三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)綜述

1、要點一：手拉手模型、手拉手模型特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點.ABD 與 BCE，連結(jié) AE 與 CD，證例1.如圖在直線 ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形 明(1) .ABEiDBC(2) AE = DCAE與DC之間的夾角為60(4) 匚 AGB 三:DFB(5) EGB 二 CFB(6) BH 平分 /AHC(7) GF / AC.4I!5變式精練1：如圖兩個等邊三角形 ABD與:BCE，連結(jié)AE與CD，證明（1）CABE 三:DBC(2)AE 二 DC（3）AE與DC之間的夾角為60(2) AE 二 DC（3）AE與DC之間的夾角為60例2:如圖，兩個正方

2、形 ABCD與DEFG 旌結(jié)AG,CE ,二者相交于點H（4）AE與DC的交點設(shè)為H , BH平分.AHC變式精練2:如圖兩個等邊三角形 ABD 與 BCE，連結(jié)AE 與CD，證明（1）CABE 二 DBC AE與DC的交點設(shè)為H , BH平分一 AHC問：（1）：AD CDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度?（4）HD是否平分.AHE ？例3：如圖兩個等腰直角三角形 ADC與EDG ,連結(jié)AG,CE ,二者相交于點H問：（1） ADG二QDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例 4：兩個

3、等腰三角形 CABD 與：BCE，其中 AB =BD ,CB 二 EB, . ABD =/CBE 二:-,連結(jié)AE與CD ,問：（1） .ABE二厶DBC是否成立？（2）AE是否與CD相等？（3）AE與CD之間的夾角為多少度？（4）HB是否平分.AHC ？EJB二、倍長與中點有關(guān)的線段倍長中線類?考點說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線， 倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達到將條件進行轉(zhuǎn)化的目的。1【例1】 已知：ABC中，AM是中線.求證： AM .（AB AC）.【練1】在厶ABC中,AB =5 , AC =9，貝U BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【

4、練2】如圖所示，在ABC的AB邊上取兩點F，使 AE =BF，連接 CE、CF，求證：AC BC EC FC .【例2】 如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC 于 F , AF =EF，求證：AC =BE .【練1】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點，且 BE =AC , 延長BE交AC于F，求證：AF =EF【練2】如圖，在：ABC中，線于點F，交AB于點G，若AD交BC于點D，點E是BC中點，EF II BG =CF，求證： AD為 :ABC的角平分線.AD交CA的延長【練3】如圖所示，已知厶ABCEF =AC .求證：EF

5、 II AB中，AD 平分.BAC , E、F 分別在 BD、AD 上. DE =CD9【例3】 已知AM為厶ABC的中線，.AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于 F 求證：BE +CF EF .【練1】在RL ABC中，F(xiàn)是斜邊 AB的中點， D、E分別在邊 CA、CB上，滿足ZDFE =90.若AD =3 , BE =4，則線段DE的長度為 .【練2】在 ABC中，點D為BC的中點，點M、N分別為AB、AC上的點，且MD _ ND .(1 )若ZA=90，以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三 角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？(2)如果 BM 2

6、 CN2 =DM 2 - DN2，求證 AD2 = ； AB2 AC2 .【例4】如圖所示,連接CE、D在 ABC 中，AB =AC ,延長 AB 到 D ,使 ED =AB CD，求證 CD =2EC .,E為AB的中點,CE 為.：ABC 的 ABC【練1】已知 ABC 邊上的中線.求證：CD =2CE中，AB =AC , BD為AB的延長線，且 BD二AB ,全等之截長補短： 人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性 質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方 1.如圖所示， BC中， C = 90廠B =45 , AD平分

7、BAC交BC于D。求證：AB=AC+CD。如圖所示，在CABC中，乙B =60, ABC的角平分線AE+CD=AC 。2.如圖所示，已知 1, P為BN上一點，且PD _AD、CE相交于點 0。求證:BC 于 D，AB+BC=2BD，求證:.BAP BCP =180。ABD =/CBD，CE 垂直于B3.如圖所示，在 Rt ABC 中，AB=AC，. BAC =90，BD的延長線于 E。求證：BD=2CE。5如圖所示，在ABC中， ABC =90，AD為 BAC的平分線，/C =300， BE _ AD 于 E 點，求證：AC-AB=2BE 。三、截長補短問題1:垂直平分線（性質(zhì)）定理是 問題

8、2 :角平分線（性質(zhì)）定理是問題3 :等腰三角形的兩個底角 ，簡稱;如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也 ，簡稱.問題4 :當(dāng)見到線段的 慮截長補短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移 、轉(zhuǎn)移，然后和重新組合解決問題.三角形全等之截長補短（一）一、單選題（共4道，每道25分）1.已知，如圖，BM平分/ ABC P為BM上一點，PDLBC于點D, BD=AB+CD遣長怯）證明如圖，在昶上截取莊=迅連接悲一在ZEP和HEEP中AB = EB“ Z1 = Z2SF= BP(SAS)代 CD=ED：PD 丄 BC.PEPC 請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：平分 ZABC.一 Z1 = Z2:丁上 1=22

9、;/ A=Z BEP AP=PE/BD = AB + CD 二心=ZPCDTBD 二 AB+CD二 BD 二 BE + ED+23= 180二二 一二 丄；二二一_：；二丄一二二 一二；AZ3 = Z?CCVZBSF+Z3 = 18O/.以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.B.C.D.2.已知，如圖，BM平分2 ABC點P為BM上一點，PDLBC于點D, BD=AB+DC 求證：2 BAP2BCP=180 .第#頁共18頁第15頁共18頁.Z1=Z2在丘b和FDF中BE = BDBP= BP：、“EE陀山DF (SAS)Afeli 和 Afdc 中rPE=PDi RA DC_AE = CD；”

10、EPE啦ZX ($A)/. ZC=ZR4E.PZ4?-Z/!jr=Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長BA過點P作PE1BA于點E;延長BA到E,使AE=DC連接PE: BD = BA + CD: RD 二 BA+CD延長BA到E,使DC=AE二 二1 上二；.r_ 二/. PE = PD, ZPEA 二乙PDB：PD 丄 ECZFDE = 90。/. DC = 90.-.以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?PE二 PD, ZPEA = ZPDBTPD丄恥:.ZPDB = J/PDC = 90Q/.ZFi4 = 90； . _!A.B.C.D.AB=AE

11、AD平分/ CDEZ BAE=ZCAD 求證:BC+DE=CD.4D 平 1=Z2在AJFQ和&応Q屮AD = AD* Z1 = Z2DP-LR.,ZkiFZ)SfiA.JD (SAS)在b松匸和ZFC巾AS= AF請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=CB連接AF在DC上截取DF=DE連接AF;在 DC上截取 DF=DE AE=AF AF=AE / 4=Z3;Z 4=Z 3;：.AB = AFT Z8血=2CADVZCAD-Z3+Z6ABAE:.AB = AFVZCJW = Z3+Z6,Z4-Z3 即 Z4+Z5=Z3+Z6AB = AE-AB = AFABAE=2ZCADAZ

12、CJD=Z3+Z6 apZ4+Z5 = Z3+Z6 ：._. 以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?一A.B.C.D.AB=AE / BAE=ZCAD / ABC#AED=180，求證:BC+DE=CD 朋匚血-_-Z2-Z3. JC-JF在既C.心#1DF.血中-ZOD- ZiPjIDaD - ADAC.JDS2Af.JD (SAS)請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長DE到F,使EF=BC連接AF;延長DE到F,使BC=EFZ1+ZAS5 = 18O延長DE到F,連接AF;. 一；*： ZEAE 二 20AD:.ACAD = Z2 +Z4 .ZCAD = Z2 +Z4二Z3+Z4二 Z3+/

13、4:m ；豐一y 二-：. .一二匕一二二/. CD = DF：DF DE+EFEF = BC:-EF= DE+BC：.CD = DFDF = DE + SF二DE+BC廠-；工_ L-以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.B.C.D.四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長補短專題問題一：題中出現(xiàn)什么的時候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)?問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件)【例1】如圖，P是正 ABC內(nèi)的一點，若將PBC繞點B旋轉(zhuǎn)到 P/ BA ,則/ PBP /的度數(shù)是( )A. 45B. 60C. 90 D. 120 【例2】如圖，正方形BAFE與正方形 ACGD共點于A,連接BD、CF , 求證：BD =

14、CF并求出/ DOH的度數(shù)。【例3】如圖，正方形 ABCD中，/ FAD = Z FAE。求證：BE+ DF =AE。Cfi1題干中出現(xiàn)對圖形的旋轉(zhuǎn) 一一現(xiàn)成的全等2 圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形一一找到并利用3題干中沒提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在一一通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形 ABCD中，/ MAN = 45,/ MAN的兩邊分別交 CB、DC于點M、N。 求證：BM + DN = MN?！纠?】如圖，正方形ABCD中，/ EAF = 45,連接對角線 BD交AE于M，交AF于N,證明：DN2+ BM2= MN2【例6】如圖，已知 OAB和厶OCD是等邊三角形

15、，連結(jié) AC和BD，相交于點 E, AC和BO交于 點F，連結(jié)BC。求/ AEB的大小?！纠?】如圖所示： ABC 中，/ ACB = 90 AC = BC, P 是厶 ABC 內(nèi)的一點，且 AP = 3, CP= 2, BP = 1,求/ BPC的度數(shù)。本課總結(jié)問題一：題中出現(xiàn)什么的時候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？（構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件）1. 圖中有相等的邊（等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形）2. 這些相等的邊中存在共端點。3如果旋轉(zhuǎn)（將一條邊和另一條邊重合），會出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、 被分割的特殊角。問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型：1. 大角夾半角2. 手拉手（尋找旋轉(zhuǎn)

16、）3. 被分割的特殊角測試題1.如圖，P是正ABC內(nèi)的一點，且BP是/ ABC的角平分線，若將PBC繞點P旋轉(zhuǎn)到P BA，則.PBP的度數(shù)是（）A. 45B . 60 C. 90D. 1202 .如圖： ABC中，AB = AC , BC為最大邊，點 上一點，BF = CD，則下列正確的是D、E分別在BC、AC上，BD = CE, F為BA延長線 （）A . DF = DEB . DC = DFC. EC= EAD .不確定3. 如圖，四邊形 ABCD中，/ ABC = 30, / ADC = 60, AD = DC ,則下列正確的是（）A . BD2= AB2 + BC2 B . BD2V

17、AB2+ BC2 C. BD2 AB2 + BC2 D.不確定4.已知 ABC中， ACB =90 , CD _ AB于D , AE為角平分線交 CD于F，則圖中的直 角三角形有（）A . 7個B . 6個C. 5個D . 4個 5.如圖，DA丄AB, EA丄AC, AD = AB, AE= AC,則下列正確的是（）A . ABD 幻 ACEC. BMF 幻 CMSB . ADF 幻 AESD . ADC 幻 ABE6 .如圖，已知P為正方形 ABCD 的對角線AC上的一點（不與A、C重合），PE丄BC與點E,PF丄CD 與點F，若四邊形 PECF繞點C 逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié) BE、DF，則下列一

18、定正確的是（A. BP= DP）B . BE2+ EC2= BC2C. BP= DFD. BE= DF7.如圖，等腰直角ADB與等腰直角 AEC共點于A，連結(jié)BE、CD，則下列一定正確的是（）A . BE= DCB . AD / CEC . BE 丄 CED . BE= CEAFC共點于A，連接BF、CE，則.EOB的度數(shù)為（）&如圖，等邊三角形ABE與等邊三角形A. 45 B . 60 C . 90D . 1209.如圖，在四邊形 ABCD中，AB二AD , / B二/ D =90 , E、F分別是邊BC、CD上 1的點，且/ EAF / BAD。則下列一定正確的是 （）2A . EF 二B

19、E FDC . EF : BE FDB . EF BE FDD . EF 2 二 BE2 FD210 .在正方形 ABCD 中，BE= 3, EF = 5, DF = 4,則/ BAE + Z DCF 為（）A. 45B. 60C. 90D. 120五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等在證明線段或角相等時，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結(jié)論下面介紹尋找 全等三角形的幾種方法，供同學(xué)們參考.一、利用公共角例 1 如圖 1 , AB = AC, AE = AF.求證：/ B =Z C.分析：要

20、證明/ B =Z C,只需證明厶BOE COF或厶ABFACE.而由圖形可知/ A是公共角，又由 已知條件 AB = AC, AE = AF,所以 ABF ACE，于是問題獲證.二、利用對頂角（題目中的隱含條件）例2如圖2, B、E、F、D在同一直線上，AB = CD, BE = DF , AE = CF，連接 AC交BD于點O. 求證：AO = CO.分析：要證明 AO = CO,只需證明厶AOE COF或厶AOB COD即可.根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證 明.而由已知條件 AB = CD , BE = DF, AE = CF可直接證明 ABECDF，貝U有/ AEB =Z CFD , 進而有/

21、 AEO =Z CFO,再利用對頂角相等，即可證明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3, AB = CD, AC = BD .求證：/ B =Z C.分析：設(shè) AC與BD交于點 O,此時/ B與/ C分別在 AOB和厶DOC中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可 能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構(gòu)造另一對全等三角形.此時可以連接AD，那么 AD是厶ABD和厶DCA的公共邊，這樣可以證明厶 ABD DCA .四、利用相等線段中的公共部分例4如圖4, E、F是平行四邊形 ABCD的對角線 AC上的兩點，AF = CE.求證：BE / DF.分析：要證明 BE / DF,只需證明/

22、 BEC =Z DFA，此時可以轉(zhuǎn)換為證明/ AEB =Z CFD,進而證明厶AEBCFD.AC五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5，已知/ E = 30, AB = AD, AC = AE，/ BAE =Z DAC .求/ C 的度數(shù).分析：已知/ E = 30,要求/ C,可考慮證明 ABCA ADE,由/ BAE =Z DAC,結(jié)合圖形可知/ BAC = / DAE ,于是問題獲解.六、利用互余或互補角的性質(zhì)考點：同角或等角的余角相等例6如圖6，已知/ DCE = 90 , / DAC = 90, BE丄AC于B,且 DC = EC,能否找出與 AB+AD相 等的線段，并說明理由.分析：由于AC = AB+BC，可以猜想 AC = AB+AD,或BE = AB+AD，此時只需證明 AD = BC即可.而 事實上，用同角的余角相等可得到/DCA =