平面向量測(cè)試1蘇教4

1、平面向量、選擇題：1在 ABC中, a 5,b 8,C 60 ,則BC CA的值為 （ ）A 20 B 20 C 20 3 D 20 3 錯(cuò)誤分析:錯(cuò)誤認(rèn)為 BC,CA C 60 ,從而出錯(cuò) .答案 : B略解 : 由題意可知 BC,CA 120 ,1 故BC CA= BC CA cos BC,CA 5 8 20.22關(guān)于非零向量 a 和 b ，有下列四個(gè)命題：（1）“ abab ”的充要條件是“ a和b 的方向相同”；（2）“ abab ” 的充要條件是“a和b 的方向相反”；（3）“ abab ” 的充要條件是“a和b 有相等的?！?；（4）“ abab ” 的充要條件是“a和b 的方向相同

2、”；其中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A 1 B 2 C 3 D 4 錯(cuò)誤分析 : 對(duì)不等式 a b a b a b 的認(rèn)識(shí)不清 . 答案 : B.3已知 O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 O（0,0） ，A（3，0），B（0，3），是 P線段 AB 上且 AP=t AB （0 t 1）則OAOP 的最大值為 （ ）A 3B6C9D12正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng) OPcos 最大時(shí)，OA OP 即為最大。4若向量 a =（cos ,sin ） ， b= cos ,sin ， a與b 不共線，則 a與b一 定滿足（ ）A a與b 的夾角等于 -BabC（ a+b） （ a- b）D

3、ab正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生不能把 a 、b 的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn)，用 四邊形法則來(lái)處理問(wèn)題。5已知向量 a =(2cos ，2sin )， ( , )， b =(0,-1) ，則 a與 b 的夾角 為( )A 2 -B +C -D3 2 2正確答案： A 錯(cuò)因：學(xué)生忽略考慮 a 與 b夾角的取值范圍在 0 ， 。6 O 為平 面 上的 定點(diǎn)， A、 B、C 是 平面上 不共 線 的三 點(diǎn) ，若 ( OB- OC)(OB+OC-2 OA )=0 ，則 ABC是()A以 AB為底邊的等腰三角形B以 BC為底邊的等腰三角形C以 AB為斜邊的直角三角形D以 BC為斜邊的直角三角形正確答案：

4、B 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)題中給出向量關(guān)系式不能轉(zhuǎn)化：2OA 不能拆成( OA+OA) 。7已知向量 M= a a =(1,2)+ (3,4)R， N= a a =(-2,2)+ (4,5)R ，則 M N=( )A ( 1， 2) B (1,2),( 2, 2) C ( 2, 2) D 正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生看不懂題意，對(duì)題意理解錯(cuò)誤。8已知 k Z ， AB (k,1),AC (2,4) ，若 AB10 ，則 ABC是直角三角形的概率是( CA 17分析：由 AB 10及k Z 知k 3, 2, 1,0,1 ,2,3 ，若AB (k,1)與AC (2,4)垂直，則2k 3 0 k 2；若BC A

5、B AC k ( 2, 3)與 AB (k,1)垂直，則 k2 2k 3 0 k 1或3 ，所以 ABC是直角三角形的概率是 3 .79設(shè) a0為單位向量，( 1)若 a為平面內(nèi)的某個(gè)向量， 則 a=|a|a0;(2)若 a與 a0平行，則 a=|a|a0； (3)若 a與 a0平行且 |a|=1，則 a=a0。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3 正確答案： D。 錯(cuò)誤原因：向量的概念較多，且容易混淆，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。10已知| a|=3,|b|=5 ，如果 ab，則 ab=。正確答案：。 15。錯(cuò)誤原因：容易忽視平行向量的概念。 a、b的夾

6、角為 0、 180。11 O 是平面上一定點(diǎn) ,A,B,C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn) , 動(dòng)點(diǎn) P 滿足AB ACOP OA ( ), 0, ),則 P的軌跡一定通過(guò) ABC的( ) | AB | | AC |(A) 外心 (B) 內(nèi)心 (C) 重心 (D) 垂心 正確答案： B。ABACAB錯(cuò)誤原因：對(duì)OP OA ( AB AC ), 0, ) 理解不夠。不清楚 AB |AB | | AC |AB |ACAC 與 BAC的角平分線有關(guān)。| AC |12 如 果 a b a c,且a 0 ， 那 么 （ ）Ab c B b c C b c D b,c在 a 方向上的投影相正確答案： D。 錯(cuò)誤原

7、因：對(duì)向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。13向量 AB （3，4）按向量 a=（1,2） 平移后為 （ ） A、（ 4， 6） B 、（2，2） C 、（ 3，4） D 、（ 3， 8） 正確答案： C錯(cuò)因：向量平移不改變。14已知向量 OB （2,0）, OC （2,2）, CA （ 2 cosa, 2sin a）則向量 OA,OB的夾角范圍是（ ）A、/12，5/12B、0，/4 C 、/4，5/12 D 、 5/12 ，/2正確答案： A錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。15將函數(shù) y=2x 的圖象按向量 a 平移后得到 y=2x+6的圖象，給出以下四個(gè)命題： a的坐標(biāo)可以是（ -3，0） a

8、的坐標(biāo)可以是（ -3 ，0）和（ 0， 6） a的坐 標(biāo)可以是（ 0，6） a的坐標(biāo)可 以有無(wú)數(shù) 種情況，其 中真命 題的個(gè)數(shù)是 （）A、1B 、 2 C、3正確答案： D錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合或不懂得問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。16 過(guò) ABC 的 重 心 作 一 直 線 分 別 交 AB,AC 于 D,E, 若 AD xAB,11AE yAC,（ xy 0）, 則 1 1 的值為（ ）xyA 4 B 3 C 2 D 1正確答案： A 錯(cuò)因：不注意運(yùn)用特殊情況快速得到答案。17設(shè)平面向量 a =（ 2，1） ，b=（，1），若 a與b的夾角為鈍角，則 的取值范圍是( )1A、 ( 1,2) (2, )21C、

9、 ( , )2 答案：A、 (2, )點(diǎn)評(píng)：易誤選 C，錯(cuò)因：忽視 a 與b反向的情況。18設(shè) a=（x1，y1） ， b=（x2，y2） ，則下列 a與 b共線的充要條件的有（） 存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使a = b或b = a ； | ab|=| a| | b| ； x1 y1 ； ( a +b )/( x2 y2ab)A、1 個(gè)B、2個(gè)C、3 個(gè)D、4個(gè)答案：C點(diǎn)評(píng)：正確，易錯(cuò)選 D。19以原點(diǎn) O及點(diǎn) A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，使 A 90 ，則 AB的坐標(biāo)為（ ）。A、（2，-5 ）C 、（ -2，5） 正解： BB、（ -2 ，5）或（ 2，-5）D、（ 7，-3 ）或（ 3

10、，7）設(shè) AB (x, y) ，則由| OA | | AB |52 22x2 y2 而又由 OA AB得 5x 2y 0 由聯(lián)立得 x 2,y 5或x 2, y 5AB (2, 5)或( 2，5)誤解： 公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解)條件20設(shè)向量 a (x1 , y1), b (x2,y2) ，則 x1 y1 是a/b的( x2 y2、必要不充分、既不充分也不必要A、充要BC 、充分不必要 D 正解：C若 x1 y1 則x1y2 x2y1 0, a / b ，若a / b，有可能 x2或y2為 0，故選 x2 y2誤解： a / b x1y2 x2y1 0 x1 y1 ，此式是否成立

11、，未考慮，選 A。 x2 y221在 OAB中，OA (2cos ,2sin ),OB (5cos ,5sin )，若OA OB 5=-5，則S OAB=(53A、 3 B 正解： D。OA OB5|OA| |OB| cosV5(LV為OA與OB 的夾角)cosV 52cos 2 (2sin )2 (5cos )2 5sin 2誤解：C。將面積公式記錯(cuò)，誤記為 S OAB |OA| |OB| sinV cosV1sinV 3 S OAB 1|OA| |OB| sinV 5 32 2 2 222在 ABC 中， AB a，BC b，有 a b 0，則 ABC 的形狀是(D) A、銳角三角形 B

12、、直角三角形 C 、鈍角三角形 D 、不能確定 錯(cuò)解：C錯(cuò)因：忽視 a b 0中 a與b的夾角是 ABC 的補(bǔ)角 正解： D23設(shè)平面向量 a ( 2,1)，b ( , 1)，( R) ，若 a與b 的夾角為鈍角，則 的取 值范圍是(A)1 11A、（ ，2） （2， ） B 、（2，+ ） C 、（ ， ） D 、（- ， ）2 22錯(cuò)解：C錯(cuò)因：忽視使用 a b 0 時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況正解： A24已知 A（3，7），B（5，2），向量 AB按a （1，2） 平移后所得向量是。A 、（2，-5 ）， B 、（ 3， -3 ）， C 、（ 1，-7 ） D 、以上都不是 答案：A

13、 錯(cuò)解：B錯(cuò)因：將向量平移當(dāng)作點(diǎn)平移。25已知 ABC中 AB BC 0,則 ABC 中，。A 、銳角三角形 B 、直角三角形 C 、鈍角三角形 D 、不能確 定答案：C錯(cuò)解：A或D 錯(cuò)因：對(duì)向量夾角定義理解不清26正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為 1，設(shè) AB a,BC b, AC c，那么 a b b c c a 的 值是 （）A、 23B、 12C 、 32D 、 12正確答案： （B） 錯(cuò)誤原因：不認(rèn)真審題，且對(duì)向量的數(shù)量積及兩個(gè)向量的夾角的定義模糊不清。27 已 知 a c b c a b c 0 ， 且 a和 b不 垂 直， 則 a b與 a b c （）A、相等B 、方向相同 C 、方向

14、相反 D 、方向相同或相反正確答案： （D）錯(cuò)誤原因：受已知條件的影響，不去認(rèn)真思考 a b 可正可負(fù)，易選成 B。28已知 a x2 b x c 0 是關(guān)于x 的一元二次方程，其中 a,b,c 是非零向量，向量a和b共線，則該方程（A、C、至多有一根、有無(wú)數(shù)個(gè)互不相同的根）至少有一根有兩個(gè)不等的根 正確答案： （B） 錯(cuò)誤原因：找不到解題思路。29設(shè) a,b,c 是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個(gè)命題： (a b) c c a b 0 a b a b b c a c a b不與c垂直若a b,則a b與c不平行其中正確命題的個(gè)數(shù)是() A、1個(gè) B 、2個(gè)C 、3個(gè)D、4 個(gè)正確答案：

15、 (B) 錯(cuò)誤原因：本題所述問(wèn)題不能全部搞清。二填空題：1若向量 a= x,2x ，b= 3x,2 ，且 a ， b的夾角為鈍角，則 x的取值范圍 是.錯(cuò)誤分析：只由 a,b的夾角為鈍角得到 a b 0,而忽視了 a b 0 不是 a,b夾 角為鈍角的充要條件 ,因?yàn)閍,b的夾角為180 時(shí)也有 a b 0,從而擴(kuò)大 x的范圍, 導(dǎo)致錯(cuò)誤 .正確解法 : a，b 的夾角為鈍角 ,a b x 3x 2x 2 3x化為關(guān)于 cosx的二次函數(shù)在 0,1 的最值問(wèn)題 , 不知對(duì)對(duì)稱軸 4x 0解得 x 0 或 x 4 (1)31又由a,b 共線且反向可得 x 1 (2)3由(1),(2) 得 x 的

16、范圍是, 1 1,04,333答案:, 1 1,04,.3332有兩個(gè)向量 e1 (1,0) ， e2 (0,1) ，今有動(dòng)點(diǎn) P，從 P0( 1,2)開(kāi)始沿著與向量 e1 e2 相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為 |e1 e2 |；另一動(dòng)點(diǎn) Q，從Q0( 2, 1)開(kāi)始沿著 與向量 3e1 2e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)， 速度為 |3e1 2e2 |設(shè)P 、Q在時(shí)刻 t 0 秒時(shí)分別在 P0 、 Q0處，則當(dāng) PQ P0Q0時(shí)， t秒正確答案： 2薛中)1、設(shè)平面向量 a ( 2,1),b ( , 1),若a與b的夾角是鈍角， 則 的范圍答案：1( ,2) (2, )2錯(cuò)解：1 ( , )2

17、錯(cuò)因：“ a b 0”與“ a和b的夾角為鈍角”不是充要條件。3 a,b 是任意向量，給出：1 a b,2 a b ，3 a與b 方向相反，4是a與b 共線的充分不必a 0或b 0,5 a,b 都是單位向量，其中 要條件。錯(cuò)因：忽略 0 方向的任意性，從而漏選。4若a 2,3,b 4,7 ,a c 0,則c在b方向上的投影為正確答案： 65 5 錯(cuò)誤原因：投影的概念不清楚。5已知 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， om 1,1 , nm 5,5 ,集合 A or| rn 2 , op, oq A, 且 mp mq R,且 0 ，則 mp mq 。 正確答案： 46錯(cuò)誤原因：看不懂題意，未曾想到數(shù)形結(jié)合的思想。

18、三、解答題：1已知向量a cos3x,sin3x ,b cosx, sinx ,且x2 2 2 2(1) a b 及 a b ; 3(2) 若 f x a b 2 a b 的最小值是 3 , 求實(shí)數(shù) 的值.2增加難度 ;(2)錯(cuò)誤分析 :(1) 求出 a b = 2 2cos2x 后, 而不知進(jìn)一步化為 2cosx, 人為 *方程討論 .答案: (1) 易求 a b cos2x , a b =2cosx ;(2)2f x a b 2 a b =cos2x 2 2cosx=2cos x 4 cosx 12 cosx2 2 2 1cosx 0,1從而:當(dāng)0時(shí), f x min 1 與題意矛盾 ,

19、0 不合題意;當(dāng) 0 1時(shí), f x min 2 1 3,1 ;22 當(dāng) 1時(shí), f x min 1 43, 解得5 , 不滿足min 2 81; 綜合可得: 實(shí)數(shù) 的值為 1.22在 ABC中,已知 AB 2,3,AC 1,k ,且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角 ,求實(shí)數(shù) k 的值.錯(cuò)誤分析 : 是自以為是 ,憑直覺(jué)認(rèn)為某個(gè)角度是直角 , 而忽視對(duì)諸情況的討 論.答案: (1) 若 BAC 90 ,即 AB AC,2 故 AB AC 0, 從而 2 3k 0, 解得 k;3(2) 若 BCA 90 , 即 BC AC , 也 就 是 BC AC 0 , 而B(niǎo)C AC AB 1,k 3 , 故 1

20、k k 3 0 , 解 得3 13 k 3 213 ;(3) 若 ABC 90 , 即 BC AB , 也 就 是 BC AB 0, 而 11BC 1,k 3 ,故 2 3k 3 0,解得 k 11.3 綜合上面討論可知 , k2或k 3 13 或 k 11.3233已知向量 m=(1,1) ，向量 n 與向量 m夾角為 3 ，且 m n =-1 ，4(1) 求向量 n ；(2) 若向量 n與向量 q =(1,0) 的夾角為 ，向量 p =(cosA,2cos 2c )，其中 A、C為22ABC的內(nèi)角，且 A、B、C依次成等差數(shù)列，試求 n + p 的取值范圍。解：(1) 設(shè) n =(x,y)

21、則由=3 得： cos= m n =x y =2得n q=0若n =(1,0) 則 n q=-1 0故 n (-1,0) n =(0,-1)2B=A+C，A+B+C= m n 4 m n m n 2 x2 y22由m n=-1 得 x+y=-1 聯(lián)立兩式得x0或y1x1y0n =(0,-1)或(-1,0)B=3C=23 A2cn + p =(cosA,2cos1)2c=(cosA,cosC) n + p = cos2 A cos2 C =1 cos2A 1 cos2C = cos2A cos2C 1cos2A cos( 2A)312cos2A 3cos2A sin2A2 2 1213 cos2

22、A sin2A2 2 12cos(2 A )3120A2302A432A 53 3 3 -1cos(2A+ )042當(dāng) m0時(shí)， 2mcos2 0，即 f( a b )f( c d )當(dāng) m0時(shí)， 2mcos2 0，即 f( a b )f( c d )5已知 A、 B、 C為 ABC的內(nèi)角，且 f(A 、B)=sin 22A+cos22B- 3 sin2A-cos2B+2(1) 當(dāng) f(A 、B) 取最小值時(shí)，求 C(2) 當(dāng) A+B= 時(shí)，將函數(shù) f(A 、B)按向量 p 平移后得到函數(shù) f(A)=2cos2A 求 p 2解： (1) f(A 、B)=(sin 22A- 3 sin2A+ 3

23、 )+(cos 22B-cos2B+1 )+1 44=(sin2A-3 ) 2+(sin2B- 1 ) 2+122當(dāng) sin2A= 3 ,sin2B= 1 時(shí)取得最小值，22A=30 或 60 ，2B=60 或 120 C=180 -B-A=120 或 90(2) f(A、B)=sin 22A+cos22( 2 A)- 3sin2A cos2(2 A) 2sin2 2A cos2 2A 3sin2A cos2A 22 cos(2 A ) 3 2cos(2A 3) 333p =( 2k ,3)36已知向量 a (mx2, 1),b ( 1 , x)(m為常數(shù))，且 a, b 不共線，若向量 a, b mx 1的夾角落 為銳角，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍 .解：要滿足 為銳角只須 a b 0 且 a b ( R )2mxa b = xmx 122 = mx mx xmx 1mx 1x (mx-1) 0 當(dāng) m 0 時(shí)1x0 或 x m2m0時(shí)x ( -mx+1) 0x