2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊(cè)教學(xué)案：第3章 3.3.2 第1課時(shí)　一元二次不等式及其解法 Word版含解析

1、3.3.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn))2能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題(難點(diǎn))通過一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2022年，冬季奧運(yùn)會(huì)將在中國(guó)舉行，跳臺(tái)滑雪是其中最具有觀賞性的項(xiàng)目之一，一位跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)員在90 m級(jí)跳臺(tái)滑雪時(shí)，想使自己的飛行距離超過68 m他若以自身體重從起滑臺(tái)起滑，經(jīng)助滑道于臺(tái)端飛起時(shí)的初速度最快為110 km/h那么他能實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)嗎？1一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式，稱為一元二次不等式思考1：不等式x2y20是一元二次

2、不等式嗎？提示此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式2三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)二次函數(shù)yax2bxc(a0)，一元二次方程ax2bxc0判別式b24ac000方程ax2bxc0的根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2沒有根實(shí)數(shù)二次函數(shù)yax2bxc的圖象ax2bxc0的解集x|xx1或xx2rax2bxc0的解集x|x1xx2思考2：若一元二次不等式ax2x10的解集為r，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？提示結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2x10的解集為r，則解得a，所以a使不等式ax2x10的解集為r1不等式35x2x20的解集為

3、()abcdrc35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x2不等式3x22x10的解集為()a bc drd因?yàn)?2)243141280，所以不等式3x22x10的解集為r3不等式x22x52x的解集是x|x5或x2x，得x24x50，因?yàn)閤24x50的兩根為1,5，故x24x50的解集為x|x54不等式3x25x40的解集為原不等式變形為3x25x40因?yàn)?5)2434230，所以3x25x40無解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知，3x25x40；(2)4x218x0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有兩個(gè)不等實(shí)根x13，x2又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所

4、以原不等式的解集為(2)原不等式可化為0，所以原不等式的解集為(3)原不等式可化為2x23x20，因?yàn)?42270；(2)x24x40；(3)x22x30解(1)0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x20的解集為(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x40的解集為(3)原不等式可化為x22x30，由于0，方程x22x30無解，不等式x22x30的解集為r(4)原不等式可化為3x25x20，方程3x25x20的兩根為x1，x21，不等式3x25x20的解集為含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10思路點(diǎn)撥對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否

5、分a0，a0三類進(jìn)行討論？當(dāng)a0時(shí)，是否還要比較兩根的大小？解當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x1當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(ax1)(x1)0當(dāng)a0，1，x1當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(x1)0若1，則x1，即0a1，則1x綜上所述，當(dāng)a1；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并2解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a0)解原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20，化簡(jiǎn)為(x1)(ax2)0a0，(x1)0當(dāng)2a0時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，1x綜上所述，當(dāng)2a0時(shí)，解集為；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a

6、0、y0時(shí)自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合x|x3；同理，滿足y0時(shí)x的取值集合為x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y0時(shí)，函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y0或y0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？提示方程x22x30的解集為1,3不等式x22x30的解集為x|x3，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x30解集的端點(diǎn)值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2，x|x1xx2(x10(a

7、0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2，x|x1xx2(x10的解集為x|2x3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5，6且a0c0，即x2x0，即x2x0的解集為x|2x3”變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集

8、是”求不等式cx2bxa0的解集解法一：由ax2bxc0的解集為知a0又20，則c0又，2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根，又，ba，ca，不等式變?yōu)閤2xa0，即2ax25ax3a0又a0，2x25x30，所求不等式的解集為法二：由已知得a0 且2，2知c0，設(shè)方程cx2bxa0的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1x2，其中，x13，x2不等式cx2bxa0的解集為已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去 a， 將不等式化為具體

9、的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc圖象的簡(jiǎn)圖；由圖象得出不等式的解集(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)m0)，一根(0)，無根(0)(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x23由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)mx25x0，則

10、一元二次不等式ax210無解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1，x2(x1x2)，則一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|x1x0的解集為r()提示(1)當(dāng)m0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m0時(shí)，是一元二次不等式(2)因?yàn)閍0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集為r(3)當(dāng)a0時(shí)，ax2bxc0的解集為x|x1xx2，否則不成立(4)因?yàn)?2)2120的解集為r答案(1)(2)(3)(4)2設(shè)a1，則關(guān)于x的不等式a(xa)0的解集為因?yàn)閍1，所以a(xa)0又aa，所以x或xa3已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為由題意知2，是方程ax2bxc0的兩個(gè)根且a0，即為2x25x20，解得x0的