概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)材料

1、實(shí)用文案第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列 組合公式Pm -m!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。（m - n）!Cmm!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!（m _n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)元成，則這件事可由m+n種方法來(lái)元成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)元成，則這件事可由mx n種方法來(lái)元成。（3） 一些 常見(jiàn)排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序

2、問(wèn)題（4）隨機(jī) 試驗(yàn)和隨 機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)， 但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試 驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本 事件、樣本 空間和事 件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用國(guó)來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用0表示。一個(gè)事件就是由 0中的部分點(diǎn)（基本事件 國(guó)）組成的集合。通常用大寫(xiě)字母 A, B,

3、C,表示事件，它們是 0的子集。0為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為 1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B發(fā)生）：Au B如果冋時(shí)有 A匚B , B=A，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B： A-B A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AJB或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B冋時(shí)發(fā)生：AB,或者AB a1 B

4、=?，則表示A與B不可能冋時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。Q -A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對(duì)立事件，記為的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) n C=(AC)UA。匕表示A不發(fā)生(BC)AU BQOQO .仃 Ai =U Ai:aCib , ATb =德摩根率：i二77AU B 二設(shè)f、為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A都有-個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：(7)概率1 0 P(A) 0，則稱P(AB)為事

5、件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B / A) = P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 二 P( B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件 A, A,An, 若 P(AAAn-1) 0,則有P( A1A2 . An) = P( A1)P(A2 | A1)P( A3| A1A2) P(An | A1A2 .An -1)f 0(14)獨(dú)立性 兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨(dú)立的。 若事件A、B相

6、互獨(dú)立，且P(A) 0，則有P(B|A) = P(AB) = P(A)P(B) = p(b)P(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)立。必然事件0和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。 多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。(15)全概公式設(shè)事件B1, B2,Bn滿足1 B1, B2, ,Bn兩兩互不相容，P(Bi) A0(i =

7、1,2, ,n),nAu U Bi27,則有P(A) = P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(A| Bn)。全概率公式解決的是多個(gè)原因造成的結(jié)果問(wèn)題，全概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；(16)貝葉 斯公式設(shè)事件B1, B2，Bn及A滿足1 B1,B2，Bn兩兩互不相容，p(Bi) 0,i = 1,2,，n ,nAuU Bi2 y , P(A)0 ,則、P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A), i=1 , 2,no乞 P(Bj)P(A/Bj)u此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , (i =1 , 2 ,

8、，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi / A) , (i =1 , 2 ,，n）,通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā) 生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。（17）伯努 利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則 A發(fā)生的概率為1-卩一 q,用Pn（k）表示n

9、重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k（。蘭k蘭n）次的概率，kk n kPn（k） =CnP q ，k =0,1,2,n o第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散 型隨機(jī)變 量的分布 律設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事 件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=Pk, k=1,2，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：XX1,X2，,Xk,P(X =Xk) P1, P2,Pk,。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：0Z pk = 1(1) pk AO , k 二1,2，,(2) 7。(2)連續(xù) 型隨機(jī)變 量的分布 密度設(shè)F(X)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若

10、存在非負(fù)函數(shù)f(X)，對(duì)任意實(shí)數(shù)X，有XF(x) =(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面 4個(gè)性質(zhì)：1、f(x2O。2、亡f(x)dx = 1。3、 P(n v X 蘭 x2) = F (x2) F (xj =廣 f (x)dx4、 P(x=a)=0,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0(3)離散 與連續(xù)型 隨機(jī)變量 的關(guān)系P(X =x)拓 P(x vX Wx + dx)肚 f(x)dx積分元f (x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X = xk) = pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。(4)分布設(shè)X

11、為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)函數(shù)F(x)二=P(X 蘭 x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a0，k =0,1,2，k!則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為Z的泊松分布，記為 X?；蛘逷(九)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=, nTS)。幾何分布P(X = k) = qp,k = 1,2,3，其中 p0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a , b上1為常數(shù)1 ，即b af 1 aW xW bf (x)=b _ a，0,其他，則稱隨機(jī)變量 X在a , b上服從均勻分布，記為 XU(a

12、, b)。 分布函數(shù)為0,xa,x aJb。當(dāng)aw X1X2W b時(shí)，X洛在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為x2 一 x1P( vX cx2)=1。b a標(biāo)準(zhǔn)文檔指數(shù)分布X _0X 0其中，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 X的分布函數(shù)為F(x)二1 -e-x,0,x _ 0x0。記住積分公式：bexnedx = n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1a#f (x) = |_，-00 0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為、的2正態(tài)分布或咼斯(Gauss)分布，記為 X N (巴口 )。f(X)具有如下性質(zhì)：1f(x)的圖形是關(guān)于x= 對(duì)稱的；A2 當(dāng)x =卜時(shí)，為最大值；,2U2若XN (

13、巴)，則X的分布函數(shù)為1x iF (x) = /r e 2f dt參數(shù)=、 =1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN (0,1).其密度函數(shù)記為(x)亠e 2 理2兀，一比C X +立,分布函數(shù)為1 x -2(x)Je 2 dt。V1 2兀 _?0Q(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。r1(-X)= 1-(x)且()=。如果XN(卩月2)，則N(,1)。p% x 蘭x2)ei- 1。(6)分位 數(shù)下分位表：P(X蘭卩=口； 上分位表：P(XaAg)=c(。(7)函數(shù) 的分布函 數(shù)離散型已知X的分布列為Xx1, X2,刈，P(X =Xi) p1, P2,pn,Y=g(X)的分布

14、列(yi=g(xj互不相等)如下：Yg(x1), g(x2),g(xn),P(Y=yJ12n ，若有某些g(Xi)P相等，%應(yīng)將對(duì)應(yīng)的5 pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型齊 G )= FF W y =占 j = f /a()v利jnr = j-(x)的分布函數(shù)與密度篇藪 之間的 關(guān)系求Y = g(x)的密度函數(shù)先利用X的概率密度f(wàn)x(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。(2)定理法：當(dāng)Y=g(X)嚴(yán)格單調(diào)并且可導(dǎo)時(shí)：(1) ACr) = l0,其它.其中h (y)是g(x)的反函數(shù)第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合離散型分布

15、如果二維隨機(jī)向量 (X, Y)的所有可能取值為至多可列 個(gè)有序?qū)?x,y)，則稱匕為離散型隨機(jī)量。設(shè)=(X，Y)的所有可能取值為 化，yj)(i, j =1,2,)， 且事件=(Xi，yj)的概率為pj,稱P(X,Y) =( 0 (i,j=1,2,);(2) 二二 pij =1.連續(xù)型i j對(duì)于二維隨機(jī)向量 =(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(-： : x ： 二廠： y )，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|axb,cy 0;(2) .；.：f(x,y)dxdy =1.(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)Z(X =x,Y = y) =E(X =xPlY =

16、 y)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X，Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,y,二元函數(shù)F(x,y)=PX 蘭 x,丫蘭 y稱為二維隨機(jī)向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(d,2)|蟲(chóng)vxgj x,皿vY (2)蘭y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 蘭 F(x, y)蘭 1;(2) F( x,y )分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng) X2X1 時(shí)，有 F (X2,y ) F(x I,y);當(dāng) y2yi 時(shí)，有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，

17、即F(x, y) =F(x +0, y), F(x, y) = F(x, y +0);(4) F (-叫-o) = F (一旳，y) = F (x,-o) = 0, F (+巴十垃)=1.(5) 對(duì)于 xi v x2, y1 v y2,P(X1X w X2,y 1y yM=F(X2, y?) F(X2, yjF(X1, y2)+ F(X1,(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X =x, Y = y)俺 P(x v X 蘭 x + dx, y vY 蘭 y + dy)叱 f (x, y)dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為RP(X=Xi)=EPj(i, j=1,2，)；jY的邊緣分布為=p

18、(丫二yj)= pj(i,j=1,2，)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x) =亡 f (x,y)dy;Y的邊緣分布密度為J(y)= O(x, y)dx.(6)條件離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為分布P(Y = yj |X=xJ =Pij .-7嘰在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為P(X =人 |Y = yj)二Pij石，連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)(x，y)；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為一 1 、 f(x,y) f (y | x)fX(x)(7)獨(dú)立一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)性離散型Pij =Pi 幾

19、有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布12 仕x_n)(y_|4)$出 1-2(1_P)|llcF 丿OTEO2 丿T (x, y)-eL1,2阪J 16才1-P2P = 0隨機(jī)變量的若Xi,X2,XmXm+i,相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：函數(shù)h (Xi, X2,X)和 g(Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立,貝y： h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立,貝y：3X+1 和 5Y-2 獨(dú)立。(9)二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y的分布密度函數(shù)為1/_耳)2x_H)(y_H)屮主 甲1二(1_

20、P)lcT 丿鈕(2 丿 |f(x, y) = e、2 兀 CT 16 J1 一 P其中出，込11 a0,!2 =0,1 P|v1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X，Y服從二維正態(tài)分 布，記為(X, Y)N (卩，卩2嚴(yán)2,7；, P).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分 布，即 X N (卩 1t12),Y N2orf).但是若XN( 1t12),Y NGi2|) , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：FZ(z) = P(Zz) = P(X + Yez)-bo對(duì)于連續(xù)型，fz(z) = Jf(x, z_x)dxa兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍

21、為正態(tài)分布(氣+ #2,2)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。4=送 CH ,口 2 =瓦 Ci22iiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx, (x)Fxn (x)，則 Z=max,min(Xi,X2,溝)的分布函數(shù)為：Fmax(X)=(X)Fx2(X)Fxn(X)Fmin (X) = 1 1 - FX1 (x)叩FX2 (X)1 一 FXn (x)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分 布律為 P( X =Xk ) = pk

22、 , k=1,2,n ,nE(X)=送 Xk Pkk二(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),-boE(X)= fxf (x)dx(要求絕對(duì)收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)=2； g(Xk)Pkkz!Y=g(X)-boE(Y)= Jg(x)f(x)dxa方差D(X)=EX-E(X )2，標(biāo)準(zhǔn)差%x)= Jd(x)2D(X)=2： Xk -E(X) Pkk-bo 2D(X) = Jx E(X) f(x)dx-0(2)期望 的性 質(zhì)(1) E(c)=c(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(送 皿=遲 G E(Xj )i=1i=1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X 和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3) 方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0 ； E(C)=C2(