實數(shù)大小比較的常用方法教材

1、實數(shù)大小比較的常用方法【初二數(shù)學(xué)】添加時間：2012年11月23日 瀏覽：53次頓悟教育數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練營來自：頓悟教育網(wǎng)實數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，不少同學(xué)感到困難?！皩崝?shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好其他知識的基礎(chǔ)。 為幫助同學(xué)們掌握好這部分知識， 本講介紹幾 種比較實數(shù)大小的常用方法。一【差值比較法】差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個實數(shù)，先求出 a與b的差,再根據(jù)當(dāng)a b 0時，得到a b。當(dāng)a b 0時，得到a0 ,1 .2 1目?！旧讨当容^法】 商值比較法的基本思路是設(shè) a, b為任意兩個正實數(shù)， 先求出a與b得商。當(dāng)斤v 1時，av b;當(dāng)W 1時，ab;

2、當(dāng)h =1時，a=b。來比較a與b的大小。竹-1 1例2:比較 5 與5的大小。竹-1 11解：5 十 彳-1方時，a v b。來比較a與b的大小。例3：比較2001與.沁 加04的大小。 解 -,2期-7W4 + Y血3 , /IMS 2004 =)5 + -.WJ又顧 + ,碩 v 蘇 + -.WJ.麗,碩五麗四【平方法 】 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a0, b0時，可由 J /得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5：比較t 6與-.3l . j的大小又 8+2v 8+2五【估算法】 估算法的基本是思路是設(shè) a, b為任意兩個正實數(shù)，先估算出a

3、, b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取 值范圍，再進行比較。廂丿 1例4:比較 名 與8的大小価丿1解:/ 3vv 4 3v 1 .8v 8六【移動因式法】（穿墻術(shù)）移動因式法的基本是思路是，當(dāng)a 0, b 0,若要比較形如的大小，可先把根號外的因數(shù)a與c平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。例6:比較21與3 的大小解：T2,3O又 28 27,：.2 /I 3 J。七【取特值驗證法】比較兩個實數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。例7：當(dāng)0 1時，F(xiàn),丄，工的大小順序是1 1 1解：（特殊值法）取 丄=2工二片，丄=2。v 2 v 2,. C v 丄 v 丄。，貝U a、b、c、d按由小到大的順

4、例（常德市）設(shè) a= 2, b = （ 3） c = 1少，d = 序排列正確的是（A.c v av dv b B.b v dv av c C.a v cv dv b D.b v cv av d分析 可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小而四 v 1 v2v 9,，S卩F解 因為 a= 2= 1, b= ( 3)2= 9, c = 9 = 一 計八,d= 2,所以cv av d v b.故應(yīng)選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等 比較實數(shù)大小的方法。 對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。 能快速地取得令人 滿意的結(jié)果。比較實

5、數(shù)大小的八種方法張德軍生活中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：比較一個企業(yè)不同季度的產(chǎn)值，國家去年與前年的國民生產(chǎn)總值等實際問題的大小，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，就是比較兩個或多個實數(shù)的大小，比較實數(shù)大小的方法比較多，也比較靈活，現(xiàn)采擷幾種常用的方法供大家參考。一、法則法比較實數(shù)大小的法則是：正數(shù)都大于零，零大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)相比較，絕對值 大的反而小。例1比較-專與-空5的大小。析解：由于I 一朗=乩1 -、二吋5，且二. 5 ，所以一一、5。說明：利用法則比較實數(shù)的大小是最基本的方法，對于兩個負數(shù)的大小比較，可將它 轉(zhuǎn)化成正數(shù)進行比較。二、平方法2 2用平方法比較實數(shù)大小的依據(jù)是：對任意正實數(shù)a、b有

6、：aa .b。例2比較3 7與7 .3的大小。析解：由于（3-. 7）2 =63,（7、. 3）2 =147，而 63 147，所以 3、7：73。說明：本題也可以把外面的因數(shù)移到根號內(nèi)，通過比較被開方數(shù)大小來比較原數(shù)的大小，目的是把含有根號的無理數(shù)的大小比較實數(shù)轉(zhuǎn)化成有理數(shù)進行比較。三、數(shù)形結(jié)合方法用數(shù)形結(jié)合法比較實數(shù)大小的理論依據(jù)是：在同一數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。例3若有理數(shù)a、b、c對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖1所示，試比較a、一 a、b、一 b、c、c的大小。L二 _ _ JL .I _IL *b0 qc圖1析解：如圖2，利用相反數(shù)及對稱性，先在數(shù)軸上把數(shù)a、一

7、a、b、一 b、c、一 c表示的點畫出來，容易得到結(jié)論：- c : b ： -a : a ： -b : c.IIIIIt1-cba0a-bc四、估算法a、b，先估算出a、b兩數(shù)用估算法比較實數(shù)的大小的基本思路是：對任意兩個正實數(shù) 的取值范圍，再進行比較。12 -5、3、3例4比較 5 與3的大小。12 _5 332.4 _ 32.4 -1.80.6,0.6析解：由于2( 3 - . 2 一 4 -J10001 -、10000),100001 ：2( 一10001 - .2)2(100 -1.5)197,1000011 11 +亠+亠十+ ,198.所以 2. 3-10000兩個實數(shù)大小的比較，

8、 方法多種多樣，在實際操作時，根據(jù)要比較的數(shù)的特點來選擇適當(dāng) 的方法進行比較，才能方便快捷地取得準(zhǔn)確的結(jié)果。編輯本段1.數(shù)軸比較法數(shù)軸的基本性質(zhì)：實數(shù)與數(shù)軸上的點對應(yīng)。利用這條性質(zhì)，將實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的位置關(guān)系。設(shè)數(shù)軸的正方向指向右方，則數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)要大。如圖，點 A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b。因為點 A在點B的右邊，所以數(shù) a大于數(shù) b，即 ab.數(shù)軸編輯本段2.作差比較法若 a-b0，則 ab ；右 a-b=0，貝V a=b ；若 a-b0 ,則 a0 ,有若 a/b1，則 ab;若 a/b=1，則 a=b;若 a/b1，貝U ab。 當(dāng) b0 , a1,

9、貝U ab ;若 a/bb編輯本段4.倒數(shù)比較法若ab0，則1/a1/b;若ab1/b;若a0b，則1/a0, b0時，如果ab,那么-一。也就是說，兩個正數(shù),較大的正數(shù)的算術(shù)平方根也較大，其立方根也較大。反之也成立。例1、比較大?。海?）匚“ ；（2）； 0解析：若要比較形如丄上的兩數(shù)的大小，可先把根號外的因數(shù) a與c移入 根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。（1）因為破三找注三阿伐館二J5* x M 屎，且45 75，所以屆，因此，二0（2）因為2皓護曲N邁前二啪宀訴，且24 0,則-。在比較一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的大小時，常選用此式。例2、比較. 的大小。解析:、乘方法（平方法或立方法

10、）如果a0, b0,若：，那么ab；若廠=|；，那么ab。例 3、比較大?。海?）2）_ 匚+ J解析：（1）因為，而1218,所以-=門。（2）因為（A十涉尸=2哄2網(wǎng),（喬+征）2 = 20 + 2麗！ 而20 + 24 b；當(dāng)一時，得到ab；當(dāng)：-丨時，得到a=b。例5、比較的大小。解析：因為（-忑屈=掃-忑沁，所以 -翻泣-題六、作商法作商法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個正實數(shù)，先求出a與b的商卜，。當(dāng)卜51=1時，ab；當(dāng)丨 時，a=b。迢二1與例6比較的大小。V3-1 . 1_ 存V3-1 J解析：因為：，所以：仁七、放縮法（中間值法）如果ac， cb，那么ab。若通過放縮能夠確

11、定兩個實數(shù)中的一個比某個數(shù)小， 而另一個恰好比該數(shù)大時，可選用此法。例7、比較川、匚-的大小。解析：因為倔 弋礫口9，所以皿+ 2乜。所以 Jl U + 2 U 6 V J（i5 2 即 JlO 十 2 V -7（j5 2八、不等式性質(zhì)法例8、比較大?。哄瞸 1 o解析：因為 ，所以_-，因此_ 丁 。九、特殊值法在解決含有字母的選擇題或填空題時， 常?？梢圆捎锰厥庵捣?，這樣能夠比較快 捷地得到答案。旳=|蠶LN =|件P =兇=阿例9、已知xy0,設(shè)2，則M N、P、Q的大小關(guān)系是（）。A MvQvPvNBMPQNCQNPM、NQvPMP = 2 q = 2解析：根據(jù)條件，不妨設(shè)，則m=4

12、N=1, 亍 。不難得到：NQP。因此，應(yīng)選 Do十、數(shù)軸比較法數(shù)軸上的點與實數(shù)成對應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上的靠右邊的點表示的數(shù)大于靠左邊的點表示的數(shù)。例10、已知a、b是實數(shù)，且1 - J -。試比較a，b， a， b的大小關(guān)系。解析：因為r汗；m!，故可將a、b兩數(shù)在數(shù)軸上表示出來，如圖1。又 因為a與與 互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，a與-，= 在數(shù)軸 上可表示為圖2。所以 m 的大小關(guān)系是 7門十一、法則比較法正數(shù)大于0, 0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)。兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個 負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而較小。例11、已知a b是實數(shù)，且aOb, c工0,試比較:匚的大小。解析：因為a0，

13、則ab0,所以十，為正數(shù)。所以 十二、根式定義法該法適用于二次根式和三次根式的大小比較。例12、比較廣-丿的大小。解析：根據(jù)平方根的定義可知 jdU。所以, 1 , 故牡心呵L。而a 0?所以J 牯-3O十三、倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)-，再根據(jù)當(dāng)時，abc B、acb C、cba D、bca解析：當(dāng)幾個式子中的被開方數(shù)的差相等且式子中的運算符號相同時，可選用倒數(shù)法。首先,1_ I _2+V3b 2 - 71 (2- 75)(2+75)1=1_ 岳 + 2c V5 - 2 (75 - 2)( + 2)因為二，所以1 11，則bc。又因為：，所以廠

14、，則ab。由此可 得：abc。故選A。十四、分子有理化法例14、比較I K的大小。嗣 仁.麗-4(Q7-4)(717 +4)解析： A jrv 斗-Tiy (4 - -715)(4 4-14-45 = - =時= 77因為 + 4 a/TS +馬，故-JlT + 4 4 + ，所以- 4 V 4 JT?？傊?，具體使用什么方法來進行比較，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目所給的實數(shù)的類型或形式靈 活選用。實數(shù)大小的比較方法安徽省長豐縣錢集中學(xué) 楊明星在實數(shù)范圍內(nèi)比較兩個數(shù)的大小， 看起來比較簡單。但也有一些 題目會讓大家比較棘手。我在多年的教育教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，比較兩個實數(shù) 的大小可用一些特殊的方法做起來比較容易。 下面介

15、紹幾種比較兩個 實數(shù)大小的方法，供大家參考。一、求差法例1 :比較與 的大小。分析：由于本題的分母相同，所以只要比較1與 -2的大小。解 T 1- (-2 )=1- +2=3- 0。( 3=，) 1 -2，/. 。說明：若 a、b 為實數(shù)，a-b 0 則 a b; a-b=O 則 a=b; a-bv 0則a 1時，ab. = 1時，a=b. V 1 時, aV b. ）以后我們做題遇到兩數(shù)相除時可以和 1 比較出 大小,或約分后可以和 1 比較出大小時,可用這樣的方法。三、倒數(shù)法的大小例 3：比較分析：對于二次根式，我們可以很容易看出 + 。因此只要把二次根式的差轉(zhuǎn)化為和就可以了解又說明：兩個

16、同分子分數(shù)比較大小，分母大的分數(shù)的值反而小。我們以后在解題時遇到求兩個二次根式差的此類問題時可用倒數(shù)的方 法。四、平方法例 4：比較與 的大小。分析：本題我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)題目中的被開方數(shù)存在這樣的 規(guī)律： 2+6=8，3+5=8.所以想到用平方來解決問題。解 V=2+6=8+=3+ +5=8+說明：以后當(dāng)我們遇到能通過平方使問題化繁為簡時， 我們就采 用上述方法。五、“相同”法例 5：比較與 的大小。分析：本題的兩個數(shù)都是冪的形式， 只要把它們化為同底數(shù)的冪 或同指數(shù)的冪就可以比較出大小了。解T =,= = 。二 V ,/.V 。說明：做題時若遇到比較兩個冪的形式的數(shù)的大小時， 就把它們

17、化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪形式。六、中間值法例 6、比較與 的大小。分析：本題出現(xiàn)一個平方根，一個立方根，初看并不容易解決。 進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)它們都和 3 存在一定的聯(lián)系。因為 3= 和 3= 。解T V , 與又t =3=Vo說明：當(dāng)我們遇到兩個數(shù)無法直接比較時， 尋找一個與他們都有 聯(lián)系的數(shù)，利用傳遞性來解決問題。七、規(guī)律法例 7：比較與 的大小。分析：當(dāng)nv 3時 v整數(shù))。解 T 2009 3;當(dāng)n3時 (n為正/.八、拆項法例 8：若 A= ，B=比較 A、B 的大小。分析：本題如果顯然不是很好的方法，也不易比較。但是我們通 過觀察可以發(fā)現(xiàn)這 4 個分數(shù)都與 1 比較接近，因此可以

18、把每個分數(shù)拆 成兩個數(shù)的差。解 t A= -=11OB= -=1- 1v 2009X 2010 2008X 2009。/.v Av Bo從以上幾例可以看出，實數(shù)的大小比較應(yīng)根據(jù)題目的類型特點靈 活運用。希望大家能夠從以上例題的學(xué)習(xí)中有所收獲。 更希望大家在 解題時能注意知識的積累。實數(shù)比較大小的基本方法與技巧發(fā)布者： 高元就 發(fā)布時間：2011-7-18 11:30:06在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際中，我們經(jīng)常會遇到比較兩個或幾個數(shù)的大小。怎樣比較實數(shù)與實數(shù)之間的大小呢？比較兩個實數(shù)的大小通常有以下幾種方法：一、求差法求差法設(shè)a，b為任意兩個實數(shù)，先求出 a與b的差，再根據(jù)“當(dāng)a-b0時，a0時，ab

19、.來比較a與b的大小.例1.比較大?。号c；(2)1-與1-解： v =0,/ 1- 1-二、求商法求商法一一設(shè)a，b為任意正兩個實數(shù)，先求出a與b的商，再根據(jù)“當(dāng)1時，a1時，ab.來比較a與b的大小.例2 比較大?。?1)與；解：(1) v - =-11，二 .三、倒數(shù)法倒數(shù)法一一設(shè)a，b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)“當(dāng) b；當(dāng) 時，ab.來比較a與b的大小.例3 .比較與的大小.解：v =,=,又v ,四、估算法估算法設(shè) a，b 為任意兩個正實數(shù)，先估算出 a, b 兩數(shù)或兩數(shù)中某部份的取值范圍， 再進行比較 . 例 4比較大?。?(1) 與 ； (2) +3 與 4解

20、：(1) V 3 4,/. -31,/. V.(2)/-4 v-5,/ -1 +3-2 ; 又 V -6 -7,/ -24 4.五、平方法平方法一一比較含有無理數(shù)的式子的大小時，先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)“在a0, b0時，可由a2b2得到ab”比較大小.也就是說，兩個正數(shù)比較大小時，如果一個數(shù)的平方比另一個數(shù)的平 方大，則這個數(shù)大于另一個數(shù)。例 5. 比較與的大小 .解：v()2=45，() 2=75 ,又V4575, / 0, b0時，若要比較形如與的兩數(shù)的大小，可先把根號外的正因數(shù)a與c平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。例 6. 比較與的大小 .解：V =，=, 又

21、 V 4575,.七、近似值法在比較含有無理數(shù)的兩個數(shù)的大小時， 也可以先用計算器求出它們的近似值， 不過取它們的近似值時， 要保持精確度相同，再通過比較有理數(shù)的大小，即比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。例7.比較大?。?1)員與；(2)員與；(3)與-4.解：(1) V 貝3.142，v 3.162，二貝 .(2) V 貝3.1416，v 3.1629，二貝 -0.6834,/ -4.兩個實數(shù)的大小比較，形式有多種多樣，只要我們在實際操作時，有選擇性地靈活運用上述方法，一定能 方便快捷地取得令人滿意的結(jié)果。實數(shù)比較大小的基本方法與技巧口訣法比較有理數(shù)大小 有理數(shù)大小的比較是我們中學(xué)

22、階段必須掌握的知識點， 方法比較多， 七年級階段主要有以下 幾種：數(shù)軸顯示法、 數(shù)性比較法、 逐差法、同負絕對值法、 倒數(shù)法、 逐商法、湊整余數(shù)法、 同母(子) 法、賦值法、中間值法等。可簡記為： 比較數(shù)大小， 數(shù)軸顯真招； 正數(shù)比 0 大，負數(shù)比 0 ??； 也可互相減， 與 0 來比高； 同負絕對值，值大數(shù)反??；同號放倒他，扶正反過來好；姓同來相除，與 1 來比較；分數(shù)接 近整，湊余比較它；分母或子像，比較另一樣；代幾特殊值，初步能確定；還是判不了，就 把中人找?，F(xiàn)針對上述幾種方法各舉一例，供同學(xué)們參考。1、數(shù)軸顯示法(比較數(shù)大小，數(shù)軸顯真招)例 1：如圖，把 0，a,b,-a,-b 按順序由小到大排列 分析：互為相反數(shù)(非 0)的兩點在原點異側(cè)到原點的距離相等。在數(shù)軸上畫出表示-a,-b 的點，在數(shù)軸上從左到右，數(shù)由小到大。答: -b a 0 -a b2、數(shù)性比較法(正數(shù)比 0 大，負數(shù)比 0 小)例2：52比較-（+ 9 ）和卜3|的大小93解：-/5- 5