2013年成人高考(專升本)高等數(shù)學二筆記小抄保過壓題-預

1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復習考試要求1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。 主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作xn，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項， 第n項xn為數(shù)列的一般項或通

2、項，例如（1）1，3，5，（2n-1），（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項分別為（2n-1）,。對于每一個正整數(shù)n，都有一個xn與之對應，所以說數(shù)列xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3,.xn,。2.數(shù)列的極限定義對于數(shù)列xn，如果當n時，xn無限地趨于一個確定的常數(shù)a，則稱當n趨于無窮大時，數(shù)列xn以常數(shù)a為極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作 比如：無限的趨向0

3、，無限的趨向1否則，對于數(shù)列xn，如果當n時，xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，稱數(shù)列xn沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)a及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列xn以a為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點a，即點xn與點a之間的距離|xn-a|趨于0。資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質與運算法則1.數(shù)列極限的性質定理1.1（惟一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列xn收斂，則它必定有界。注意：這個定

4、理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1，0，1，0，有界：0，12.數(shù)列極限的存在準則定理1.3（兩面夾準則）若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：（1），（2）， 則定理1.4若數(shù)列xn單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5（1）（2）（3）當時，（三）函數(shù)極限的概念資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 1.當xx0時函數(shù)f（x）的極限（1）當xx0時f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當xx0時，函數(shù)f（x）的極限是a，記作或f（x）a（當xx0時）例y=f（x）=2x+1x

5、1,f（x）?x1x1（2）左極限當xx0時f（x）的左極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當xx0時，函數(shù)f（x）的左極限是a，記作或f（x0-0）=a（3）右極限當xx0時，f（x）的右極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當xx0時，函數(shù)f（x）的右極限是a，記作或f（x0+0）=a例子：分段函數(shù)資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 ，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當x0時，f（x）的左極限是1，即有

6、當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當x0時，f（x）的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關系：定理1.6當xx0時，函數(shù)f（x）的極限等于a的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于a，則必有。x1時f(x)?x1x1f(x)2對于函數(shù)，當x1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。2.當x時，函數(shù)f（x）的極限（1）當x時，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當x時，函數(shù)f（x）的極限是a，記作或f（x）a（當x時）

7、（2）當x+時，函數(shù)f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x+時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當x+時，函數(shù)f（x）的極限是a，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n+的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出x+，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。y=f(x)x+f(x)x？資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 x+，f(x)=2+2例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當x+時，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以（3）當x-時，函數(shù)f（x）的極限定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x-時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)a，

8、則稱當x-時，f（x）的極限是a，記作x-f(x)？則f(x)=2+(x0)x-,-x+f(x)=2+2例：函數(shù)，當x-時，f（x）？解：當x-時，-x+2，即有由上述x，x+，x-時，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x時f（x）的極限是a充分必要條件是當x+以及x-時，函數(shù)f（x）有相同的極限a。例如函數(shù)，當x-時，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當x+時，f（x）也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當x時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 即雖然當x-時，f（x）的極限

9、存在，當x+時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有 即雖然當x-時，f（x）的極限存在，當x+時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理1.9如果則（1）（2）（3）當時

10、，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量1.無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理1.10函數(shù)以a為極限的必要充分條件是：可表示為a與一個無窮小量之和。資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大

11、小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：振蕩型發(fā)散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（）不是一個數(shù)值，

12、“”是一個記號，絕不能寫成或。3.無窮小量與無窮大量的關系無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。當無窮大無窮小當為無窮小無窮大4.無窮小量的基本性質性質1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較定義設是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱

13、與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當?shù)葍r無窮小量代換定理：資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。均為無窮小又有這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當時，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;（六）兩個重要極限1.重要極限重要極限是指下面的求極限公式令這個公式很重要，應用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。其結構式為：2.重要極限重要極限是指下面的公式：資料來源：www

14、.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為e=2.718281828495045其結構式為：重要極限是屬于型的未定型式，重要極限是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1.利用極限的四則運算法則求極限；2.利用兩個重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達法則求未定式的極限；6.利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式 （2）（3）（4）例1.無窮小量的有關概念（1）9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是a.b.c.d. 答

15、ca.發(fā)散d.（2）0202當時，與x比較是a.高階的無窮小量b.等價的無窮小量c.非等價的同階無窮小量d.低階的無窮小量答b解:當,與x是極限的運算：0611解：答案-1例2.型因式分解約分求極限（1）0208 答解:（2）0621計算答解:例3.型有理化約分求極限（1）0316計算 答解:（2）9516 答解:資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 例4.當時求型的極限 答 （1）0308一般地，有例5.用重要極限求極限（1）9603下列極限中，成立的是a.b.c.d. 答b（2）0006 答解:資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 例6.用重要極限求極限（1）0416計

16、算 答解析解一：令解二：03060601（2）0118計算 答 解:例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407 答0解:，例8.用等價無窮小代換定理求極限0317 答0解:當例9.求分段函數(shù)在分段點處的極限（1）0307設則在的左極限答1解析（2）0406設,則 答1解析例10.求極限的反問題（1）已知則常數(shù)解析解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必達法則）即，得.（2）若求a,b的值.解析型未定式.當時，.令于是，得.即，所以.04020017，則k=_.（答:ln2）解析前面我們講的內(nèi)容：資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重

17、要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復習考試要求1.理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2.會求函數(shù)的間斷點。3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質會用它們證明一些簡單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容（一）函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點x0處連續(xù)定義1設函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數(shù)的改變量y也趨近于0，即則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)。函數(shù)

18、y=f（x）在點x0連續(xù)也可作如下定義：定義2設函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當xx0時，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即定義3設函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)，則f（x）在點x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的每一點x處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，并稱f（x）為a，b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關系：，即f（

19、x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且存在，但，則點x0是f（x）一個間斷點。，則f（x）在a.x=0,x=1處都間斷b.x=0,x=1處都連續(xù)c.x=0處間斷，x=1處連續(xù)d.x=0處連續(xù)，x=1處間斷解：x=0處，f（0）=0f（0-0）f（0+0）x=0為f（x）的間斷點x=

20、1處，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）f（x）在x=1處連續(xù) 答案c9703設，在x=0處連續(xù)，則k等于a.0 b. c. d.2分析：f（0）=k答案b例30209設在x=0處連續(xù)，則a=解：f（0）=e0=1f（0）=f（0-0）=f（0+0）a=1 答案1（二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質。資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 定理1.12（四則運算）設函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）0，則在

21、x0處連續(xù)。定理1.13（復合函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復合函數(shù)y=fg（x）在x=x0處連續(xù)。在求復合函數(shù)的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對應區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)

22、f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為m和m，則對于介于m和m之間的任何實數(shù)c，在a，b上至少存在一個，使得推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在a，b內(nèi)至少存在一個點，使得資料來源：www.zik 更多資料請登錄網(wǎng)站。 f（）=0（四）初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結論。定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0