判別式法 (2)

1、用“判別式法”求一類函數(shù)值域應(yīng)注意的地方余鶴生如何求函數(shù)值域是高一函數(shù)部分必須要掌握的內(nèi)容，也是歷來高考的熱點之一。對于各種簡單函數(shù)可有不同的求值域方法。其中一類函數(shù)可由“判別式法”求其值域的。筆者經(jīng)過多年的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生只是機(jī)械地搬用“判別式法”，而忽視其嚴(yán)謹(jǐn)性，結(jié)果往往發(fā)生“偽值”、“漏判”或回避矛盾的錯誤，使結(jié)論不準(zhǔn)確、不可靠。那么，怎樣才能準(zhǔn)確、合理地使用“判別式法”求函數(shù)的值域呢？應(yīng)該要注意些什么呢？筆者認(rèn)為要注意三個方面：1函數(shù)定義域是求函數(shù)值域的大前提，定義域發(fā)生變化，值域有變化可能。2在解題過程中，每步變形或推理都要注意等價性或充要性。這是利用判別式法正確地求函數(shù)值域的關(guān)鍵

2、。需要特別指出的是，由于函數(shù)變形（包括用換元法），化為一元二次方程形式，斷言“方程有實數(shù)解”時，尤其要注意是否只在某一特定區(qū)間才可下此斷言，并討論之，否則往往會搞錯。3如果函數(shù)能變形為一元二次方程形式，我們在求解中又注意到以上兩個方面，那么我們用判別式法求函數(shù)值域是可行的。但它不是唯一的較好方法。我們往往可以用其它方法靈活、巧妙地求解。下面略舉幾例用“判別式法”求值域的例題，與大家共同探討。例1求函數(shù)的值域。解：函數(shù)定義域為：在此前提下，我們有：、 對方程分下列（）、（）兩種情況討論：（）如方程為一元二次方程是實數(shù)，方程有實根，其充要條件是0即0整理得：0 不等式的解集為任意實數(shù)，但當(dāng)時，=0

3、，方程有實根，這時的對應(yīng)值，背離了前提，應(yīng)舍去，故。（）如，方程可同解變形為：，顯然應(yīng)舍去，故綜合（）、（），的值域為0的解集除去的其余部分。故的值域為例2求函數(shù)的值域解：是實數(shù)，方程有實數(shù)解的充要條件是0，即 注意到條件僅是的充分條件，只有，即條件下才有所以取的公共部分，得，則的值域為以上二例，我們可以知道函數(shù)的定義域是求 函數(shù)的值域的大前提。充分必要條件的運用是求解過程中變形的重要原則，忽略了這兩點，求得的結(jié)果當(dāng)然是不可靠的。例3求函數(shù)的值域。解法（一）， 則的值域為解法（二）設(shè)，則有 設(shè)Z1，Z2為方程之兩根，且Z1，Z2同負(fù)，則其充要條件是：即但由假設(shè)為實數(shù)，故Z不為負(fù)，設(shè)Z1，Z2同

4、負(fù)得到的，應(yīng)予排除，故的值域應(yīng)在0時的中排除，故的值域是。比較以上兩種解法，易見解法（一）簡捷、嚴(yán)密，解法（二）中，若不注意，是是充分但不必要條件，運用如下解法：上面方程有實數(shù)解的條件是0，即，則可為一切實數(shù)，這就錯了。這時方程雖然有解，但不能保證有解，從而不能保證等式的值的存在。 例4求函數(shù)的值域 解法（一）函數(shù)的定義域為，設(shè)，那么 函數(shù)可化為：，即 ，故下面三種情況應(yīng)予排除： （）方程的兩根分別在兩旁。令，則其充要條件為： （）方程的兩根都小于0，其充要條件為： 易知此不等式組無解。 （）方程的兩根都不大于1，其充要條件為： 綜上所述，的值域應(yīng)在的解集中排除和，故的值域是 解法（二）同解法（一）可以得： ，二次函數(shù)的圖象（拋物線開口向下），對稱軸， 當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)， 函數(shù)的最大值為 函數(shù)的最小值為的值域為 解法（三）設(shè)，于是函數(shù)可化為： ，即當(dāng)時，函數(shù)有最大值5，當(dāng)時，函數(shù)最小值2。函數(shù)值域為。由此題的幾種解法得知，對于有些可用判別式法求值域的函