幾何學(xué)中積分的運(yùn)用探析

1、幾何學(xué)中積分的運(yùn)用探析摘要：積分學(xué)不僅是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而且是解決實(shí)際問題的有效方法之一。本文主要研究高等數(shù)學(xué)中各種積分在幾何上的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué); 積分; 幾何應(yīng)用;高等數(shù)學(xué)中的各種積分概念一般都是由幾何實(shí)例引出其一般的模型概念的1,2。有了積分概念之后，積分又可以用來求解幾何上的一些問題。本文主要研究各種積分在幾何上的應(yīng)用。在一元函數(shù)積分中，我們知道，如果所求量通過劃分、近似代替、求和、取極限過程表示為一類和式的極限，那么，這個(gè)量就可以用定積分表示，如。然后，把這種思想推廣到平面區(qū)域、空間區(qū)域、曲線或者曲面，函數(shù)推廣成二元函數(shù)、三元函數(shù)，就得到重積分、曲線積分和曲面積分。二重

2、積分為，三重積分為，曲線積分為，曲面積分為。這些積分都可以用來解決幾何上的實(shí)際問題。一、積分在幾何上的應(yīng)用(一)利用積分可以求平面圖形的面積1. 由定積分幾何意義可知，定積分可以求平面圖形面積例1求由曲線y=ln x與直線y=(e+1)-x和直線y=0所圍成的平面圖形面積。解：由定積分幾何意義可知平面圖形面積為2. 二重積分當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，表示的是平面積分區(qū)域的面積例2求由曲線y=x2-2與y=x所圍成的平面圖形的面積。解：求出兩個(gè)曲線的交點(diǎn)為(-1,-1),(2,2)，因此，圖形面積為(二)利用積分可以求空間立體的體積1. 由二重積分幾何意義知，二重積分可以求空間立體的體積例3求以曲面z=

3、x2y為頂，以平面區(qū)域D:0≤x≤1,0≤y≤1為底的曲頂柱體的體積。解：由定積分幾何意義可知曲頂柱體體積為2. 三重積分當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，表示的是空間積分區(qū)域的體積例4求有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面z=2-x2-y2與z=x2+y2所圍成的空間立體的體積。解：記兩個(gè)拋物面所圍成的空間立體為Ω，Ω在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy:x2+y2≤1，則體積為(三)利用積分可以求曲線的弧長(zhǎng)1. 若積分弧段為平面曲線弧，當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，表示平面曲線的弧長(zhǎng)例5計(jì)算星形曲線x=acos3t,y=asin3t的長(zhǎng)度。解：記星形曲線為L(zhǎng),L1為其在第一象限的部分，2.

4、 若積分弧段為空間曲線弧，當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，表示空間曲線的弧長(zhǎng)例6設(shè)Γ為螺旋線方程，為x=a cosθ，y=a sinθ，z=bθ，求其上相應(yīng)于t從0變到2π的曲線弧長(zhǎng)。解：空間曲線弧長(zhǎng)可表示為(四)利用積分可以求曲面塊的面積：若積分區(qū)域?yàn)榭臻g曲面時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，曲面積分表示曲面的面積例7求錐面z=被柱面z2=2x割下的部分的面積。解：記z=被柱面z2=2x割下的部分為Σ，在xoy面上投影區(qū)域?yàn)镈xy:x2+y2≤2x，則曲面面積為二、結(jié)論積分不僅可解決幾何問題，而且可以用來解其他的實(shí)際問題，如利用積分可求平面薄片的質(zhì)量以及空間物體的質(zhì)量，還可求立體的重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和物體之間的引力等。參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.