數(shù)。通過對五種插值法的對比研究，讓學習著能夠迅速而準確的解決實際問題，掌握插值法的應用。二、研究條件：指導老師給予的精心指導，組其他同學的熱心幫助，學校

2、圖書館提供的豐富的相關書籍、論文等研究資料供檢索及一臺性能優(yōu)越的計算機。 三、研究目標、內(nèi)容和創(chuàng)新之處： 1、研究目標：擴寬學習者的解題思路，增強學習者理論聯(lián)系實際的意識。2、研究內(nèi)容：線性插值、分段線性插值、分段三次插值、樣條插值函數(shù)的對比研究等. 。3、創(chuàng)新之處：插值法在一題多解中的應用及各種插值法在不同題型中獨特的優(yōu)勢。四、前期準備：查閱資料，搜集經(jīng)典習題及各種插值法的解題思想。五、預期成果：掌握插值法的解題思想，并能熟練運用插值法解決實際問題。六、進度計劃：第一階段：撰寫開題報告 2012年10月23日2012年11月10日 第二階段：收集資料，撰寫提綱 2012年11月11日2012

3、年12月20日第三階段：畢業(yè)論文初稿撰寫 2012年12月21日2013年02月28日第四階段：畢業(yè)論文二稿撰寫 2013年03月22日2013年04月11日第五階段：論文三稿撰寫或定稿 2013年04月19日2013年05月16日第六階段：畢業(yè)論文答辯 2013年05月31日2013年06月13日 指導教師簽名： 日 期：2012 年 10月22 日論文（設計）類型：a理論研究；b應用研究；c軟件設計等；五種插值法的對比研究1一 插值法的歷史背景2二 五種插值法的基本思想3（一） 拉格朗日插值3（二） 牛頓插值3（三） 埃爾米特插值4（四） 分段線性插值5（五） 樣條插值5三 五種插值法的對

4、比研究6四 插值法在matlab中的應用13五 參考文獻15五種插值法的對比研究 摘要：插值法是數(shù)值分析中最基本的方法之一。在實際問題中碰到的函數(shù)是各種各樣的 ，有的甚至給不出表達式，只提供了一些離散數(shù)據(jù)，例如，在查對數(shù)表時，要查的數(shù)據(jù)在表中找不到，就先找出它相鄰的數(shù)，再從旁邊找出它的修正值，按一定關系把相鄰的數(shù)加以修正，從而找出要找的數(shù)，這種修正關系實際上就是一種插值。在實際應用中選用不同類型的插值函數(shù)，逼近的效果也不同。本文詳細介紹了拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值、埃爾米特插值、樣條插值法，并從五種插值法的基本思想和具體實例入手，探討了五種插值法的優(yōu)缺點和適用范圍。.通過對五種插值法的對

5、比研究及實際應用的總結，從而使我們在以后的應用中能夠更好、更快的解決問題。關鍵詞：插值法 對比 實際應用abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number tab

6、le, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . selection

7、of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. this paper describes the lagrange interpolation, newton interpolation, piecewise interpolation, hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the fiv

8、e interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. the comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the proble

9、m. 引言在許多實際問題中，常常需要根據(jù)一張函數(shù)表推算該函數(shù)在某些點上的函數(shù)值，或要求解決與該函數(shù)有關的一些問題，例如分析函數(shù)的性態(tài)，求導數(shù)、積分、零點與極值點等。解決此類問題的簡單途徑之一是：根據(jù)函數(shù)表中給出的數(shù)據(jù)，選擇一個比較合理且易計算的近似函數(shù)代替原來的函數(shù)。雖然在某個區(qū)間上是存在的，有的還是連續(xù)的，但卻只能給出上一系列點的函數(shù)值，這只是一張函數(shù)表，如大家熟悉的三角函數(shù)表、對數(shù)表、平方根和立方根表，為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表中的函數(shù)值。因此，我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個既能反映函數(shù)的特性，又便于計算簡單函數(shù)，用近似.通常選一類較簡單的函數(shù)（如代數(shù)多項式或分段代數(shù)多項式

10、）作為，并使對成立.這樣確定的就是我們希望得到的插值函數(shù).一 插值法的歷史背景 插值法是一種古老的數(shù)學方法，插值法歷史悠久。據(jù)考證，在公元六世紀時，我國劉焯(zhuo)已經(jīng)把等距二次插值法應用于天文計算。十七世紀時，newton和gregory(格雷格里)建立了等距節(jié)點上的一般插值公式，十八世紀時，lagrange(拉格朗日)給出了更一般的非等距節(jié)點插值公式。而它的基本理論是在微積分產(chǎn)生以后逐漸完善的，它的實際應用也日益增多，特別是在計算機工程中。許多庫函數(shù)的計算實際上歸結于對逼近函數(shù)的計算。二 五種插值法的基本思想（一） 拉格朗日插值對某個多項式函數(shù)，已知有給定的個取值點：,其中對應著自變量

11、的位置，而對應著函數(shù)在這個位置的取值。假設任意兩個不同的都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為： ，其中每個為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數(shù)），其表達式為：，拉格朗日基本多項式的特點是在上取值為1，在其它的點， 上取值為0.（二） 牛頓插值1 差商定義一般地，k階差商為： 我們知道差商的值只與節(jié)點有關而于節(jié)點的順序無關，所以有：2 牛頓插值公式下面我們從差商的定義來構造n次代數(shù)插值多項式的另一種表達式牛頓插值多項式。由一階差商的定義得類似地，由二階差商至n階差商的定義可得到下列方程組 解這個方程即得：為不高于n次的多項式，可驗證，稱是過n+1個插值點的n階插值多項

12、式（三） 埃爾米特插值對于函數(shù)f（x），常常不僅知道它在一些點的函數(shù)值，而且還知道它在這些點的導數(shù)值。這時的插值函數(shù)p（x），自然不僅要求在這些點等于f(x）的函數(shù)值，而且要求p（x）的導數(shù)在這些點也等于f（x)的導數(shù)值。這就是埃爾米特插值問題，也稱帶導數(shù)的插值問題。從幾何上看，這種插值要尋求的多項式曲線不僅要通過平面上的已知點組，而且在這些點（或者其中一部分）與原曲線“密切”，即它們有相同的斜率。 設已知函數(shù)f(x)在插值區(qū)間a,b上n+1個互異的節(jié)點xi(i=0,1,n) 處的函數(shù)值f(xi)=fi 及一階導數(shù)值 = （i=0,1,2,n）,若存在函數(shù)h(x)滿足條件：（1）h（x）是一個

13、次數(shù)不超過2n+1次的多項式；（2）h（）=f（），（）=（） （i=0,1,2,n）.則稱h（x）為f（x）在n+1個節(jié)點xi上的埃爾米特插值多項式。（四） 分段線性插值給定區(qū)間, 將其分割成，已知函數(shù)在這些插值結點的函數(shù)值為；求一個分段函數(shù),使其滿足： (1) ，； (2) 在每個區(qū)間上, 是個一次函數(shù).易知,是個折線函數(shù), 在每個區(qū)間上,于是, 在上是連續(xù)的，但其一階導數(shù)是不連續(xù)的.于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：,其中 （五） 樣條插值分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差；對于像高速飛機的機翼形線，船體放樣等等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導數(shù)，早期工程師制圖時，把

14、富有彈性的細長木條用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣條曲線。它實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階連續(xù)可導，從數(shù)學上加以概括得到數(shù)學樣條這一概念。給定區(qū)間上個節(jié)點和這些點上的函數(shù)值，若函數(shù)滿足：（1）在每個子區(qū)間上是不高于三次的多項式；（2）在上連續(xù)；滿足插值條件，則稱為函數(shù)關于節(jié)點的三次樣條插值函數(shù).三 五種插值法的對比研究本文的前半部分主要介紹了插值法的歷史背景及五種插值法的基本思想，本文的后半部分將從插值法的具體例題出發(fā)，討論五種插值法的優(yōu)缺點及適用范圍。例1 已知011分別利用給出的節(jié)點構造拉格朗日和牛頓一次和二次插值解:（1）拉

15、格朗日型插值多項式 構造過的一次插值基函數(shù) 構造過的二次插值基函數(shù) 因此 （2）牛頓型插值多項式構造牛頓一次插值函數(shù)因為 所以 構造二次插值函數(shù)因為 于是 由拉格朗日公式，牛頓公式及例題可以看出：拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣，而且當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實際上”的值之間有很大的偏差.牛頓插值公式是n次插值多項式的又一種構造形式，但它克服了拉格朗

16、日插值多項式的缺點，它的一個明顯優(yōu)點是，每增加一個插值節(jié)點，只要在原牛頓插值公式中增添一項便可形成高一次的插值公式。而且在實際應用中，經(jīng)常會遇到插值節(jié)點是等距分布的情況，這時，牛頓插值公式可以進一步簡化，得到等距節(jié)點的插值公式，從而能夠大大的縮短實際運算的時間。但是這種代數(shù)插值，只要求插值多項式在插值節(jié)點處與被插值函數(shù)有相同的函數(shù)值，但是這種插值多項式往往還不能全面反映被插值函數(shù)的性態(tài)，許多實際問題不但要求插值函數(shù)與被插值函數(shù)在各節(jié)點的函數(shù)值相同，而且還要求插值多項式在某節(jié)點或全部節(jié)點上與被插值函數(shù)的導數(shù)值也相等，甚至要求高階導數(shù)值也相等。而這時拉格朗日插值與牛頓插值就不滿足這種要求了。例2

17、過0,1兩點構造一個三次埃爾米特插值多項式，滿足條件; 解：因此 有上面的例題可以看出：埃爾米特插值是我們知道了函數(shù)在某些點出的函數(shù)值，而且插值函數(shù)在這些點處的導數(shù)也和被插函數(shù)一致，所以在幾何上，這種插值函數(shù)不僅和被插函數(shù)在插值節(jié)點處有相同的函數(shù)值“過點”，而且和被插函數(shù)在節(jié)點處有相同的切線“相切”。因此，插值函數(shù)和被插函數(shù)的貼合程度要比多項式的程度好。但是埃爾米特插值只有當被插值函數(shù)在插值節(jié)點處的函數(shù)值和導數(shù)值已知時才能使用，這在實際問題中是不現(xiàn)實的，因為在一般情況下不可能也沒有必要知道函數(shù)在插值節(jié)點處的導數(shù)值。所以是否知道插值函數(shù)在節(jié)點處的導數(shù)值成為能否運用埃爾米特插值的一個重要因素例3

18、給定函數(shù) 取等距節(jié)點試建立插值多項式，并探究它與的誤差。 解：插值多項式的次數(shù)為10，用拉格朗日插值公式有 其中 計算結果如表所示-1.000.038460.03846-0.400.200000.19999-0.900.047061.57872-0.300.307690.23535-0.800.058820.05882-0.200.500000.50000-0.700.07547-0.22620-0.100.800000.84340-0.600.100000.100000.001.000001.00000-0.500.137930.253760,1區(qū)間上的值由對稱性可以得到，從表上可以看出，在

19、原點附近能較好的逼近，在其他部位與的差異較大，越靠近端點，逼近的效果就越差。由這個例題可以很容易看出拉格朗日插值多項式在高次插值中的不足，為了彌補這種不足一般采用分段線性插值的方式。例4 給定函數(shù)取等距節(jié)點，作分段線性插值函數(shù)，并計算的值。 解 給出-1,0區(qū)間上的函數(shù)值表：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.038460.058820.100000.200000.500001.00000在區(qū)間0,1上的函數(shù)值可利用對稱性得到。先構造各點的插值基函數(shù)：（其中j=1，2，9）分段線性插值函數(shù)是所以 =0.03846（-5）（-0.9+0.8）+0.05882 5 (-0.9+1) =0.5

20、 0.03846+0.5 0.05882 =0.04864分段線性插值在計算上具有簡潔方便的特點.分段線性插值與3次多項式插值函數(shù)在每個小區(qū)間上相對于原函數(shù)都有很強的收斂性，（舍入誤差影響不大），數(shù)值穩(wěn)定性好且容易在計算機上編程實現(xiàn)等優(yōu)點缺點: 分段線性插值在節(jié)點處具有不光滑性的缺點(不能保證節(jié)點處插值函數(shù)的導數(shù)連續(xù))，從而不能滿足某些工程技術上的要求.而3次樣條插值卻具有在節(jié)點處光滑的特點。5給定數(shù)據(jù)表如下：xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次

21、樣條表達式為將代入得 對三次樣條插值函數(shù)來說，當插值節(jié)點逐漸加密時，不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，而且其微商也收斂于函數(shù)的微商，這種性質(zhì)要比多項式插值優(yōu)越得多。而且樣條函數(shù)不一定必須是逐段三次多項式，也可以逐段是一個簡單函數(shù)，且連續(xù)點保持足夠光滑。四 插值法在matlab中的應用題目背景及數(shù)據(jù)和要求：例：測得平板表面3*5網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。源程序和運行結果（1）先在三維坐標畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.在matlab中輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84