§13怎樣計算磁感應強度

1、3怎樣計算磁感應強度在穩(wěn)恒磁場中的磁感應強度，可用畢奧-沙伐爾定律和安培環(huán)路定律來求解。畢奧-沙伐爾定律在成塊中的地位，好像靜電場中的庫侖定律一樣，是很重要的。它是計算磁感應強度最普遍、最基本的方法。安培環(huán)路定律，是畢奧-沙伐爾定律的基礎(chǔ)上加上載流導線無限長等條件而推導出來的。困此，用安培環(huán)路定律遇到較大的限制。但是，有一些場合，應用安培環(huán)路定律往往給我們帶來不少方便。一、用畢奧-沙伐爾定律計算真空中有一電流元”,，在與它相距r處的地方所產(chǎn)生的磁感應強度dB，由畢奧-沙伐爾定律決定。呻dB% ld：一4二 r3dB垂直于dl式中，r是由電流元ld指向求B點的距離矢量。式 是矢量的矢積，故 與r

2、組成的平面，而且服從右手螺旋法則。真空的磁導率B是一個可疊加的物理量，因此，對于一段（彎曲的或直的）載流導線L所產(chǎn)生的B磁感 應強度為:呻4% Idl r34 L r1、基本題例在磁場的計算中，許多習題是載流直導線和圓弧導線不同組合而成的。因此，必須熟練掌握一段載流的長直導線和一段載流的圓弧導線的磁場的計算公式。圖2-13-1所示為一段長直載流導線，它的磁感應強度的計算公式為：B cos -cos二2 4二 a或：B cos - cos 4二 a 巴I當載流直導線“無限長”時，B 也2兀a半無限長時，B = %4運用時，應注意a是求B點到載流導線的垂直距離；辨認B與B的正負，請辨認圖2-13-

3、2中的3的正負。段載流圓弧，半徑為 R,在圓心0點的磁感應強度為:B -皿B0 一方向由右手螺旋法則決定。BQ2RBo窪4Rr亠 Ji當時,22、組合題例例1已知如圖2-13-3所示，求P點的磁感應強度。解法一由圖可見，此載流導線由兩根半無限長載流導線和一個半圓弧組成。兩根半無限長的載流導線在 P點產(chǎn)生的磁感應強度為:Bp1%2 2二 R載流半圓弧在P點產(chǎn)生的磁感應強度為發(fā):Bp2=2 2R2R故總的磁感應強度:Bp 二 Bp1Bp2解法二圖示載流導線也可以看成兩根無限長載流導線和一個載流圓環(huán)組成（如圖2-13-3）。將所 得結(jié)果除以2，即為題設(shè)答案。兩根無限長載流導線和一個載流圓環(huán)在P點所產(chǎn)

4、生的磁感應強度分別為 2%和,它們的和被2除,2jtR 2R即得與解法一相同的結(jié)果。例2赫姆霍茲線圈由兩個細的平面線圈組成（圖2-13-4）。a設(shè)半徑為a,其中心間的距離為。試求0點的磁感應2強度與OOi中點的磁感應強度，并將兩者的結(jié)果加以比較。分析0點的磁感應強度 Bo是由兩個線圈共同產(chǎn)生的，因此，可用疊加原理方便地求得。解設(shè)兩個線圈中的電流都是 i，則在O點產(chǎn)生的磁感應強度為:BiB2B2%ia2a22 、+a4丿Bo 二 BiB2%ia2總的磁感應強度為:32 L2 + a 2 a +4丿毎i衛(wèi)同理可得OQ中點的磁感應強度:2%ia2i= 0.9132 a216丿兩者的相對差值為:Bm

5、- BoBmP913-。.858 %0.913可見，環(huán)心OQ中點磁感應強度的大小是差不多的。2-13-5 所在磁感應強度的計算中，長直載流導線與載流圓弧組合而成的習題不少，如圖示。將各圖示情況中的O點之磁感應強度求出后，對于長直載流導 線與載流圓弧在 0點 產(chǎn)生的磁感應強度公 式就能熟練地掌握，對 疊加原理就能領(lǐng)會更深，對于合磁場方向的判斷能力也會大大地提高。例3載流I的方線圈，邊長為 2a。求其軸線上的磁感應強度的分布（圖2-13-6）分析當求B點P與載流導線平面或線圈不是共面時，為了容易建立空間概念，能較 順利地求解，必須按照題設(shè)條件仔細地作好圖。進而容易看出這個空間是由四個平面簡單組成的

6、。例如，長直載流導線AB與P共面，因而很容易用長直載流導線外一點B的計算，求得在P點的磁感應強度 Bab，又因為AB與CD關(guān)于Z軸對稱，因而不需要計算出BCD。 、亠 扌 彳H由于BC、DA載流在P點所產(chǎn)生的Bbc、Bda，在數(shù)值上與Bab相等，而方向只要用右手 法就很快可以確定。于是其實主要是如何求BaB的問題了。解首先計算載流導線 AB在軸線上產(chǎn)生的磁感應強度分布。對P點而言，有：BAb 二一丄 COS 1 - COS 24 ro式中ro - . a2 Z2, r = PAE, =PBF。在 pab中，由于PA=PB，故為等腰三角形，由此可得：-cos 2 =2cosaaa2 r0一 2a

7、2 zQ9COScosAEAP將r0、cos、代入Bab表達式，得:B 切一 /AB4二孑孑站7BaB的方向和PE、AB組成的平面相垂直（如圖2-13-6），它在z軸上的分量為:(Bab) z = Bab COS式中丫是BAB與軸線的夾角，由圖可知，它是和/PEO相等的，故有:COSOEro二 _az2BAB z、矽這個結(jié)果正確嗎？讓我們以特例來檢查一下：當. I 2a a2I時，BABzNaa.2a 4：a00。顯然這是正確的，可見上述如此冗長的表達式是正確的。方形線圈四條載流I的直線在P點產(chǎn)生的，兩兩互相對稱，故只剩下z軸方向分量是互相加強的，而且是相等的。% 81a2因此載流方線圈在軸上

8、的磁感應強度沿OZ 方向，其大小為：2 - z2廠4二 a2 z2 2aB =4 Bab 0 = % 力8|a2討論當zLI a時，B 匚彈,令幾=4la2,則B4 二 z34:z3,這表明在遠場的情況下，載流線圈的幾何形狀形狀已無關(guān)緊要。不管線圈是什么形狀,只要Pm相同，B的表達式都是相同的。3、關(guān)于積分變量的統(tǒng)一問題應用畢奧-沙伐爾定律解題時， 象長直帶電細線的電場強度計算一樣,常常會遇到積分號中包含幾個相關(guān)變量問題。這時必須將相關(guān)變量由統(tǒng)一變量表示，方能進行積分。積分變量 的統(tǒng)一原則，也是可以任意選擇的， 不管是否在積分號里面， 只要能統(tǒng)一就行。當然具體決擇時，看方便而定?，F(xiàn)以長載流導線

9、在 P點產(chǎn)生的磁感應強度計算為例，來說明怎樣統(tǒng)一積分變量，見圖2-13-7。長直載流導線上各點流元在 P點產(chǎn)生的磁感應強度：o IdzsinnCD 石 5積分號中Z、B、r三個都是變量。如選B做自變量，則:Z 二 rcos 二- -r cosr 二-acotra 介dz 2 drsin日將這些關(guān)系式代入式（1），并注意積分限為00 2,則：0 KIKIB一 sino cos-cosr2（2）r 4： a4 二 a如把z選作積分變量，其情況又如何呢？由圖可知:將這兩個關(guān)系式代入式（1），從Z1積分到Z2,得:B右a2z2丄啟dz其實，容易從圖2-10-5中得知:% la4:z2dz召3a22 z

10、TB0 sin ：2 sin4兀a當然也可以把r作為自變量，情況與上述相似。必須指出，不但可以把積分號包含的變量選作自變量，而且也可以選擇與r、B、z這三個量都有關(guān)的其它量，如 B作為自變量，有時這樣作還受到人們的歡迎。把B作為自變量時，由圖可知:sin j - cos -a2 sec2 :I0- sin j -sin總之，只要能將積分號里包含的幾個變量統(tǒng)一，可以任意選擇一個為自變量，而不管這 個變量是否包含在積分號中。當然，究竟選擇哪一個？要根據(jù)具體情況而定。、利用安培環(huán)路定律真空中的安培環(huán)路定律為：B 皐%、Ti它表明：B的環(huán)流是由閉合環(huán)路（俗稱安培環(huán)路兒中包圍的電流的代數(shù)和決定的。因此,

11、 它并不表明a h與環(huán)路上各點B的直接關(guān)系。但是，這并不妨礙安培環(huán)路定律在某些情況4下可以用來求環(huán)路上某點的磁感應強度B。已知電流的分布 7 |j，要用安培環(huán)路定律來求 B，必須要求7 I j所產(chǎn)生的磁場具有 定的性質(zhì)-作為待求的未知量B應能從B的積分號中提出來。L4因此，利用安培環(huán)路定律來求 B，關(guān)鍵在于“怎樣合理選取安培環(huán)路？”例如，載流環(huán)形螺線管的磁感應線形成一個個的同心圓，在每一圓形磁感應線上，B的r的點之磁感應強度 B,則大小處處相等，其方向處處與圓形相切。如要求管內(nèi)離開圓心為 可選擇以r為半徑的同心圓為安培環(huán)路。此時，根據(jù)安培環(huán)路定律得:B d；二 B2 rL根據(jù)安培環(huán)路定律有:2

12、二 rB 二 NI%NI2 二 rB = %nl式中I-螺線管中的電流N-螺線管的匝數(shù)。從這個例子，很容易提出一個問題：安培環(huán)路上B的大小各點B的大小都要相等，才能利用安培環(huán)路定律來求呢？不是的。例如長直密繞螺線管里中部的B（圖2-13-8）。我們選取abcda為安培環(huán)路。在 ab段。各4點的B沿著ab,且大小相同，bc da兩段，在管內(nèi)部分，B不等于零，但都與 bc或da相4 4一垂直，因此Bdl也都等于零，即對 B的環(huán)流沒有貢獻，至于管外部分，與cd段上的各點B一樣都為零。為什么等于零？我們可以通過 cd段上任意一點來觀察，從該點分別產(chǎn)生方向相反而大小相同的磁場，因而它的合磁場為零。根據(jù)安

13、培環(huán)路定律有:可見，要能用安培環(huán)路定律來求B，要選擇安培環(huán)路，必須使所求的B能從積分號中提(Bdl = (Bdl = J Bdl =B Jdl =BabLabababB ab 二 abn IB = % nl式中I-螺線管中的電流n-單位長度上線圈的匝數(shù)。出來。讓我們再看一例?！盁o限多”根“無限長”平行排列的導線組成電流片。當導線中各載電流I時，求該電流片旁某點P的B （圖2-13-9）。由于電流片在圖中具有橫向?qū)ΨQ性，與電流垂直的方向上的分量為零，所以在與電流片平行的方向上，B的方向如圖所示?，F(xiàn)取 abcda為安培環(huán)路。在be、 da上，各點B = 0,但與d垂直，故:bcBdladBdl =

14、0而在ab、 cd上，B都處處相等，其方向均與 dl平行，故:abBdl =.cdBdl 七ab利用安培環(huán)路定律有:例4試證明任何長度的沿軸向磁化的磁棒之中垂直面上側(cè)表面內(nèi)外兩點1、2的磁場強度 H! =H2(圖 2-13-10)。解利用安培環(huán)路定律求解。過磁棒中垂面上側(cè)表面內(nèi)外兩點1、2作一小的矩形回路abcd，使ab、cd和界面平行，使 bc=da“ 0。且把ab = cd取得足夠的小，以致 H在這個范圍中可以看成常數(shù)。由于對稱，在中垂面上,H只有與表面相切的分量。所以有:QHdl 二bc .一a Hdl b Hdl c Hdl d Hdld 1Hdl 0 Hdl 0 二 H丄HqL 二0

15、Lc式中L為ab、cd的長度，H1、H2是1、2兩點上H沿M方向的分量。由于垂直方向的分量等于零，所以，H“、H2即為1、2兩點的磁場強度。在界面上，傳導電流等于零。故據(jù)安培環(huán)路定律有:在介質(zhì)內(nèi):L呻彳jHdl =送 h =0 已1_-戰(zhàn)1_=0H H2B1 - % H1 MB2 = %H24 4(Hdlc4 4(Hdl4 4L24IL1在界質(zhì)外:其實，這是測量磁棒內(nèi)部磁場強度的一種方法。測得了H2，即可知道H。例5:電視顯像管的磁偏轉(zhuǎn)線圈套在管頸上，中間產(chǎn)生一個均勻磁場。磁偏轉(zhuǎn)線圈是繞在用磁性材料作成的內(nèi)徑為r的磁環(huán)上，AA處繞稀，BB,處繞得較密而且ABA與AB1A1兩半邊是反向繞制的。于是磁感應線就會形成如圖 2-13-11所示的分布。設(shè)磁芯的磁導率很大，即其中的磁阻可以忽略。 試證明：為了在管頸中能得到均勻的磁場， 磁環(huán)單位長度上線圈的匝數(shù)n應服從下述規(guī)律：nr 工 cost式中，B為從B點起算的方位角。解用安培環(huán)路定律證明：取一條磁感應線如圖 2-13-11所示的abca,它在空氣中的長度為 L2，在磁性材料中那一 部分的長度為L1，對此閉合回路應用安培環(huán)路定律，并考慮到單位長度的匝數(shù)n是變量,是0的函數(shù)