平面簡諧波的描述

1、1 第第2章章 波波 動動 1 平面簡諧波的描述平面簡諧波的描述 2 波的能量波的能量 3 惠更斯原理惠更斯原理 4 波的疊加波的疊加 5 駐波駐波 6 群速度群速度 7 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 2 1 平面簡諧波的描述平面簡諧波的描述 一、波的產(chǎn)生一、波的產(chǎn)生 二、波面二、波面 波射線波射線 三、平面三、平面 s.h.w.的傳播的傳播 四、平面四、平面 s.h.w.的表達式的表達式 五、平面五、平面 s.h.w.的復(fù)數(shù)表示法的復(fù)數(shù)表示法 六、波動方程六、波動方程 3 一、波的產(chǎn)生一、波的產(chǎn)生 1. 機械波產(chǎn)生的條件機械波產(chǎn)生的條件 振源振源 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì) a 真空真空 2. 電磁波電磁波

2、只需振源只需振源 可在真空中傳播可在真空中傳播 3. 物質(zhì)波物質(zhì)波 物質(zhì)的固有性質(zhì)物質(zhì)的固有性質(zhì) 振源振源a振動通過振動通過 彈性力傳播開去彈性力傳播開去 機械波的傳播機械波的傳播 4 二、二、 波面波面 波射線波射線 1. 橫波橫波 縱波縱波 橫波：橫波：各振動方向與波傳播方向垂直各振動方向與波傳播方向垂直 縱波：縱波：各振動方向與波傳播方向一致各振動方向與波傳播方向一致 x 橫波橫波 縱波縱波 u 5 水表面的波水表面的波 既非橫波又既非橫波又 非縱波非縱波 波速波速 6 x 波形圖：波形圖： 某時刻某時刻 各點振動的位移各點振動的位移 (廣義：任一物理量廣義：任一物理量) 與相應(yīng)的平衡位

3、置與相應(yīng)的平衡位置坐標(biāo)坐標(biāo) x 的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線 u 某時刻某時刻 思考：思考：上述波形圖表示的波一定是橫波嗎？上述波形圖表示的波一定是橫波嗎？ 7 2. .波面波面 波射線：波射線：波傳播的方向射線波傳播的方向射線 波面：波面：某時刻某時刻 同同一波源向外一波源向外 傳播的波到達的各傳播的波到達的各空間點空間點連成的連成的面面 波陣面波陣面 波面波面 8 在各向同性介質(zhì)中在各向同性介質(zhì)中 點源：點源：波面是球面波面是球面 所以稱為所以稱為球面波球面波 線源：線源：波面是柱面波面是柱面 所以稱為所以稱為柱面波柱面波 面源：面源：波面是平面波面是平面 所以稱為所以稱為平面波平面波 球面波球面

4、波 柱面波柱面波平面波平面波 9 能量能量 在各向同性介質(zhì)中在各向同性介質(zhì)中 球面波球面波 柱面波柱面波 平面波平面波 1) )波面與波射線的關(guān)系：波射線垂直波面波面與波射線的關(guān)系：波射線垂直波面 2) )波射線是波的能量傳播方向波射線是波的能量傳播方向 3) )平面波是最理想的波（一維問題平面波是最理想的波（一維問題 能量不發(fā)散）能量不發(fā)散） 10 三、平面三、平面 s h w 的傳播的傳播 平面平面: : 波面是平面波面是平面( (一維、能量不損失一維、能量不損失) ) s h w : : 各點均作簡諧振動各點均作簡諧振動 以繩上橫波為例以繩上橫波為例 說明波的傳播特征說明波的傳播特征 x

5、 u 1310741 無外界干擾無外界干擾 各質(zhì)點均處在自己的平衡位置處各質(zhì)點均處在自己的平衡位置處 11 1310741 第第1個質(zhì)點受一干擾個質(zhì)點受一干擾 準(zhǔn)備準(zhǔn)備離開自己的離開自己的 平衡平衡位置向位置向正正方向振動方向振動 1310741 0t 4 t t 第第4個質(zhì)點個質(zhì)點準(zhǔn)備準(zhǔn)備 4 0 0 振動振動 狀態(tài)狀態(tài) 2 1 12 1310741 1310741 第第7個質(zhì)點準(zhǔn)備個質(zhì)點準(zhǔn)備 2 t t 4 3t t 第第10個質(zhì)點準(zhǔn)備個質(zhì)點準(zhǔn)備 4 1 7 10 2 13 第第13個質(zhì)點準(zhǔn)個質(zhì)點準(zhǔn) 備備 tt 1 4 7 10 13 2 當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)?個質(zhì)點振動個質(zhì)點振動1個個周期周期后后

6、它的它的最初最初的振動的振動相位相位傳到第傳到第 13個質(zhì)點個質(zhì)點 從從相位相位來看來看 第第 1個質(zhì)點領(lǐng)先第個質(zhì)點領(lǐng)先第13點點2 14 結(jié)論結(jié)論 2. . 波長波長 波的周期波的周期 頻率頻率 波速波速 ut 1. . 波是波是振動狀態(tài)振動狀態(tài)的傳播的傳播 不是質(zhì)點的流動不是質(zhì)點的流動 各點均在自己的平衡位置附近作振動各點均在自己的平衡位置附近作振動 15 波長：波線上相位差為波長：波線上相位差為2 的的相鄰兩點相鄰兩點間的距離間的距離 波的周期：一個完整的波通過波的周期：一個完整的波通過某點某點所需的時間所需的時間 波的頻率：單位時間內(nèi)通過波的頻率：單位時間內(nèi)通過某點某點完整波的數(shù)目完整

7、波的數(shù)目 波速：振動狀態(tài)傳播的速度波速：振動狀態(tài)傳播的速度 131 tu/ 某點某點 波長波長 波速與頻率之間的關(guān)系：波速與頻率之間的關(guān)系： 16 3. .波射線上各點振動相位波射線上各點振動相位( (振動狀態(tài)振動狀態(tài)) )的關(guān)系的關(guān)系 1) )同時同時看波線上各點看波線上各點 沿傳播方向沿傳播方向 各點相位依次落后各點相位依次落后 1 4 7 10 13 x 2 相差是相差是 相距一個波長兩點相距一個波長兩點 相位差是相位差是2 如第如第13點和第點和第1點點 或說振動時間差或說振動時間差1個個 周期周期則相位差為則相位差為2 17 x任意兩質(zhì)元間距為任意兩質(zhì)元間距為 p q u 13107

8、41 x 相距一個波長兩點相位差是相距一個波長兩點相位差是2 x 2 相距相距 x的任意兩點的相位差的任意兩點的相位差 18 2)從兩質(zhì)元振動的從兩質(zhì)元振動的重復(fù)性重復(fù)性看看 2 tt x t 時刻時刻 第第13質(zhì)元的振動是第質(zhì)元的振動是第1質(zhì)元在質(zhì)元在 t t 時刻的振動時刻的振動 第第1點和第點和第13點之間點之間 間距間距: 振動時間差：振動時間差： 相位差相位差: 19 間距為任意間距為任意 x 的兩點的關(guān)系：的兩點的關(guān)系： 在波線下方在波線下方q點點 t 時刻的振動是前方時刻的振動是前方p點在點在 u x t t x t 時的振動時的振動 即即 2tt x 則則 20 一般關(guān)系：一般

9、關(guān)系： 若已知波傳播若已知波傳播p點點的振動形式可用函數(shù)的振動形式可用函數(shù) f(t)表示表示 q點與點與p點相距為點相距為l 則則q點的振動函數(shù)是點的振動函數(shù)是f (t- l /u) 周期性的體現(xiàn)周期性的體現(xiàn) 普遍的結(jié)論普遍的結(jié)論 p q u x 同樣同樣 若若q點點的振動形式是函數(shù)的振動形式是函數(shù) f(t) q點與點與p點相距為點相距為l 則則p 點的振動函數(shù)是點的振動函數(shù)是f (t+l /u) 21 四、四、 平面平面 s. h .w .的余弦表達式的余弦表達式 已知：波沿著已知：波沿著x軸的正方向傳播軸的正方向傳播 波源波源a的振動形式為的振動形式為 0 costa a 求：波的表達式求

10、：波的表達式 x u oa 0 l p 解：解：任意一點任意一點p坐標(biāo)為坐標(biāo)為x x 22 解：解：任意一點任意一點p坐標(biāo)為坐標(biāo)為x x u oa 0 l p x 解法一解法一 相位關(guān)系相位關(guān)系 p點相位落后波源點相位落后波源a的振動相位的振動相位 atap 2 cos 0 00 2 coslxta ap 2 所以就在所以就在a點振動表達式的基礎(chǔ)上改變相位因點振動表達式的基礎(chǔ)上改變相位因 子就得到了子就得到了p的振動表達式的振動表達式 23 x u oa 0 l p x 解法二解法二 運動的重復(fù)關(guān)系運動的重復(fù)關(guān)系 0 cos u ap ta 00 2 coslxta 00 coslx u ta

11、 24 討論討論 xta 2 cos1. 向向x軸軸負負向傳播向傳播 xta 2 cos 2. .角波數(shù)（簡稱波數(shù)角波數(shù)（簡稱波數(shù)) ) 波數(shù)：單位長度內(nèi)含的波長數(shù)目（波長倒數(shù)）波數(shù)：單位長度內(nèi)含的波長數(shù)目（波長倒數(shù)） 角波數(shù)：角波數(shù)：2 長度內(nèi)含的波長數(shù)目（簡稱波數(shù)）長度內(nèi)含的波長數(shù)目（簡稱波數(shù)） 2 k 向向x軸軸正正向傳播向傳播 25 平面諧波一般表達：平面諧波一般表達： kxtacos 3. .波的表達式的物理意義波的表達式的物理意義 負負（正正）號代表向）號代表向 x 正正（負負）向傳播的諧波）向傳播的諧波 當(dāng)坐標(biāo)當(dāng)坐標(biāo) x 確定確定 表達式變成表達式變成t 關(guān)系關(guān)系 表達了表達了

12、x 點的振動點的振動 如圖：如圖： t t o x點的振動曲線點的振動曲線 26 當(dāng)時刻當(dāng)時刻 t 確定確定 表達式變成表達式變成-x關(guān)系關(guān)系 表達了表達了 t 時刻空間各點位時刻空間各點位 移分布移分布波形圖波形圖 x o t 時刻的波形曲線時刻的波形曲線 （空間周期）（空間周期） 當(dāng)坐標(biāo)當(dāng)坐標(biāo) x 確定確定 表達式變成表達式變成t 關(guān)系關(guān)系 表達了表達了 x 點的振動點的振動 27 4. .波速波速 相速相速 0 xktdd kt x u d d 相位傳播速度相位傳播速度 （相速）（相速） const.)( kxt 波是振動狀態(tài)的傳播波是振動狀態(tài)的傳播 考察某振動狀態(tài)考察某振動狀態(tài) 即令即

13、令 將其全微分將其全微分 有關(guān)系式有關(guān)系式 由速度的定義得出重要關(guān)系由速度的定義得出重要關(guān)系 28 五、平面五、平面 s.h.w. .的復(fù)數(shù)表示法的復(fù)數(shù)表示法 kxti ae kxtiakxtasincos kxti e kxti aer aekxta )( cos取取實實部部 kxti ae tiikx eae 經(jīng)典波：經(jīng)典波：波函數(shù)表示實在物理量波函數(shù)表示實在物理量 只有取只有取 實部才有意義實部才有意義 但可以使計算方便但可以使計算方便 量子量子：波函數(shù)本身一般就是復(fù)數(shù)波函數(shù)本身一般就是復(fù)數(shù) 29 六、波動方程六、波動方程 無色散介質(zhì)無色散介質(zhì) 一維波動方程一維波動方程 2 2 22 2

14、 1 tux 綜量是綜量是utx 的函數(shù)的函數(shù)utxf 解的形式：解的形式： kxtacos 當(dāng)然包括當(dāng)然包括 平面簡諧波平面簡諧波 介質(zhì)中介質(zhì)中 的波速的波速 30 細棒細棒 中縱波中縱波 弦上弦上 橫波橫波 2 2 2 2 tyx 2 2 2 2 ttx t x s f y f x s y u t u 結(jié)論：波速與結(jié)論：波速與介質(zhì)介質(zhì) 波的波的類型類型（橫波（橫波 縱波）縱波）有關(guān)有關(guān) 無色散介質(zhì)中無色散介質(zhì)中與頻率無關(guān)與頻率無關(guān) 楊氏模量：單位形變時楊氏模量：單位形變時 單位面積受的力單位面積受的力 31 2 波的能量波的能量 一、機械波的能量一、機械波的能量 能量密度能量密度 二、能流

15、二、能流 三、能流密度三、能流密度 波的強度波的強度 32 一、機械波的能量一、機械波的能量 能量密度能量密度 1. 機械波的機械波的能量能量 每個質(zhì)元振動所具有的動能每個質(zhì)元振動所具有的動能 每個質(zhì)元形變所具有的勢能每個質(zhì)元形變所具有的勢能 之和之和 2. .能量密度能量密度 波場中單位體積的能量波場中單位體積的能量 pk ww v w w dm dv md 33 3. .細棒中機械縱波的能量密度細棒中機械縱波的能量密度 如圖示：如圖示： x s x 位移位移形變形變 質(zhì)量質(zhì)量 vm 質(zhì)元振動的動能質(zhì)元振動的動能 2 2 2 1 2 1 t vmwk 2 2 1 kw p 質(zhì)元形變勢能質(zhì)元形

16、變勢能 k ？ xx 34 x s f y x ys k 2 2 1 x ys wp 2 2 1 x vy 22 2 1 2 1 x y tv w w kf由彈性力關(guān)系式由彈性力關(guān)系式 和縱波楊氏模量和縱波楊氏模量 則形變勢能可寫成則形變勢能可寫成 能量密度能量密度 35 kxtacos kxtkya kxta v w w 222 222 sin 2 1 sin 2 1 kxtaw 222 sin 如果細棒中傳播的是平面諧波如果細棒中傳播的是平面諧波 則波的表達式為：則波的表達式為： 細棒縱諧波的能量密度細棒縱諧波的能量密度 2 2 2 k y u 由由 pk ww 得得 22 2 1 2 1

17、 x y tv w w 36 pk ww kxtaw 222 sin 討論討論 2） 機械諧波機械諧波w最大值出現(xiàn)在形變最大處最大值出現(xiàn)在形變最大處 3）平均能量密度）平均能量密度 22 0 2 11 atw t w t d 2 aw 1）適用于各種諧波適用于各種諧波 dm dv md 普適結(jié)論普適結(jié)論 （細棒縱波）（細棒縱波） 37 二、能流二、能流( (瞬時功率瞬時功率) ) 1.能流能流 單位時間內(nèi)通過某面積的能量單位時間內(nèi)通過某面積的能量 x x s t t w p t xws wsu wusp )(sin)( 222 kxtaustp suasuwp 22 2 1 2.平均能流平均能

18、流 定義式定義式 對細棒縱諧波對細棒縱諧波 suwp 38 三、能流密度三、能流密度( (功率密度功率密度) ) 波的強度波的強度 1.能流密度能流密度 單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的能量單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的能量 即通過單位面積的能流即通過單位面積的能流 wu s p uw s p i 2.平均能流密度（也稱波的強度）平均能流密度（也稱波的強度） 39 wu s p )(sin 222 kxtua uw s p i 22 2 1 au 1. 任意諧波任意諧波 2 ai 2 ai uz2. 機械波的特性阻抗機械波的特性阻抗 兩介質(zhì)比較兩介質(zhì)比較 z 較小者稱波疏介質(zhì)較小者稱波疏介質(zhì) z 較

19、大者稱波密介質(zhì)較大者稱波密介質(zhì) 光波：折射率較大者稱光密介質(zhì)光波：折射率較大者稱光密介質(zhì) 對細棒中的縱諧波對細棒中的縱諧波 討論討論 40 3 惠更斯原理惠更斯原理 一、惠更斯原理一、惠更斯原理 二、惠更斯原理的應(yīng)用二、惠更斯原理的應(yīng)用 三、入射波三、入射波 反射波反射波 折射波的折射波的 振幅關(guān)系和相位關(guān)系振幅關(guān)系和相位關(guān)系 41 一、一、惠更斯原理惠更斯原理 1.物理上的定性和半定量方法物理上的定性和半定量方法 實際：實際：一些理想模型可以寫出漂亮的方程一些理想模型可以寫出漂亮的方程 （如平面諧波）（如平面諧波） 但但 大多數(shù)情況是很難寫出波動方程的大多數(shù)情況是很難寫出波動方程的 所以物理

20、上通常采用所以物理上通常采用定性定性和和半定量半定量的方法的方法 加以補充（實際上是相當(dāng)重要的補充）加以補充（實際上是相當(dāng)重要的補充） 要解決波的傳播問題要解決波的傳播問題 原則：原則：列出波動方程列出波動方程 然后解方程然后解方程 從而得到運動的表述從而得到運動的表述 42 惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法 1678年惠更斯提出：簡潔的作圖法定性解決年惠更斯提出：簡潔的作圖法定性解決 了波的傳播問題了波的傳播問題 稱惠更斯原理稱惠更斯原理 菲涅耳菲涅耳在光學(xué)方面做了重要發(fā)展在光學(xué)方面做了重要發(fā)展 稱稱惠菲原理惠菲原理 經(jīng)經(jīng)基爾霍夫基爾霍夫在數(shù)學(xué)

21、上描述在數(shù)學(xué)上描述 發(fā)展成發(fā)展成“光傳播光傳播”的重要計算手段的重要計算手段 所以說：在研究波的傳播問題中所以說：在研究波的傳播問題中 波動方程和惠更斯原理波動方程和惠更斯原理 同等重要同等重要 相互補充相互補充 43 2、惠更斯原理惠更斯原理 基本內(nèi)容：基本內(nèi)容： 子波概念子波概念 波面上任一點都是新的振源波面上任一點都是新的振源 發(fā)出的波叫子波發(fā)出的波叫子波 子波面的包絡(luò)線子波面的包絡(luò)線 - - 新波面新波面 t 時刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面）時刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面） 就是該時刻的新波面就是該時刻的新波面 作用：已知一波面就可求出任意時刻的波面作用：已知一波面就可求出任意時刻

22、的波面 44 t+ t時刻波面時刻波面 u t 波傳播方向波傳播方向 t 時刻波面時刻波面 t + t u t 在各向同性在各向同性 介質(zhì)中傳播介質(zhì)中傳播 例：例： 45 二、惠更斯原理的應(yīng)用二、惠更斯原理的應(yīng)用 1.原理給出：原理給出：一切波動都具有衍射現(xiàn)象一切波動都具有衍射現(xiàn)象 衍射衍射-偏離原來直線傳播的方向偏離原來直線傳播的方向 所以：所以：衍射是波動的判據(jù)衍射是波動的判據(jù) 46 衍射是否明顯？衍射是否明顯？ 視衍射物（包括孔、縫）的線度與波長相比較視衍射物（包括孔、縫）的線度與波長相比較 對一定波長的波對一定波長的波 線度線度小小衍射現(xiàn)象衍射現(xiàn)象明顯明顯 線度線度大大衍射現(xiàn)象衍射現(xiàn)象

23、不明顯不明顯 入射波入射波 平面波平面波 入射波入射波 平面波平面波 衍衍 射射 物物 衍衍 射射 物物 平面波平面波 經(jīng)小孔經(jīng)小孔 衍射成衍射成 球面波球面波 47水波通過窄縫時的衍射水波通過窄縫時的衍射 48 廣播和電視廣播和電視 哪個更容易哪個更容易 收到收到? ? 更容易聽到男更容易聽到男 的還是女的說的還是女的說 話的聲音？話的聲音？ 障障 礙礙 物物 衍射：受限的尺度與波長相比衍射：受限的尺度與波長相比 49 2.用惠更斯作圖法導(dǎo)出了光的折射定律用惠更斯作圖法導(dǎo)出了光的折射定律 歷史上說明光是波動歷史上說明光是波動 作圖步驟：作圖步驟： u2 t 媒質(zhì)媒質(zhì)1 折射率折射率n1 1

24、媒質(zhì)媒質(zhì)2 折射率折射率n2 2 i 法線法線 b 入射波入射波 a e c u1 1 u1 t f d u2 2 折射波傳播方向折射波傳播方向 r 50 iactubcsin 1 ractuadsin 2 2 1 sin sin u u r i rninsinsin 21 折射定律折射定律 1 2 sin sin n n r i 2 2 1 1 u c n u c n，絕對折射率定義絕對折射率定義 即即 u2 t 媒質(zhì)媒質(zhì)1 折射率折射率n1 1 媒質(zhì)媒質(zhì)2 折射率折射率n2 2 i 法線法線 b 入射波入射波 a e c u1 1 u1 t f d u2 2 折射波傳播方向折射波傳播方向

25、r 導(dǎo)出折射定律導(dǎo)出折射定律 得得 51 2 1 sin sin u u r i 如果第如果第1介質(zhì)是空氣介質(zhì)是空氣 第第2介質(zhì)是水介質(zhì)是水 實驗結(jié)果：實驗結(jié)果：折射角小于入射角折射角小于入射角 結(jié)論：結(jié)論：光在空氣中傳播的速度大于水中的速度光在空氣中傳播的速度大于水中的速度 后來光速測量說明了上述結(jié)論的正確后來光速測量說明了上述結(jié)論的正確 歷史表明：歷史表明：惠更斯原理給出了光的波動說惠更斯原理給出了光的波動說 歷史上介入了關(guān)于光的本性認識的爭論歷史上介入了關(guān)于光的本性認識的爭論 由由 52 即討論邊界兩側(cè)波的振幅和相位關(guān)系即討論邊界兩側(cè)波的振幅和相位關(guān)系 界面界面 222111 uzuz

26、x o o 三、入射波三、入射波 反射波反射波 折射波的折射波的 振幅關(guān)系和相位關(guān)系振幅關(guān)系和相位關(guān)系 入射波入射波 反射波反射波 透射波透射波 53 1.推導(dǎo)步驟（注意思路，記住結(jié)論）推導(dǎo)步驟（注意思路，記住結(jié)論） 波的表達式波的表達式 設(shè)：入射波、反射波、透射波表達式如下設(shè)：入射波、反射波、透射波表達式如下 0 1 11 xeea tixik 0 )( 11 11 xeea tixki 0 )( 22 22 xeea tixki 2 2 2 k 1 1 2 k 注意，入射波在坐標(biāo)原點（交界注意，入射波在坐標(biāo)原點（交界 x =0）處）處 初相初相 10 54 由邊界條件給出關(guān)系由邊界條件給出

27、關(guān)系 由由振動位移連續(xù)振動位移連續(xù)條件條件 0 2 0 11 xx 由應(yīng)力連續(xù)由應(yīng)力連續(xù)條件條件 0 2 0 11 xx s f s f s f 再利用關(guān)系再利用關(guān)系uz k u y u x s f y 有式有式 )1 ( 21 211 ii eaeaa 有式有式 )2()( 21 22111 ii eazeaaz 55 關(guān)系式關(guān)系式 21 1 1 2 21 21 1 1 2 2 1 zz z e a a zz zz e a a i i 2.相位關(guān)系相位關(guān)系 方程右端是實數(shù)方程右端是實數(shù) 21 ii ee 只能是實數(shù)只能是實數(shù) )2()( 21 22111 ii eazeaaz )1 ( 21 211 ii eaeaa 0sin 0sin 2 1 要求要求 0, 21 或或 結(jié)果：結(jié)果： 56 21 1 1 2 21 21 1 1 2 21 zz z e a a zz zz e a a ii 反射波反射波透射波透射波 0 2 波密波密波疏波疏 波疏波疏 波密波密 注意到注意到 入射波在界面的相位入射波在界面的相位0