極限的常用求法及技巧.

1、極限的常用求法及技巧引言極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念。極限的方法是微積分中的基本方法，它是人們從有限認識無限，從近似認識精確，從量變認識質(zhì)變的一種數(shù)學方 法，極限理論的出現(xiàn)是微積分史上的里程碑，它使微積分理論更加蓬勃地發(fā)展起來。極限如此重要，但是運算題目多，而且技巧性強，靈活多變。極限被稱為微積分學習的 第一個難關(guān)，為此，本文對極限的求法做了一些歸納總結(jié)，我們學過的極限有許多種類型：數(shù)列極限、函數(shù)極限、積分和的極限（定積分），其中函數(shù)極限又分為自變量趨近于有限值的和自變量趨近于無窮的兩大類，如果再詳細分下去，還有自變量從定點的某一側(cè)趨于這一點的所謂單邊極限和雙邊極限，x

2、趨于正無窮,x趨于負無窮。函數(shù)的極限等等。本文只對有關(guān)數(shù)列的極限以及函數(shù)的極限進行了比較 全面和深入的介紹.我們在解決極限及相關(guān)問題時，可以根據(jù)題目的不同選擇一種或多種 方法綜合求解，尤其是要發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限與函數(shù)極限在求解方法上的區(qū)別與聯(lián)系，以做到 能夠舉一反三，觸類旁通1數(shù)列極限的常用求法及技巧數(shù)列極限理論是微積分的基礎，它貫穿于微積分學的始終，是微積分學的重要研究方 法。數(shù)列極限是極限理論的重要組成部分，而數(shù)列極限的求法可以通過定義法，兩邊夾方 法,單調(diào)有界法，施篤茲公式法，等方法進行求解本章節(jié)就著重介紹數(shù)列極限的一些求 法。1.1利用定義求數(shù)列極限利用定義法即利用數(shù)列極限的定義 設為數(shù)列。

3、若對任給的正數(shù)N,使得n大于N時有aa收斂于a ,定數(shù)a稱為數(shù)列的極限，并記作|jm an = a，或n ）：:讀作當n趨于無窮大時， a /的極限等于a或an趨于a例證明limn ):3n2n2 -2解 由于3n2n2 -2999( n_3)n3 n因此，對于任給的；0,只要- J J在利用數(shù)列的；-N定義時，應意識到下幾點1.；的任意性定義中的正數(shù):的作用在于衡量數(shù)列通項a 1與定數(shù)a的接近程度，；越小，表示接近的愈好；而正數(shù) ；可以任意的小，說明a,與a可以接近到任何程度然而，盡管；有其任意性，但已經(jīng)給出，就暫時的被確定下來了，以便依靠它來求出N.又1.2利用極限的四則運算極限的四則運算

4、法則若an與bn為收斂數(shù)列，則an bn, g-bn , an *bn也都是收斂數(shù)列，其有 lim（an 二 bn） = lim an 二 bnn 廠n 廠an bn）二 lim an lim bnn n 例求 lim n （ . n -1 -、n）ncQn +1 + J n11由 11（n ）n得1.3利用單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理即在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限，單調(diào)數(shù)列即若數(shù)列方,的各項關(guān)系式，an - an 1 （an - an 1 ）則稱已為遞增（遞減）數(shù)列。遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。有界性即M存在使得對于一切正整數(shù) n,有aJ0）極限解： 設怡= a， X| = . a

5、a = , a x0 xn 丁 =y a xn （n =1,1,2.）則xj是單調(diào)有界數(shù)列，它必有極限，設其極限為 A在Xn n 二.a Xn 兩邊取極限得 A 二、a A 即 A? 一 A - a =0所以aJ f2因為a0所以AJ力2即 lim xn1.1 4a2例設x00， a0, xn廣1（ Xn +亙），n=0,1,2.z證明數(shù)列/丿的極限存在，并求2Xn之。證明：易見xn0,n=0,1,2.所以有_ 1 / a、 一 xnr(xn+=xn2n+xL)=Xn_ 1 / a、1 /Xn1=2(Xn + x：) 2(xXn=a由 0iN時則數(shù)列G :收斂，且lim Cn =a 。n_；-

6、.=-：由迫斂法則可得所求極限與已知數(shù)列極限相等例求 lim 1.3.5(n-1)inm 2.4.6-(2 n)顯然Xny , n=1.2,所以即數(shù)列解：記甘亠護,y= 2.4&(2n)n 246 (2n)n 3.5.7 (2n 1)xn 單調(diào)遞減有下界，極限存在。記lim xn=,n_C對關(guān)系式X2(Xna+ )Xn令nx取得極限得到a=, a .（其中、a 0(i=1 , 2,3m ,記 M=max（a，a2,am）。證明nnnnlima1 +a2 + am =Mn 匸-nnnn證明：因 M a1 +a2 + am mnnn即 lim a1+a2 + am=Mn_.M n I (n )1.

7、5利用遞推關(guān)系有些題目中數(shù)列的單調(diào)性不易證得時就不能應用單調(diào)有界定理,此時可嘗試采用遞推關(guān)系應用壓縮原理去解決這些題目一般都給我們一個遞推式an 廣f（an），但單調(diào)性不易或根本無單調(diào)性，2 2例設a1， a2為任意取定的實數(shù)，且a1 +a2豐0，定義an kanl a1其中,k, l為正數(shù)，且k l =1, n=1,2.試求lnman 1an證明 由k l =1,即Ov k1,0 l 1.由式得2an 1- anl (an a*l( anan2an 1 =Qn 1 _an)(an _an Q _a)a2Xn Xn即 0Xn(n *)故 lim Xn=n1.6利用上下極限一個有界數(shù)列未必存在極

8、限，但它一定有上下極限，且有界數(shù)列極限存在的充要條件是 其上下極限相等。對于一個有界數(shù)列 gj取掉它的最初k項以后，剩下來的仍舊是個數(shù)列，記這個數(shù)列的上確界為：k，下確界為k亦即:k =sup3n Gsupd -1,ak 2,ak .3 ?n k-：sk =叫 a = inf 力k 1,ak 2 ak 3:n審可見:kN時，有 n:A- x Xn :同理可證lim y _ A_于是lim yA_n_:于是Anlim y. lnm 丫呷n .n -由e的任意性得Hm yn =an亦即limn_1 2n2 X1 3 X2n 1 Xnn1.7利用stolz定理Stolz定理若所求極限為 仏型，且yj

9、是單調(diào)增加的無窮大量。且XnnlimnT：-XnX2=a則 lim y=ay.y.x n Xn或Xn，yn都是無窮小量，且yn是嚴格單調(diào)減少數(shù)列，且Xn 4一 Yn4 a為有限量，；與：)，則nm汁證明yn是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且lim Xn -Xz =a(a為有限量，與)F yn - yn)X貝U lim_二ayn證：(1)考慮a= 0的情況xn lim n n 5 Xn=o，有 一 ；，n, -n(n . N),一 ynXn -XnyynjXnXn -Xnj% -ynXn Xd + X1 - Xn2 IN+Xni-XnXn蘭Xn _Xn+|Xn人+11門Xn卅一 Xn“ iM -yn

10、yn J _ yn _2XnHL YnYnXnyn是嚴格單調(diào)增加的，因此Xnynyn ynyn_L-y2 +ll!_+yz -yN +Xn|ynyn是正無窮大量XnynXnYnyn Yn| + XnynVnZ +XNynTN2, 一n(n N2),Xnyn取 N =max(N,N2) 1, “(n N)有Xnyn2；所以 lim Xn = 0n y當a是非零有限數(shù)時，令Xn =Xn -ayn，于是由IIlim 人-Xz = |im Xn 一人亠i% 74n - 4_a = 0得到nm；n“，從而叩 0，yn -p 0利用Stolz定理時，應注意驗證題目所給數(shù)列是否滿足定理的內(nèi)容k kk12 n

11、lnmnk1k 1例 求極限經(jīng)檢驗分母n一；打，n；心時，且單調(diào)遞增，所以滿足條件。令k kXn=1 +2 +n，y.=nkn(n-1kn= 1(k 如 Cnn k 1可得原極限=例已知數(shù)列m：X2n 1 一 X2n X2n一 X2n-22n +1_(2 n_1)=0- limn:(Xn _Xn J =0n2 lim (n ：:X2時X2n-2+X2nX2n )1吋1 )=e1.8利用特殊極限利用特殊極限法即將題目變成一些特殊的極限形如現(xiàn)證明：nim(1 )n存在。證明：先建立一個不等式，設ba0,于是對任一自然數(shù)n有n 1 n 1一-：(n 1)bn 或 bn 1 -an 1 (n 1)bn

12、(b - a),整理后得不等式 an 1 bn (n 1a _nb。b -a(1)令 a=1+丄,b=1+ ,將它們代入(1)。由于(n 1)a -nb =(n 1)(V) _n(1 丄)=1 , n 十1nn +1n故有()n 1 (i -)n，這就是說(i -)n為遞增數(shù)列。n +1nn1 11 11 再令 a=1, b=1+代入(1)。由于(n +1)a nb = (n+1) n(1+)=，故有 1(1+)n，2n2n 22n 22 .(1n。不等式兩端平方后有第，它對一切自然數(shù)n成立。聯(lián)系數(shù)列的單調(diào)性，由此又推得數(shù)列(11/是有界的。于是由單調(diào)有界定理知道極限lim(1 1/是存nn在

13、的。我們通常用拉丁字母代該數(shù)列的極限即lim(1 -)n=en利用該種方法應該記憶一些常用數(shù)列的極限。求 lim(12)nnn2n 32n書* 4n廠辦=e22n 32n -1n lim(27)=lim (1 n 2n 3 n :.1.9利用定積分利用定積分求極限的方法即利用定積分的定義計算項數(shù)無限增多的無窮小量之和，有時可設法把問題化為某一函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限問題，從而利用定積分求解。有時問題呈現(xiàn)乘積的形式，也可試用本方法，只式要先取對數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為和的形式。 定積分的定義 設函數(shù)f(x)在a. b上有界.在a. b中任意插入若干個分點a =Xo ： X1 ： X2XnJ： Xn=

14、b把區(qū)間a b分成n個小區(qū)間Xo. X1 . X1. X2. 訂 Xj Xn.各小段區(qū)間的長依次為X1=X1-XoX2=X2_X1Xn=Xn-Xn_,在每個小區(qū)間Xi. Xi上任取一個點i (Xi_r：xi 0時.和S總趨于確定的極限I .這時我們稱這個極限I 為函數(shù)f ( x)在區(qū)間a b上的定積分.記作：f(x)dx .naf(x)dx =lim f( ix, -0i 4其中f (X)叫做被積函數(shù)f (x) dx叫做被積表達式.X叫做積分變量.a叫做積分下限b 叫做積分上限.a.b叫做積分區(qū)間.定義 設函數(shù)f (x)在a.b上有界.用分點a=Xo：Xi：X2：Xn_i：Xn=b把a.b分成

15、n個小區(qū)間：Xo.Xi. Xi.X2. 訂Xn. Xn.記Xi=XiXi二(i=1.2. n).任岸XXi ( i =1 r 2 J* n).作和nf (x)dx =lim 二a廠呂f( i)*fi) Xi .i 4f己 n吒點!. X1 區(qū)間a b的分法和X2 ,.： ，: Xn.如果當.J 0時.上述和式的極限存在.且極限值與 i的取法無關(guān).則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的定積分記作f (x)dx .af(x)dx根據(jù)定積分的定義.曲邊梯形的面積為A=ff(x)dx “ 而我們經(jīng)常利用積分定義中的下面的式子limn)：: f (b-a) i 丄)x( b-a)i =1n利用這種方

16、法時應注意區(qū)間的對應性例求極限 lim Usin sin2 sin 広) n n n nn=0 sin (i-1/n) n1二=sin02二 x=求極限lim n n n*(n 1)*(n 2)* (2n-1)設 Xn = limnft*5 “(n 2)* (ZrmJd*(1 ：)* (1 ：)分析直接不能使用積分法，可先取對數(shù)，再去求解1 nk1lim ln xn二瓦 In （1 + ） =10 In （1+x）=2ln2-1n ,n n Qn例計算lim 1( 2n)! rnV n!解！=八響=n(1)(1 2).(1 + n)、n * n! , n!nn n n1 nini 1先考慮 l

17、nan ln(1 )= ln(1 )，從而有-1o =21 n2-1n ynn nlimln a = f ln(1 +x)dx = (1 +x) Un(1 +x) _1:J0因此 lim an =en_ac2ln2 141.10利用級數(shù)利用級數(shù)方法即根據(jù)數(shù)列構(gòu)造相應的級數(shù)，當級數(shù)收斂時，所求數(shù)列極限為0,判別級數(shù)收斂的方法常用的如下（一）比較原則：設7 Un與a Vn是兩個正項級數(shù)，若（1）當0 ：1 ： :時，兩級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散；（2） 當l =0且級數(shù)7 Vn收斂時，級數(shù)7 Un也收斂；（3）當l = * :且級數(shù)a Vn發(fā)散時，級數(shù)V Un也發(fā)散；（二）比式判別法（極限形式）若 a

18、比為正項級數(shù)，且lim 仏=q則Un（1） 當q 1時，級數(shù)7 Un也收斂；當q 1時，或q時，級數(shù)Un發(fā)散；注：當q=1時，）比式判別法不能對級數(shù)的斂散性作出判斷，因為它可能是收斂的，也可能是發(fā)散的.例如，級數(shù)a 12是收斂的，而v 是發(fā)散的nn2與a 1，它們的比式極限都是lim仏=1但n2ny Un(三)根式判別法(極限形式)若 7 un為正項級數(shù)，且lim n un = 1則 n_jpc 電當丨1時，級數(shù)收斂(2)當I 1時，級數(shù)發(fā)散注：當I =1時，根式不能對級數(shù)的斂散性作出判斷例如，級數(shù)與a丄，二者都有nnlim n山=1，但v 是收斂的，而1是發(fā)散的但丄是收斂的n：nnn1而a

19、是發(fā)散的n(四)積分判別法：設f是1,二上非負遞減函數(shù)那么正項級數(shù) -f( n)與非正常積分彳f (x)dx同時收斂或同時發(fā)散;(五)拉貝判別法(極限形式)若 -un為正項級數(shù)，且limn(1 UnJ =r +Un存在，則(1)當r 1時，級數(shù)a Un收斂;(2)當r ：1時，級數(shù)un發(fā)散;(3)當r =1時拉貝判別法無法判斷.構(gòu)造一般項級數(shù)或構(gòu)造相應的幕級數(shù)，求得其數(shù)項級數(shù)的和。利用這種方法時應注意所代入的數(shù)是否在收斂域內(nèi)，否則不能用該種方法nn!lim nn i nn例求極限級數(shù)刀 2呂！用達朗貝爾判別法n.=2 1耳卬：(n 1) n e(吩nn從而級數(shù)刀2J收斂。由收斂的必要條件得lim 2學=o nn例求級數(shù)lim a1+2a2+nann )：:2nqQ解構(gòu)造幕級數(shù)f(x)=limn :n -1n2 (n 1)! nn出n(n 1) 2n!nxn,顯然該幕級數(shù)的收斂域為(-1,1 )。下面求和函數(shù)。n#因為f(x)=QOzn =4n ：;nx