高中數(shù)學(xué)專題---對稱和共線問題

1、x-xx =ay =bp高中數(shù)學(xué)專題 - 對稱和共線問題基本方法：1. 對稱問題是解析幾何中的一個(gè)重要問題，主要類型有：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題（即線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題）設(shè)點(diǎn) p (x0 0, y0)，對稱中心為 a (a,b)，則點(diǎn) p (x0 0, y0)關(guān)于 a (a,b)的對稱點(diǎn)為 p (2a-x0,2 b -y0).（2）點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義可知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的垂直平分線，利用“垂直”“平 分”這兩個(gè)條件建立方程，就可以求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般情形如下：設(shè)點(diǎn) p (x0 0, y0)關(guān)于直線y =kx +b的對稱點(diǎn)為 p (x,y)y -y0 k =-

2、1，則有 0 ，可求得 y +y x +x0 =k 0 +b 2 2p (x,y).特殊情形：點(diǎn) p (x0 0, y0)關(guān)于直線 對稱的點(diǎn)為p (2a-x 0, y0)；點(diǎn)p0(x , y0 0)關(guān)于直線 對稱的點(diǎn)為p (x0,2 b -y0)；若對稱軸的斜率為 1，則可把 p (x0 0, y0)直接代入對稱軸方程求得對稱點(diǎn) 的坐標(biāo).2. 三點(diǎn)共線問題解題策略一般有以下幾種：1 斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線 的斜率相等證明三點(diǎn)共線；2 距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和， 則這三點(diǎn)共線；3 向量法：利用向量共線定理證

3、明三點(diǎn)共線；4 直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，再證明第三點(diǎn)也在該直線上 ;5 點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的 距離，若距離為 0，則三點(diǎn)共線 .2，2 r, sclp ol rsc2+y =1 ac ad ead ae y m nomnxypalkcb cp bq22p, opoma, b cla xbc面積法：通過計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為 0，則三點(diǎn)共線.在處理三點(diǎn)共線問題時(shí)，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”. 一、典型例題1.已知橢圓c :x24 1 +y =1 m ,3 3 為橢圓上一點(diǎn)，若 是橢圓 上的兩個(gè)點(diǎn)，線段

4、rs的中垂線 的斜率為12且直線 與 交于點(diǎn) ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：p, o, m三點(diǎn)共線.2.已知橢圓 ：x42 ， 為橢圓左頂點(diǎn)，設(shè)橢圓 上不與 點(diǎn)重合的兩點(diǎn) ，關(guān)于原點(diǎn) 對稱，直線 ， 分別交 軸于 ， 兩點(diǎn). 求證：以 為直徑的圓 被 軸截得的弦長是定值 .二、課堂練習(xí)1. 拋物線 c : y 2 =4 x，已知斜率為 的直線 交 軸于點(diǎn) ，且與曲線 相切于點(diǎn) ，點(diǎn) 在曲線 上，且直線pbx軸， 關(guān)于點(diǎn) 的對稱點(diǎn)為 ，判斷點(diǎn)a, q, o是否共線，并說明理由.2. 已知橢圓x y+ =18 4，上頂點(diǎn)為 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)線段 的中點(diǎn)為m，經(jīng)過 的直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)， 方程.l(-3,0)，若點(diǎn) 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)在直線 上，求直線三、課后作業(yè)1. 已知拋物線c : y2=4 x的焦點(diǎn)為f，直線l過點(diǎn) (-1,0)，直線l與拋物線c相交于 a, b兩點(diǎn)，點(diǎn) a 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 d . 證明： b, f , d 三點(diǎn)共線.x y2 2a, b+ =1 dabcg2al x =-1p q xapb b a bq xdap2.已知橢圓g:10 6. 的頂點(diǎn)都在橢圓 上，其中 關(guān)于原點(diǎn)對稱，試問dabc能否為正三角形？并說明理由 .3.已知橢圓x24 y+ =13，