例談分類討論的類型及解題策略

1、最新資料推薦例談分類討論的類型及解題策略例談分類討論的 類型與解題策略 湖南中方縣第一中學 (418005)楊自西 在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對 各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索 性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。本文就分類討論的若干類型及解法作一總結(jié)，供參考 .1.數(shù)學中 的某些概念、定理、性質(zhì)、法則、公式是分類定義或分類給出的，在 運用它們時要進行分類討論數(shù)學中的某些概念、定理、性質(zhì)、法則、 公式是分類定義或分類給出的

2、，在運用它們時要進行分類討論例1.設 0x1 ,a0 且 al，比較 |loga(1 x)| 與|loga(1 + x)| 的大小.分析：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關(guān)，可分兩類討論.解：v 0x101 x1 ,1+ x1 當 0a1 時，|loga(1 x)|loga(1 + x)| = loga(1 x) loga(1 + x) = loga(1 x2)0; 當 a1 時，|loga(1 x)| |loga(1 + x)| = - loga(1 x)- loga(1 + x)=- loga(1 x2)0 由、可知，|loga(1 x)|loga(1+ x)|.例2.已知集合A和集合B各含有12

3、個元素，AB含有4個元 素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：.CAB且C中含有3個元素；.CA .分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類:屬于A元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種.解：C121C82 + C122C8 井 C123C8O 1084. 另解：(排除法)：C320- C012C38=1084.評注：本題是包含與排除的基本問題，正確地解題的前提是正確分類，達到分類完整及每類互斥的要求.并且要確定C中元素如何取法.2.研究含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的量變而導 致結(jié)果發(fā)生質(zhì)變質(zhì)變，因而也要進行分類討論.例3 . (

4、2003年北京西城模擬試題)解關(guān)于x的不等式ax2-22x-ax(aR). 分析：含參的一元不等式的解集問題，先討論二次項系數(shù)，再對開口方 向討論，再對其兩根大小進行分類討論.解：原不等式可化為ax2+(a-2)x-20, (1)a=0 時，x-1，即卩 x(-,-1. (2)a0 時，不等式 即為(ax- 2)(x+1)0. a0時， 不等式化為 0) 1)(2(+xax , 當120aa,即a0時，不等式解為),21,(+a. 當120aa，此時a 不存在. a0時，不等式化為0)1)(2(+xax , 當120aa,即-2a0 時，不等式解為1,2a當120aa,即 a-2時，不等式解為

5、2,1a. 當=120aa,即a=-2 時，不等式解為x=-1. 綜上：a=0時, x(-,-1); a0 時，x),21,(+a;-2a0 時，x 1,2a ; a-2時，x2, 1a;a=-2 時，xx|x=-1. 評述：本題分類討論后采用最新資料推薦分列式歸納結(jié)論，即針對變量分類討論的，且在不同條件下問題有不 同的結(jié)論，歸納結(jié)論時應采用分列式.例4.（2019年全國高考試題） 設a為實數(shù)，函數(shù)1|）（2+二axxxf , Rx （1）討論）（xf的奇偶性；（2）求）（xf的最小值.解：（1）略;（2） （i ） 當 ax 時，43）21（1）（22+二+二axaxxxf.當 21a,則函

6、數(shù)）（xf在,（a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)）（xf在,（a上的最小值為 1）（2+= aaf.若21a,則函數(shù)）（xf 在,（a 上的最小值為af+=43）21（, 且）（）21（aff.（ii ）當 ax 時，函數(shù) 43）21（1）（22+二+二axaxxxf 若21a,貝S函 數(shù)）（xf 在,（a 上的最 小值為af=43）21（, 且）（）21（aff若21a,則函數(shù)）（xf在）,+a上單調(diào)遞增，從而函數(shù)）（xf在）,+a 上的最小值為1）（2+= aaf . 綜上，當21a時，函數(shù)）（xf 的最小值為a43;當2121a時，函數(shù)）（xf的最小值為12+a;當21a 時，函數(shù)）（xf的最小值

7、為a+43.評述：分類討論的的原則：不重 復;不遺漏;分層次，不越級討論.含參問題，結(jié)合參數(shù)的意義及 對結(jié)果的影響而分類討論.3 .在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖形位置不確定或形狀不確定），引起問題結(jié)果有多種可能，就需 要對各種情況分別進行討論.在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖 形位置不確定或形狀不確定），引起問題結(jié)果有多種可能，就需要對 各種情況分別進行討論例5 .設一雙曲線的兩條漸近線方程為 2x-y+仁0, 2x+y-5=0，求此雙曲線的離心率.分析 分析：由雙曲線的 漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應分兩種情況求解.解：（1）當雙曲線的焦點在直線y=3時，雙曲線的方程可改

8、為1) 3()1(222二byax，條漸近線的斜率為 2二ab, b=2. 555222=+=aaabace.(2)當雙曲線的焦點在直線x=1時，仿(1)知雙曲線的一條漸近 線的斜率為2二ba,此時25=e. 綜上(1)(2)可知，雙曲線的離 心率等于255或.例6.已知方程kx2 + y2 = 4,其中k為實數(shù)，對于 不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡 圖.分析：由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx2 + y2 = 4的特點，對參數(shù)k分k1、k = 1、0k1、k = 0、kO五種情況進行討論.解： 由方程kx2 + y2 = 4,分k1、k= 1、0k1

9、、k = 0、kO五種情況討 論如下：當k1時，表示橢圓，其中心在原點，焦點在y軸上，a = 2, b= 2k; 當k = 1時，表示圓，圓心在原點，r = 2; 當0k1時， 表示橢圓，其中心在原點，焦點在 x軸上，a = 2k, b = 2; 當k =0時，表示兩條平行直線y = 2； 當k0時，表示雙曲線，中 心在原點，焦點在y軸上.所有五種情況的簡圖依次如下所示：評述：以上都是由圖形的不確定性所引起的分類討論型問題，應把所有 情況分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論.4 .含有特殊元素或特殊位置的排列組合問題，其解題的基本策略，就是按照特殊元素或 特殊位置的特征進行恰當?shù)膭澐?，轉(zhuǎn)化為最基本、最簡單的排列組合 問題，然后結(jié)合加法原理或乘法原理完成解答. 含有特殊元素或特殊最新資料推薦位置的排列組合問題，其解題的基本策略，就是按照特殊元素或特殊 位置的特征進行恰當?shù)膭澐?，轉(zhuǎn)化為最基本、最簡單的排列組合問題， 然后結(jié)合加法原理或乘法原理完成解答 .例7.（ 1999年全國高考 題）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作 物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求 A、B兩種作物的 間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有種.解：分類討論：（1）先考慮作物A種植在第一壟時，作物B有3種種植方法；（2）再考慮作物A種植在第二壟時，作物B有2種種植方法；（3