很好拉普拉斯變換講解

1、第 7 章 拉普拉斯變換拉普拉斯 (Laplace) 變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡便的方法，而且在 自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用 本章將扼要地介紹拉普拉斯變換 (以下簡 稱拉氏變換)的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用7.1 拉氏變換的基本概念在代數(shù)中，直接計算3N 6.28 3 597.881 202 (1.164) 5 是很復(fù)雜的，而引用對數(shù)后，可先把上式變換為13lg N lg 6.28 (lg 5781 lg9.8 2 lg 20) lg 1.1643 5 ，然后通過查常用對數(shù)表和反對數(shù)表，就可算得原來要求的數(shù) N 這是一種把復(fù)雜

2、運算轉(zhuǎn)化為簡單運算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡的做法f (t)e pt dt0 在 P 的某一區(qū)域內(nèi)7.1.1 拉氏變換的基本概念定義 設(shè)函數(shù) f(t)當(dāng) t 0時有定義，若廣義積分收斂，則此積分就確定了一個參量為P 的函數(shù)，記作F(P)，即F(P)0f (t)e ptdt7-1)稱(7-1 )式為函數(shù) f (t)的拉氏變換式， 用記號 Lf (t) F (P)表示函數(shù) F(P)稱為 f (t) 的拉氏變換 (Laplace) (或稱為 f (t )的象函數(shù) )函數(shù) f(t) 稱為 F(P)的拉氏逆變換 (或稱 為 F(P) 象原函數(shù))，記作11L 1F(P) f (t)，即 f(t)

3、 L 1F(P)關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點說明：(1) 在定義中，只要求 f(t)在 t 0 時有定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后 總假定在 t 0時， f(t) 0 2)在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù)P 是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值為了方便起見， 本章我們把 P 作為實數(shù)來討論，這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用(3)拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分變換般來說，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的例 7-1 求一次函數(shù) f(t) at( t 0，a為常數(shù))的拉氏變換a at aLat ate ptdta td(e pt) at e pt0

4、 a e ptdt解 0 p 0 p p 0a2 e pt0a2p2p2(p 0)a0 a e pt dt p0要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)，7.1.2 單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流時， 在原來電流為零的電路中，某一瞬時 (設(shè)為 t 0) 進入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上的電流 i(t)，以 Q(t) 表示上述電路中的電量，則Q(t)0,1,t 0,t 0.由于電流強度是電量對時間的變化率，即1 / 14i(t) dQdt(t) litm0Q(t t) Q(t)所以，當(dāng) t 0 時， i(t) 0 ；當(dāng) t 0 時，Q(0 t) Q(0) 1 i(0

5、) lim lim( ) t 0 t t 0 t 上式說明，在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電流強 度為此，引進一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為 狄拉克函數(shù) 定義(t)0，1，0，t00t稱為 狄拉克( Dirac )函數(shù)，簡稱為t ，當(dāng) 0 時， (t) 的極限(t) lim0 (t)0函數(shù) 當(dāng) t 0時， (t)的值為 0；當(dāng) t 0時， (t )的值為無窮大， 和(t) 的圖形如圖 7-1 和圖 7-2所示(t) 即0,t 0,t 0 (t)1(t)dt dt 10 ，所以(t)dt 1L (t) (t)e pt dt0lim 1 e0p10 (lim0 1)1 1

6、e p0 1 lim0 p 0e pt dt lim01 (1 e p ) limp 0 ( )10 e pt dt lim 1e ptdt 001 pe p lim 1 p01顯然，對任何 0 ，有工程技術(shù)中，常將 函數(shù)稱為 單位脈沖函數(shù) ，有些工程書上，將 函數(shù)用一個長 度等于 1 的有向線段來表示(如圖 7-2 所示)，這個線段的長度表示 函數(shù)的積分，叫做 函數(shù)的強度 例 7-2 求 (t) 的拉氏變換解 根據(jù)拉氏變換的定義，有即 L (t) 10, t 01, t 0 的拉氏變換Lu(t) u(t)e ptdt 1 e ptdt 1 e pt 00 p 0u(t)7-3 求 單位階梯函

7、數(shù)1p ， (p 0)7-4Le求指數(shù)函數(shù) f (t) eat pte e dtat 00a 為常數(shù))的拉氏變換 e (p a)tdt0(p a) p a ，即2 / 14Leat p1 a(p a)Lsin t 2 2 (p 0) Lcos t 類似可得 p ；p2(p 0)習(xí)題 7 1 求 1-4 題中函數(shù)的拉氏變換 1 f(t) e 4t2 2 f(t) t 3 f (t) teat4 f (t) sin( t ) ( ， 是常數(shù))7.2 拉氏變換的性質(zhì) 拉氏變換有以下幾個主要性質(zhì)， 利用這些性質(zhì)， 可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換 性質(zhì) 1 ( 線性性質(zhì) ) 若 a1， a2是常數(shù)，

8、且 L f1(t) F1(p)， L f2(t) F2(p)， 則La1f1(t) a2f2(t) a1L f1 (t ) a2L f2(t) a1F1(P) a2F2(p) (7-2)證明La1f1(t) a2 f2(t)a1f1(t) a2f2(t)e ptdt a10f1(t)e ptdt a2f2 (t)e ptdt0a1Lf1(t) a2L f2(t) a1 F1( p) a2F2(p)例 7-5 求下列函數(shù)的拉氏變換：1)2) f (t) sin t cost解1L (1aat)aL1ate(1 atL1 Le at a1pap(p a)1Lsin tcost L sin2t222

9、)性質(zhì) 2(平移性質(zhì))22p2 22p2 4若 L f (t) F(p)，則atLe f(t) F(p a)(為常數(shù))7-3)證明Leat f(t)eatf(t)e ptdt f(t)e(p a)tdt F(p a)0at 位移性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以 eat 等于其象函數(shù)左右平移 a 個單位 例 7-6 求 Lteat，Le atsin t和 Le atcos t1pLt 2 Lsin t 2 2 Lcos t 2 2 解 因為 p ， p ， p ，由位移性質(zhì)即得3 / 14Lteat (p 1a)2， Le atsin t (p a)2 2，atLe atcos tpa(p a)2 2性質(zhì)

10、 3(滯后性質(zhì)) 若 L f (t) F(p) ，則Lf(t a) e apF(p)(a 0) (7-4)pt a pt ptLf (t a) f (t a)e ptdt f(t a)e ptdt f (t a)e ptdt 證明 0 = 0 a ，在拉氏變換的定義說明中已指出，當(dāng) t 0 時， f (t) 0 因此，對于函數(shù) f (t a) ，當(dāng) t a 0(即 t a)時， f(t a) 0 ，所以上式右端的第一個積分為 0 ，對于第二個 積分，令 t a ，則L f (t a) f ( )e p( a)d e ap f ( )e p d e ap F(p) 00ap 滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)

11、乘以 e 等于其象原函數(shù)的圖形沿 t 軸向右平移 a 個單位(如 圖 7-3 所示)由于函數(shù) f(t a) 是當(dāng) t a時才有非零數(shù)值故與f(t) 相比，在時間上滯后了一個a 值，正是這個道理，我們才稱它為滯后性質(zhì)在實際應(yīng)用中，為了突出“滯后”這一特 點，常在 f (t a)這個函數(shù)上再乘 u(t a) ，所以滯后性質(zhì)也表示為 Lu(t a)f(t a) e apF(p)例 7-7 求 Lu(t a) Lu(t a) e ap 1p1解 因為 Lu(t) p ，由滯后性質(zhì)得 例 7-8 求 Lea(t )u(t ) Leat1Lea(t )u(t ) e p 1 ，(p a)解 因為 p a

12、，所以 p a 例 7-9 求下列函數(shù)的拉氏變換：解 ( 1)由圖 7-4 容易看出， 當(dāng) t a 時，f (t) 的值是在 c1的基礎(chǔ)上加上了c2 c1 )，3,0 t 2,f (t)c1,0 t a,f(t)1,0,2 t 4,1)c2,a t.(2)4 t.即(c2 c1)u(t a) 故可把 f (t)寫成 f(t) c1u(t) (c2 c1)u(t a)，于是Lf(t) c1 c2 c1e ap ppc1 (c2 c1)e a pp4 / 142)仿( 1)，把 f(t) 寫成 f(t) 3u(t) 4u(t 2) u(t 4)，于是3L f(t)p4e2p e4p 3 4e 2p

13、 e4pp p p我們可以用拉氏變換定義來驗算例 7-9 所得的結(jié)果 由例 7-9 看出， 用單位階梯函數(shù)可 將分段函數(shù)的表達式合寫成一個式子0,t 0c,0 t af(t)2c,a t 3a例 7-10 已知 0,t 3a ，求 L f (t) 解：如圖 7-5 所示， f (t )可用單位階梯函數(shù)表示為 f(t) cu(t) cu(t a) 2cu(t 3a) ， 于是L f(t) Lcu(t) cu(t a) 2cu(t 3a)c c ap c 3ap c ap 3ape 2 e (1 e 2e )p p p p ，由拉氏變換定義來驗證：a 3aL f (t) ce pt dt2ce p

14、t dt0ac (1 e ap 2e ap 2e 3ap) c (1 e ap 2e 3ap)p p 性質(zhì) 4(微分性質(zhì)) 若 L f (t) F(p)，并設(shè) f (t)在0，+ 上連續(xù)， f (t)為分段 連續(xù)，則Lf (t) pF(p) f(0) (7-5) 證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得Lf (t) f (t)e ptdt f(t)e pt0Pf(t)e ptdt0 0 ，L f (t) lim f (t)e pt 0可以證明，在 Lf (t) 存在的條件下，必有 t 因此，L f (t) 0 f(0) pL f(t) pF(p) f(0) 微分性質(zhì)表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等

15、于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù) p ，再 減去函數(shù)的初始值應(yīng)用上述結(jié)果，對二階導(dǎo)數(shù)可以推得Lf (t) pLf (t) f (0) ppF(p) f(0) f (0) p2F(p) pf (0) f (0) 同理，可得Lf (t) p3F(p) p2f(0) pf (0) f (0) 以此類推，可得Lf(n)(t) pnF(p) pn 1f(0) pn 2f (0) f(n 1) (0) (7-6) 由此可見， f (t)各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換可以由 p 的乘方與象函數(shù) F ( p)的代數(shù)式表示出 來特別是當(dāng)初值 f(0) f(0) f(0) f(n 1)(0) 0時，有更簡單的結(jié)果5 / 14L

16、f (n) (t) pnF(p)， (n 1,2, ) (7-7 ) 利用這個性質(zhì)，可將 f(t) 的微分方程轉(zhuǎn)化為 F (p) 的代數(shù)方程 例 7-11 利用微分性質(zhì)求 Lsin t 和 Lcos t 2解 令 f (t) sin t ，則 f(0) 0，f (0) ，f (t) sin t ，由 7-6 式，得 22L 2 sin t L f (t) p2L f(t) pf(0) f (0) ，即22Lsin t p Lsin t ，移項化簡得Lsin t 2 2p2 21 cos t (sin t) 利用上述結(jié)果，及(7-5 )式，可得1 1 1Lcos t L (sin t) L(si

17、n t) pLsin t sin01p p 2 2 0 2 2p p 若 L f (t) F(p) (p 0) ，且設(shè)tL 0性質(zhì) 5(積分性質(zhì))f (t) 連續(xù)，則F(p)f (x)dxp7-8)t(t)證明 令 0L (t) pL (t) (0)f (x)dx，顯見 (0) 0 ，且因 (t)，而 L (t) L f(t) F(p)ttL f (x)dx F(p) ，即 0 p 等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)F(p) pL (t) pL 0 f(x)dxf (t) ，由微分性質(zhì)， ，所以有1積分性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換，例 7-12 求 Lt ( n 是正整數(shù))2tt 22xdx

18、， t0tt1dx，解 因為7-8 )式即得tLt L 1dx0t2Lt 2 L20L1pxdx 2Lt1p 1! ,2,pp2!t3x2dx0tn n 1t nx dx0 ，所以由t3Lt3 L30x2dxp3Lt2p3! ,4,p般地，有tLtn Ln0n1x dtpnLt n 1 n!pn 16 / 14性質(zhì)6若L f (t) F(p)，則a0時1pL f (at) F( )aa性質(zhì)7若L f (t) F(p)，則Ltnf(t) ( 1)nF (n)(p) L f (t) F(p)，且limf (t)性質(zhì)8若t0t 存在，則f (t)L ft(t)p F(p)dp(7-9)7-10)7-

19、11)例 7-13 求 Ltsin t Lsin t 2 2 解 因為 p，由( 7-10 )式可得2 ) (p2 2)2dLtsin t ( 1) ( 2 dp p例 7-14求Lsitnt解 因為1Lsin t 2 pLsint1，而且2p p2sintpte pt dt 即 0 t 2arctg psintlimt 0 t1，所以由（ 7-11 ）式可得1dp arctg p |parctg p因此，當(dāng) p0時，得到一個廣義積分的值sint0 t dt這個結(jié)果用原來的廣義積分的計算方法是得不到的現(xiàn)將拉氏變換的八個性質(zhì)和在實際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下： 表 7-1 拉氏變換

20、的性質(zhì)序號設(shè) L f (t) F(p)1La1f1(t) a2f2(t) a1L f1(t) a2L f2(t)2Leat f(t) F(p a)3Lf(t a)u(t a) e apF(p)(a0)4L f (t) pF(p) f (0)Lf (n)(t) pnF(p) pn1f(0) pn 2f(0) ,f(n 1) ( 0)7 / 145t F(p) L f (x)dx0p61pLf (at) aF(a)a a ( a0)7Ltn f(t) ( 1)nF(n)(p)8f (t)L F(p)dp tp表 7-2 常用函數(shù)的拉斯變換表序號f(t)F ( p)1(t)12u(t)1 p3t12

21、 p24t n(n 1,2,.)n!n1 p5eat1 pa61 e ata p(p a)7teat1 (p a)28tneat (n 1,2, )n!n1 (p a)9sin tp2 210cos tp22 p8 / 1411sin( t )psin cos22p12cos( t )pcos sin p 2213tsin t2p (p22)214sin t tcos t232 2 2 (p )15tcos t22 p22 2(p22 )216ate sin t(p a)2 217e at cos tpa(p a) 2 21812 (1 cos at ) a2122 p( p2 a2)19at

22、 bt eeab(p a)(p b)202t1 pp211t1 p習(xí)題 7-2 求 5-12 題中函數(shù)的拉氏變換53e4t 65sin2t 3cost 7sin2tcos2t3 8 sin3t 1,0 t 4,sint, 0 t9f (t) 1,t 4. 10 f (t)t, t .9 / 140,1,11 f (t) 0,0 t 2,2 t 4,4 t.12 f (t)n atte7.3 拉氏變換的逆運算前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù) 面是已知象函數(shù) F(p) 要求它的象原函數(shù) 氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出f(t) 求它的象函數(shù) F(p) 的問題運算法的另 f (t) ，這就是拉斯逆變

23、換問題同時把常用的拉性質(zhì)性 質(zhì) 1 ( 線 性a1L 1F1(p) a2L1F2(p) a1 f1 (t ) a2 f2(t)1性質(zhì) 2(平移性質(zhì)) L F(p a)性質(zhì) 3(滯后性質(zhì)) L e F(p)例 7-15 求下列象函數(shù)的逆變換：1p 3 ； 2p 52p；eatL 1F(p)eat f(t)f(t a) u(t a)1)3)F(p)F(p)a 3 代入表二(2)4)5)，得L 1a1F1(p) a2F2 ( p)解 ( 1)將( 2)由性質(zhì)及表二( 4)，得f (t) L 11 3 e2tL 1F( p) 1 3(p 2)3 ；F(p) 4p2 3p2 4 1 3tep3f (t)

24、 L 12te313 (p 2)3p33)由性質(zhì)及表二( 2)、(3)，得 1 2p 5 1 1 1f (t) L 12 2L 1 5L 1p2p4)由性質(zhì)及表二( 9)、(10)， 1p4 4L 1p2 44 p 42p 3p2 2p 52p 32p2 2p 51 4p 3f (t) L 1 2 pF(p)例 7-16 求L 1 2!3 1t2e2t2P3212 2 5t p2L 123p22 4 4cos2t 23sin2tf(t) L 1 解p1的逆變換1 2(p 1) 5 L 12(p 12) 5 (p 1)2 42L 1p 21 5 L 12 (p 1) 2 4 2 (p 1)2 4

25、t 1 p 5 t 1 22etL 1 2 etL 1 2 p2 4 2 p2 42et cos2t 5et sin2t et2cos2t 252sin2t10 / 14在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)有問題時， 通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式， 于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡單的分式之和， 表求出象原函數(shù)對然后再利用拉氏變換例 7-17p92解p92p2 5p 6 (p 2)( p 3)F(p) 2p 5p 6 的逆變換 將 F (p) p9分 解 為 兩 個 最 ABp 2 p 3 ，p9分式之和用待定系數(shù)法求得 A 71 1 7 L1F(p) L 1f(t)2B 6，所

26、以 p2 5p 6 p 2 p 3 ，6 7L 1 1 6L1 1 7e 2t 6e 3tp 2 p 3p 2 p 3 p3F(p) 3 27-18 求 p 4p 4P 的逆變換先將 F(p) 分解為幾個簡單分式之和：p 3 p 3 A 3 2 2 p3 4p2 4P P(p 2)233A ，B ， C 用待定系數(shù)法求得 4 4Bp2C2(p 2)2 ，2tF(p)p3p3 4p2 4P2，所以3344 pp 2 (p 2)2 ，f(t) L1F(p) L 13 1 3 1 1 1 234L11p4 p 4 p 2 2(p 2) L1 p1 2 21L 1(p 12)21te 2t2求 13-

27、18 題中函數(shù)的拉氏逆變換F(p) 2 F(p)13p 3 14 習(xí)題 7-34pp2 16 F( p)15172p 8p2 36F( p)161p(p 1)( p 2)F(p) p3p2 26p2 9pF(p)18 p2 12P(P 1)211 / 14的解將初值條件 y(0) 2，y(0)1代入，得到 Y 的代數(shù)方程( p2 3p 2)Y 2p 1 2p 722 2p2 5p 5 (p2 3p 2)Y，即p17.4 拉氏變換應(yīng)用舉例 下面舉例說明拉氏變換在解常微分方程中的應(yīng)用 例 7-19 求微分方程 x (t) 2x(t) 0 滿足初值條件 x(0) 3 的解 解 第一步 對方程兩邊取拉氏變換，并設(shè) Lx(t) X(p) ：Lx(t) 2x(t) L0 ，Lx (t) 2Lx(t) 0，pX (p) x(0) 2X (p) 0將初始條件 x(0) 3 代入上式，得(p 2)X(p) 3 這樣，原來的微分方程經(jīng)