包含與排除(一)

1、包含與排除（包含與排除（一） 包含與排除問題也叫容斥原理。 “容”是容 納、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思， 從題目名稱上看， 比較抽象， 下面我們結(jié)合具體 實(shí)例來說明這種問題的思考方法?！镜湫屠}】例 1：如下圖，桌面上放著兩個(gè)正方形，求 蓋住桌面的面積。（單位：厘米）752 分析與解： 這是一個(gè)組合圖形，是由兩個(gè)正方形組成 的，中間重合部分是一個(gè)長(zhǎng)方形， 要想求出蓋住 桌面的面積，可以有三種不同方法： 方法一： 72 52 2 5 64（平方厘米） 方法二： 72 2 5 52 64（平方厘米） 方法三： 52 2 5 7 2 64（平方厘米） 答：蓋住桌面的面積是 64 平方厘米。

2、例 2：四（ 1）班同學(xué)中有 37 人喜歡打乒乓 球，26 人喜歡打羽毛球， 21 人既愛打乒乓球又 愛打羽毛球。 問全班喜歡打乒乓球或羽毛球活動(dòng) 的有多少人？分析與解：根據(jù)題意可畫圖如下？人此類問題畫集合圖比畫線段圖更直觀， 更形 象一些。方法一： 37 + 2621 = 42（人）方法二： 3721 + 26 = 42（人）方法三： 37 +（2621）= 42（人） 以上三種方法是緊密聯(lián)系的， 都是要從中減 去重疊部分， 可以從其中一部分中減去， 再與另 一部分合并，也可以從兩部分之和中減去重疊部 分。三種方法比較，你喜歡哪一種解法呢？ 我們根據(jù)以上兩個(gè)例題可以得出這樣的數(shù) 量關(guān)系：第一

3、部分 + 第二部分 重疊部分 = 兩 部分之和例 3：四年級(jí)一班在期末考試中， 語文得“優(yōu)” 的有 15 人，數(shù)學(xué)得“優(yōu)”的有 17 人，老師請(qǐng)得 “優(yōu)”的同學(xué)都站起來，數(shù)了數(shù)有 24 人。兩科 都得“優(yōu)”的有幾人？分析與解：根據(jù)“第一部分 + 第二部分 重疊部分= 兩部分之和”可以求出兩科都得 “優(yōu)”的人數(shù) 15 + 1724 = 8（人） 另外，從下圖中我們還能得出兩種不同方法24 人方法二： 17（2415）= 8（人）15（ 24 17） = 8（人） 答：兩科都得優(yōu)的有 8 人。例 4：圖新小學(xué)四年級(jí)二班有 24 人參加了 美術(shù)小組， 有 18 人參加了音樂小組， 其中 11人 兩個(gè)

4、小組都參加， 還有 5 人什么組都沒參加。 這 個(gè)班共有學(xué)生多少人？分析與解：這個(gè)題與例 2 相比，多了一個(gè)已知條件， 那 就是“有 5 個(gè)人什么組都沒參加”。如果按前面 的畫圖方式，這 5 人無法在圖上表示， 根據(jù)題意， 我們可以這樣畫圖。全班？人要求全班有多少人， 除了知道有 5 人什么組 都沒參加外，還要求出參加課外小組的有多少 人。24 + 1811 = 31（人）31 + 5 = 36（人）答：這個(gè)班共有學(xué)生 36 人。例 5：某班學(xué)生參加音樂組的有 11 人，參 加美術(shù)組的有 8 人，參加英語組的有 12 人，既 參加音樂組又參加美術(shù)組的有 5 人，既參加音樂 組又參加英語組的有

5、3 人，既參加美術(shù)組又參加 英語組的有 4人，三個(gè)組都參加的只有 1 人，問： 至少參加一個(gè)組的有多少人？分析與解：根據(jù)題意畫圖如下：如果我們把三個(gè)集合圈看成三張紙片， 參加 兩個(gè)組的部分是 2 層，參加三個(gè)組的部分是 3 層， 要求至少參加一個(gè)組的人數(shù)， 就是求三張紙片蓋 住桌面的大小， 因此要從三組人數(shù)之和中減去重 疊部分的人數(shù)11 + 8 + 1253 4 + 1 = 20（人）答：至少參加一個(gè)組的有 20 人?！灸M試題】（答題時(shí)間： 30 分鐘）1. 四年級(jí)三班訂閱少年文摘的有 19 人， 訂閱學(xué)與玩的有 24 人，兩種都訂的有 13人。 問訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有多少人？2. 幼兒

6、園有 58人學(xué)鋼琴， 43人學(xué)畫畫， 37 人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫， 問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的 分別有多少人？3. 1至 100 的自然數(shù)中：（1）是 2的倍數(shù)又是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少 個(gè)？（2）是 2的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少 個(gè)？（3）是 2的倍數(shù)但不是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多 少個(gè)？4. 某班數(shù)學(xué)、英語期中考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下： 英語得 100 分的有 12人，數(shù)學(xué)得 100分的有 10 人，兩門功課都得 100分的有 3 人，兩門功課都 未得 100分的有 26 人。這個(gè)班共有學(xué)生多少人？5. 全班 50 人，會(huì)騎車的有 32人，會(huì)滑旱冰 的有 21人，兩樣都會(huì)的有 8 人，求兩樣都不會(huì)

7、的有多少人？6. 一個(gè)班有學(xué)生 42 人，參加體育隊(duì)的有 30 人，參加文藝隊(duì)的有 25 人，并且每人至少參加 一個(gè)隊(duì)。這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有多少人？ 請(qǐng)做完之后再看答案！【試題答案】1. 四年級(jí)三班訂閱少年文摘的有 19 人， 訂閱學(xué)與玩的有 24 人，兩種都訂的有 13人。 問訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有多少人？19 + 2413 = 30（人） 答：訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有30 人。2. 幼兒園有 58 人學(xué)鋼琴， 43 人學(xué)畫畫， 37 人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫， 問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的 分別有多少人？只學(xué)鋼琴人數(shù)： 5837 = 21（人） 只學(xué)畫畫人數(shù)： 4337 = 6（人）3. 1至 10

8、0 的自然數(shù)中：（1）是 2 的倍數(shù)又是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少 個(gè)？既是 3 的倍數(shù)又是 2 的倍數(shù)，一定是 6 的倍 數(shù)1006 = 16 4所以，既是 2 的倍數(shù)又是 3 的倍數(shù)有 16 個(gè)（2）是 2 的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少 個(gè)？1002 = 50，1003 = 33 150 + 3316 = 67（個(gè)）所以，是 2 的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù)的數(shù)有 67個(gè)。（3）是 2的倍數(shù)但不是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多 少個(gè)？5016 = 34（個(gè)）答：是 2的倍數(shù)但不是 3 的倍數(shù)的數(shù)有 34 個(gè)。4. 某班數(shù)學(xué)、英語期中考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下： 英語得 100 分的有 12人，數(shù)學(xué)得 100分的有 10 人，兩門功課都得 100分的有 3 人，兩門功課都 未得 100分的有 26 人。這個(gè)班共有學(xué)生多少人？12 + 103 + 26 = 45（人） 答：這個(gè)班共有學(xué)生 45 人。5. 全班 50 人，會(huì)騎車的有 32人，會(huì)滑旱冰 的有 21人，兩樣都會(huì)的有 8 人，求兩樣都不會(huì) 的有多少人？50（