整式的加減典型例題

1、整式的加減典型例題類(lèi)型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系駛1 填空題：(1) 商店運(yùn)來(lái)一批梨，共 9箱，每箱n個(gè)，則共有 個(gè)梨.(2) 小明x歲，小華比小明的歲數(shù)大 5歲，則小華 歲.(3) 個(gè)正方體邊長(zhǎng)為 a,則它的體積是.(4) 一個(gè)梯形，上底為 3 cm下底為5 cm,高為h cm,則它的面積是 cm2.(5) 輛客車(chē)行駛在長(zhǎng) 240千米的公路，設(shè)它行駛完共用a個(gè)小時(shí)，則它的速度是每小時(shí)千米240解析：1.9 n 2. x+5 3. a3 4.4 h 5.二總結(jié)升華：用字母表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系時(shí)， 若式子是積或商形式， 則將單位名稱(chēng) 寫(xiě)在式子的后面即可；若式子是和或差的形式，則應(yīng)把整個(gè)式子用括號(hào)

2、括起來(lái)， 再將單位名 稱(chēng)寫(xiě)在后面。舉一反三：變式一(1) 香蕉每千克售價(jià)3元，m千克售價(jià)元。(2) 溫度由5C上升t C后是C。(3) 每臺(tái)電腦售價(jià)x元，降價(jià)10%后每臺(tái)售價(jià)為 元。(4) 某人完成一項(xiàng)工程需要 a天，此人的工作效率為。解析：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)氖阶颖磉_(dá)出 來(lái)。1答案：(1)3m(5 +1)(3) 0.9x(提示：(1 10% )x=0.9x )(4)變式二某校學(xué)生給“希望小學(xué)”郵寄每?jī)?cè)一；元的圖書(shū)240冊(cè)，若每?jī)?cè)圖書(shū)的郵費(fèi)為書(shū)價(jià)的5%，則共需郵費(fèi)元。解析：郵費(fèi)是書(shū)價(jià)的5%因此，共需郵費(fèi)是 25%-240 = 12a元。答案：12a類(lèi)型二

3、：整式的概念亦2 .把下列式子按單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式進(jìn)行歸類(lèi)。1工5x2y,-a b, x + y2 5,_, 29, 2ax + 9b 5,600xz ,-axy, xyz 1,1小1。思路點(diǎn)撥：本題的實(shí)質(zhì)就是識(shí)別單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式。單項(xiàng)式中數(shù)和字母、字母和字 母之間必須是相乘的關(guān)系，多項(xiàng)式必須是幾個(gè)單項(xiàng)式的和的形式。込5解析：?jiǎn)雾?xiàng)式有：x 2y， 1， 29,600xz，- axy1多項(xiàng)式有：-a b, x+ y2 5,2ax + 9b 5, xyz 115整式有：x 2y, 1 a b, x+ y2 5, , 29, 2ax + 9b 5,600xz , axy ,xyz 1。舉一反三

4、：變式指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。37x + 1;(2)a = 2; (3) n ; (4)S = n R2; (5) j ; (6) 1； j .37t分析：根據(jù)整式的定義，x+1是整式；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是整式，所以7?和匚也是整式；而a = 2, S= n R,，含有等號(hào)或不等號(hào)，因此它們都不是整式。37答案：(1) x+ 1 ,(3) n ,(5)都是整式；a = 2,(4)S = n R2,(6)匚 -都不是整式。總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區(qū)別, 等式含有等號(hào)，不等式含有不等號(hào)，而整式不能含有這些符號(hào)。類(lèi)型三：同類(lèi)項(xiàng)(A)

5、a=2, b= 1(C) a= 2, b= 1(D) a= 2, b=1思路點(diǎn)撥：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確同類(lèi)項(xiàng)定義，即字母相同且相同字母的指數(shù)相同,要注意同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)的大小沒(méi)有關(guān)系。解析：由同類(lèi)項(xiàng)的定義可得：a仁一b,且2 a+b=3,解得 a=2, b= 1,故選Ao舉一反三:變式在下面的語(yǔ)句中，正確的有 ()2 1， 1一E a2b3與a3b2是同類(lèi)項(xiàng)；x2yz與zx2y是同類(lèi)項(xiàng)；1與5是同類(lèi)項(xiàng)；字母相同的項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)。(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C)3個(gè)(D) 4個(gè)2 1解析：中一3 a2b3與2 a3b2所含的字母都是a, b,但a的次數(shù)分別是2,3 , b的次數(shù)分別是3,2，所以它

6、們不是同類(lèi)項(xiàng)；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以I 2丿x2yz與zx2y是同類(lèi)項(xiàng)；不含字母的項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))都是同類(lèi)項(xiàng)，正確，根據(jù)可知不正確。故選B。類(lèi)型四：整式的加減倉(cāng)m- n( m+n)的結(jié)果是(B) 2m(C) 2n( D) 2m- 2n思路點(diǎn)撥：按去括號(hào)的法則進(jìn)行計(jì)算，括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“- 號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。解析：原式=m- nm- n=2n,故選(C)。答案：C舉一反三：變式一 (2011四川南充市)計(jì)算a+( a)的結(jié)果是()(A) 2a(B) 0(C) a2( D) 2a分析：先去括號(hào)再合并同類(lèi)項(xiàng)答案：B變式二(2011重慶西南師大附中期

7、中)計(jì)算：整式去括號(hào)應(yīng)為()(A)i(B) ,(C)( D) .i 一分析：按去括號(hào)法則進(jìn)行計(jì)算，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)答案：A5.( 1)方格中，除9和7外其余字母各表示一個(gè)數(shù)，已知方格中任何三個(gè)連續(xù) 方格中的數(shù)之和為 19,求A+H+M+劭值.A9HMOX7思路點(diǎn)撥：由任何三個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)之和相等得A+9+H=9+H+M M+0+X=0+X+7進(jìn)步求出A+H+M+O值.解析：由方格中任何三個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)之和為19,得 A+9+H =9+H+M A=M M+O+X=O+X+7M=7; 所以 A=M=7 H+M+0=19 所以 A+H+M+O=26.答案：26.1 1(2)(化簡(jiǎn)代入求值法

8、)已知x = ： , y= _ ,2222求代數(shù)式(5x y 2xy 3xy) (2xy + 5xy 2xy )思路點(diǎn)撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應(yīng)先化簡(jiǎn)再代入求值。2 2 2 2解析：原式=5x y 2xy 3xy 2xy 5x y+ 2xy = 5xy11r_iLf_n=，i當(dāng)x =了，y=亍時(shí)，原式=5丿I 3丿 3 o總結(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。應(yīng)注意的問(wèn)題是：當(dāng)整式中有同類(lèi)項(xiàng)時(shí), 應(yīng)先合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)原式，再代入求值。舉一反三:1變式1當(dāng)x = 0, x = 1 , x= -2時(shí)，分

9、別求代數(shù)式的 2x2 x+ 1的值。2 2解：當(dāng) x= 0 時(shí)，2x x + 1 = 2X 0 0+ 1= 1 ；-2餌一+1=2 丄一丄+1=1當(dāng) x = 2 時(shí)，2x x + 1 = 2 X(2 丿 242;2 2當(dāng) x = -2 時(shí)，2x x + 1 = 2X( -2 ) ( -2 )+ 1 = 2X 4+2 + 1 = 11。總結(jié)升華：一個(gè)整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當(dāng)整式中沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，直接代入計(jì)算，原式中的系數(shù)、指數(shù)及運(yùn)算符號(hào)都不改變。但應(yīng)注意，當(dāng)字母的取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，代入時(shí)，應(yīng)將分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)添上括號(hào)。變式2先化簡(jiǎn)，再求值。1222

10、2戸3(2x y 3xy ) (xy 3x y)，其中 x = - , y= 1。解：3(2x2y 3xy2) (xy 2 3x2y) = (6x 2y 9xy2) xy2+ 3x2y2 2 2 2 2 2=6x y 9xy xy + 3x y = 9x y 10xy。當(dāng) x =_, y = 1 時(shí)，原式=9 XX ( 1) 10 X 一 X ( 1)2 =44?？偨Y(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡(jiǎn)為9x2y 10xy2，再代入求值，化簡(jiǎn)降低了運(yùn)算難度，使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式3求下列各式的值。2 H工 _X_ _+3?-2 x 1)151V(1)(2x，其中

11、x=-(2)2mn + ( 3m) 3(2n mn),其中 m+ n= 2, mn= 3。r 31+2 x 1)I3丿13丿解析：(1) (2x3-+ 3x2匚=4x2 4il=2當(dāng)x= 22時(shí)，原式=4 x(2) 2mn + ( 3m) 3(2 n mn)=2mr 6m 6n + 3mn =5mr 6(m + n)3當(dāng) n = 2, mn= 3 時(shí)原式=5X ( 3) 6X 2 = 27。類(lèi)型五：整體思想的應(yīng)用猛6.當(dāng)x = 1時(shí)，代數(shù)式px3+ qx + 1的值為2013，則當(dāng)x = 1時(shí)，代數(shù)式px3 + qx + 1的值為()A、一 2011B、一 2012C、一 2013D 2011

12、思路點(diǎn)撥：這是一道求值的選擇題，顯然p, q的值都不知道，仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當(dāng) x = 1 時(shí)，px3 + qx + 1 = p+ q + 1 = 2013，而當(dāng) x= 1 時(shí)，px3+ qx + 1 = p q + 1,可以把p+ q看做一個(gè)整體，由 p+ q + 1 = 2013得p+ q= 2012,于是一p q=(p + q) = 2012,所以原式=2012+ 1 = 2011。故選 A。舉一反三：232變式1已知x + x 1 = 0,求代數(shù)式x + 2x 7的值。分析：此題由已知條件無(wú)法求出x的值，故考慮整體代入。解析：/x + x 1 =

13、0,二 x = 1 x, x3+ 2x2 7= x(1 x) + 2(1 x) 7= x x2+ 2 2x 72 2=-x -x-5 = ( -x -x+1 ) -6 = 6。2 2變式2已知x + x + 3的值為7,求2x + 2x 3的值。分析：該題解答的技巧在于先求x2 + x的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。解析：由題意得x2 + x + 3=乙所以x2 + x= 4，所以2(x2 + x) = 8，即2x2 + 2x = 8,2所以 2x + 2x 3= 8 3= 5?？偨Y(jié)升華：整體思想就是在考慮問(wèn)題時(shí)，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某一項(xiàng)或某一類(lèi)看成一個(gè)整

14、體的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用這種方法應(yīng)從宏觀上進(jìn)行分析，抓住問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、解決，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在中 考中該思想方法比較常見(jiàn)，尤其在化簡(jiǎn)題中經(jīng)常用到。變式3已知A= 3x3 2x + 1, B= 3x2 2x+ 1 , C= 2x2+ 1，則下列代數(shù)式中化簡(jiǎn)結(jié)果為 3x3 7x2 2 的是()A A+ B+ 2CB、A+ B 2CC、A B 2CD A B+ 2C分析：將A, B, C的式子分別代入 A, B, C, D四個(gè)選項(xiàng)中檢驗(yàn)，如： A B 2C= 3x3 2x + 1 (3x2 2x + 1) 2(2x 2+ 1) = 3x3 2x + 1 3x2

15、+ 2x 1 4x2 2 = 3x3 7x2 2。故選 Co答案：C變式4化簡(jiǎn)求值。(1) 3(a + b c) + 8(a b c) 7(a + b c) 4(a b c)，其中 b = 2(2) 已知 a b= 2，求 2(a b) a+ b + 9 的值。分析：(1)常規(guī)解法是先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)，但此題可將a + b c, a b-c分別視為一個(gè)“整體”，這樣化簡(jiǎn)較為簡(jiǎn)便；(2)若想先求出a, b的值，再代入求值，顯然行不通，應(yīng)視a b為一個(gè)“整體”。解析：(1)原式=3(a + b c) 7(a + b c) + 8(a b c) 4(a b c)=4(a + b c) + 4

16、(a b c)=4a 4b + 4c + 4a 4b 4c = 8b。 因?yàn)閎= 2,所以原式=一 8x 2 = 16。(2)原式=2(a b) (a b) + 9=(a b) + 9 因?yàn)閍 b= 2,所以原式=2+ 9= 11。類(lèi)型六：綜合應(yīng)用儘C7 .已知多項(xiàng)式 3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7)的值與 x 無(wú)關(guān)，試求 5a2 2(a 2 3a + 4)的值。思路點(diǎn)撥：要使某個(gè)單項(xiàng)式在整個(gè)式子中不起作用，一般是使此單項(xiàng)式的系數(shù)為0即可.解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 = (3a 9)x 2+ 4。

17、因?yàn)樵降闹蹬c x無(wú)關(guān)，故3a 9 = 0,所以a= 3。又因?yàn)?5a 2(a 3a+ 4) = 5a 2a + 6a 8= 3a + 6a 8, 所以當(dāng) a= 3 時(shí)，原式=3 x 32 + 6X 3 8= 37?？偨Y(jié)升華：解答此類(lèi)題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當(dāng)題目中的條件或所求發(fā)生了變化時(shí)，解題的方法也會(huì)有相應(yīng)的變化。舉一反三：變式1當(dāng)a(x豐0)為何值時(shí)，多項(xiàng)式 3(ax 2+ 2x 1) (9x 2 + 6x 7)的值恒等為 4。 解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 = (3a 9)x 2+ 4。因?yàn)?3a 9)x2+ 4 = 4，所以(3a 9)x 2= 0。又因?yàn)?0，故有 3a 9 = 0。即卩 a =3,所以當(dāng)a= 3時(shí)，多項(xiàng)式 3(ax 2+ 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值恒等于 4。變式2當(dāng)a = 3時(shí)，多項(xiàng)式 3(ax2 + 2x 1) (9x2 + 6x 7)的值為多少？解析：3(ax2 + 2x 1) (9x2+ 6x 7) = 3ax2+ 6x 3 9x2 6x + 7 =(3a 9)x + 4，當(dāng) a = 3 時(shí)，原式=(3 x 3 9)x + 4= 4。8 .已知關(guān)于x的多項(xiàng)式(a 1)