六年級(jí)奧數(shù)教師解析版含答案 33.計(jì)數(shù)綜合2

1、第 33 講 計(jì)數(shù)綜合 2內(nèi)容概述利用對(duì)應(yīng)法求解的計(jì)數(shù)問題.所謂對(duì)應(yīng)法,即建立起所考察對(duì)象和另一類對(duì)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過對(duì)后者 的計(jì)數(shù)而求得問題的答案.與平面和立體圖形相關(guān)的復(fù)雜計(jì)數(shù)問題,其他具有相當(dāng)難度的計(jì)數(shù)綜合題典型問題2. 小明有 10 塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?分析與解 我們將 10 塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中 9 個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”, 則將 lo 塊糖分成了兩部分我們記從左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,，如:表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒： | 表示第一天吃了

2、 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而 9 個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共 有 29=512 種不同的插入方法,即 512 種不同的吃法4. 在 88 的方格表中,取出一個(gè)如圖 33-1 所示的由 3 個(gè)小方格組成的“l(fā)”形,一共有多少種不同的方法?【分析與解】 觀察發(fā)現(xiàn),對(duì)于每個(gè)“l(fā)”形,都有一個(gè)點(diǎn) m 與其對(duì)應(yīng),而每個(gè) 22 的方格中,m 點(diǎn)都對(duì)應(yīng) 4 個(gè)不同的“l(fā)”.在 88 的方格中,類似 m 點(diǎn)的交叉點(diǎn)有 77=49 個(gè)(不包括邊上的交叉點(diǎn))所以共有“l(fā)”形 449=196 種不同的取法評(píng)注 :通過上面兩

3、個(gè)范例我們知道,當(dāng)直接去求一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)較為困難的時(shí)候,可考慮采用相等的原 則,把問題轉(zhuǎn)化成求另一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)6. 有一批規(guī)格相同的均勻圓棒,每根劃分成相同的 5 節(jié),每節(jié)用紅、黃、藍(lán) 3 種顏色中的一種來涂.問可以得到 多少種著色方式不同的圓棒?【分析與解】 如圖 左右倒置，即有 可 能 與每根原棒的 5 節(jié)記為 a、b、c、d、e,特別得注意到原棒可以是同種情況不難得知,當(dāng)原棒上的 5 節(jié)對(duì)稱時(shí),即與是同種情況. ,其中 a 有 3 種顏色可選,b 也有 3 種顏色可選,c 還是有 3 種顏色可選,故有 333=27 種不同的染法考慮不對(duì)稱時(shí)33333=243 種不同的染法則 a

4、有 3 種原色可選，b、c、d、e 也各有 3 種顏色可選,于是有所以,其中不對(duì)稱有 243-27=216 種,不對(duì)稱的了, 而對(duì)稱的沒有重復(fù)計(jì)算所以,共有 2162+27=135 種實(shí)質(zhì)不同的著色方式與重復(fù)計(jì)算8. 如圖 33-3,八面體有 12 條棱,6 個(gè)頂點(diǎn).一只螞蟻從頂點(diǎn) a 出發(fā),沿棱爬行,要求恰好經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)一次.問共 有多少種不同的走法?【分析與解】 ab,ad,ae,af,這 4 類走法,每類走法的種數(shù)一樣多，所以只用考察 ab 的后續(xù)步驟有多少種：b e c d f，b e c f d,b e d f c,b e d c f, b f d e c，b f d c e，b f

5、 c e d，b f c d e,bcedf，bcfde(從 bc 后三步只能是順時(shí)針或逆時(shí)針,只用 2 種).共 10 種所以從 a 點(diǎn)出發(fā)共有 104=40 種不同的滿足題中條件的走法10. 某玩具廠生產(chǎn)大小一樣的正方體形狀的積木,每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,每色各涂?jī)蓚€(gè) 面.當(dāng)兩個(gè)積木經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆瓌?dòng)以后 ,能使各種顏色的面所在位置相同時(shí) ,它們就被看作是同一種積木塊 .試說 明:最多能涂成多少種不同的積木塊?【分析與解】 總可以使下底面為紅色如果上底面也是紅色 ,通過翻過 ,可以使前面為黃色 ,左面不是黃色 ,這時(shí)后面可以是黃色 ,也可以是藍(lán)色 , 有 2 種如果上底面不是

6、紅色,通過旋轉(zhuǎn),可以使后面為紅色.這時(shí)又分兩種情況：(1) 前面與上面同色,可以同為黃色,也可以同為藍(lán)色,有 2 種(2) 前面與上面不同色,通過翻動(dòng),可以使上面為黃色,前面為藍(lán)色這時(shí)右面可以是黃色,也可以是藍(lán)色，有 2 種因此,共可涂成 2+2+2=6 種不同的積木塊12.有 8 個(gè)隊(duì)參加比賽,采用如圖 33-4 所示的淘汰制方式.問在比賽前抽簽時(shí),可以得到多少種實(shí)質(zhì)不同的比賽 安排表?8【分析與解】 我們標(biāo)上字母,如下圖如果全排列為 p =8！因?yàn)?a,b；b,a 實(shí)質(zhì)賽程一樣；同理 c/d,e/f,g/h,i/j,k/l,m/n 均是,所以除以 7 個(gè) 28于是,共有 8！27=315

7、種實(shí)質(zhì)不同的賽程安排14. 游樂園的門票 1 元 1 張,每人限購(gòu) 1 張.現(xiàn)在有 10 個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)票,其中 5 個(gè)小朋友只有 1 元的鈔票,另 外 5 個(gè)小朋友只有 2 元的鈔票,售票員沒有準(zhǔn)備零錢.問有多少種排隊(duì)方法,使售票員總能找得開零錢?【分析與解】 方法一:按第一個(gè)帶 2 元鈔票的小朋友前面有幾個(gè)小朋友來確定排隊(duì)的方案,共有五個(gè)方 案：帶 1 元的 5 個(gè)小朋友都排在前邊,即 1111l22222,只有 1 種情況；帶 1 元的小朋友有 4 個(gè)排在前面,即 1111212222,1111221222,1111222122,1111222212，共有 4 種情況； 帶 1 元的小朋

8、友有 3 個(gè)排在前邊,如 1112112222,，共有 9 種情況；4 帶 1 元的小朋友有 2 個(gè)排在前邊,如 1121112222,，共有 14 種情況；5 帶 1 元的小朋友只有 1 個(gè)排在前邊,如 1211112222，共有 14 種情況五個(gè)方案共有 1+4+9+14+14=42(種)情況因?yàn)?10 個(gè)小朋友互不相同,所以每種情況有 5！5！=14400(種)排隊(duì)方法,總共有 4214400=604800 種排 隊(duì)方法,使售票員總能找得開零錢方法二:如下左圖,先將拿 1 元的小朋友看成相同的,2 元的小朋友看成相同的.在下圖中,每條小橫線代表 拿 l 元的小朋友,每條小豎線代表拿 2 元的小朋友從 a 到 b 的不論在網(wǎng)格中的何點(diǎn)均有橫線數(shù)不小于豎線數(shù)相當(dāng)于求 a 到 b 的走法：我們?cè)儆缮嫌覉D知:從 ab 的走法有 42 種因?yàn)楦鱾€(gè)小朋友都是不同的,所以共有 425！5！=42120120=60