10.29梁的位移.疊加法

1、建筑力學(xué) 遲耀輝 2012.10.29 古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境 界：界：“昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路?！?此第一境也。此第一境也?！?衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔 悴。悴。” 此第二境也。此第二境也?！?眾里尋他千百眾里尋他千百度，度，驀然回首，驀然回首， 那人卻在，燈火闌珊處那人卻在，燈火闌珊處?！?此第三境也。此等語(yǔ)皆此第三境也。此等語(yǔ)皆 非大詞人不能道。然遽以此意解釋諸詞，恐為晏、非大詞人不能道。然遽以此意解釋諸詞，恐為晏、 歐諸公所不許也。歐諸公所不許也

2、。 王國(guó)維（清）王國(guó)維（清） 王國(guó)維（王國(guó)維（1877187719271927），）， 字靜安，一字伯隅，號(hào)觀堂，浙字靜安，一字伯隅，號(hào)觀堂，浙 江海寧人。清秀才。早年研究哲江海寧人。清秀才。早年研究哲 學(xué)、文學(xué)，受德國(guó)唯心主義哲學(xué)學(xué)、文學(xué)，受德國(guó)唯心主義哲學(xué) 和資產(chǎn)階級(jí)文藝思想影響。是我和資產(chǎn)階級(jí)文藝思想影響。是我 國(guó)近代美學(xué)史上融中西美學(xué)為一國(guó)近代美學(xué)史上融中西美學(xué)為一 體的第一人。著有體的第一人。著有曲錄曲錄、 宋元戲曲考宋元戲曲考、人間詞話人間詞話 等美學(xué)作品。生平著有作品等美學(xué)作品。生平著有作品6262種，種， 以以觀堂集林觀堂集林最著名。最著名。 王國(guó)維王國(guó)維 檻菊愁煙蘭泣露。檻菊

3、愁煙蘭泣露。 羅幕輕寒，羅幕輕寒， 燕子雙飛去燕子雙飛去。 明月不諳離恨苦，明月不諳離恨苦， 斜光到曉穿朱戶(hù)。斜光到曉穿朱戶(hù)。 昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。 獨(dú)上高樓，獨(dú)上高樓， 望盡天涯路。望盡天涯路。 欲寄彩箋兼尺素，欲寄彩箋兼尺素， 山長(zhǎng)水闊知何處山長(zhǎng)水闊知何處。 晏 殊 佇佇 倚倚 危危 樓樓 風(fēng)風(fēng) 細(xì)細(xì) 細(xì)細(xì) 。 望望 極極 春春 愁愁 ， 黯黯 黯黯 生生 天天 際際 。 草草 色色 煙煙 光光 殘殘 照照 里里 ， 無(wú)無(wú) 言言 誰(shuí)誰(shuí) 會(huì)會(huì) 憑憑 闌闌 意意 。 擬擬 把把 疏疏 狂狂 圖圖 一一 醉醉 。 對(duì)對(duì) 酒酒 當(dāng)當(dāng) 歌歌 ， 強(qiáng)強(qiáng) 樂(lè)樂(lè) 還還 無(wú)無(wú) 味味 。 衣衣 帶

4、帶 漸漸 寬寬 終終 不不 悔悔 ， 為為 伊伊 消消 得得 人人 憔憔 悴悴 。 柳 永： 梁?jiǎn)⒊u(píng)這首詞梁?jiǎn)⒊u(píng)這首詞“自憐幽獨(dú)，傷心人別有懷抱自憐幽獨(dú)，傷心人別有懷抱”。 辛辛 棄棄 疾疾 東風(fēng)夜放花千東風(fēng)夜放花千 樹(shù)。更吹落，星如樹(shù)。更吹落，星如 雨。寶馬雕車(chē)香滿(mǎn)雨。寶馬雕車(chē)香滿(mǎn) 路。鳳簫聲動(dòng)，玉路。鳳簫聲動(dòng)，玉 壺光轉(zhuǎn)，一夜魚(yú)龍壺光轉(zhuǎn)，一夜魚(yú)龍 舞。舞。 蛾兒雪柳黃蛾兒雪柳黃 金縷，笑語(yǔ)盈盈暗金縷，笑語(yǔ)盈盈暗 香去。眾里尋他千香去。眾里尋他千 百度，驀然回首，百度，驀然回首， 那人卻在，燈火闌那人卻在，燈火闌 珊處。珊處。 元夕：元宵節(jié)的夜上稱(chēng)元夕或元元夕：元宵節(jié)的夜上稱(chēng)元夕或元 夜

5、。夜。 花千樹(shù)：花燈之多如千樹(shù)開(kāi)花。花千樹(shù)：花燈之多如千樹(shù)開(kāi)花。 星如雨：指焰火紛紛，亂落如雨。星如雨：指焰火紛紛，亂落如雨。 寶馬雕車(chē)：華美的車(chē)馬。寶馬雕車(chē)：華美的車(chē)馬。 鳳簫：簫的美稱(chēng)。鳳簫：簫的美稱(chēng)。 玉壺：指月亮。玉壺：指月亮。 魚(yú)龍舞：指舞魚(yú)、龍燈。魚(yú)龍舞：指舞魚(yú)、龍燈。 蛾兒、雪柳、黃金縷：皆古代婦蛾兒、雪柳、黃金縷：皆古代婦 女的首飾。這里指盛妝的婦女。女的首飾。這里指盛妝的婦女。 盈盈：儀態(tài)美好的樣子。盈盈：儀態(tài)美好的樣子。 驀然：突然，猛然。驀然：突然，猛然。 闌珊：零落稀疏的樣子。闌珊：零落稀疏的樣子。 “昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。獨(dú)上昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。獨(dú)上 高樓，望盡天涯路。高樓，望

6、盡天涯路?！?“衣帶漸寬終不悔，為衣帶漸寬終不悔，為 伊消得人憔悴。伊消得人憔悴。” “眾里尋他千百度，驀眾里尋他千百度，驀 然回首，那人卻在，燈火闌然回首，那人卻在，燈火闌 珊處。珊處?！?第十一章第十一章 梁和結(jié)構(gòu)的位移梁和結(jié)構(gòu)的位移 位移的度量位移的度量 1 梁的位移梁的位移-撓度及轉(zhuǎn)角撓度及轉(zhuǎn)角 撓度撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線 梁變形后各截面梁變形后各截面 形心的連線形心的連線 C l F A B C C A B B x y 撓度向下為正，撓度向下為正， 向上為負(fù)向上為負(fù). 轉(zhuǎn)角繞截面中性軸轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。 2 2 梁的撓曲線近

7、似微分方程及積分梁的撓曲線近似微分方程及積分 Z EI xM)(1 3 2 2 2 )(1 1 dx d dx d Z EI xM dx d dx d )( )(1 3 2 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 Z EI xM dx d)( 2 2 梁撓曲線近似微分方程梁撓曲線近似微分方程 xo y M M xo y M M 2 2 0 d y dx 1 )( Cdx EI xM dx d Z 21 )( CxCdxdx EI xM Z Z EI xM dx d)( 2 2 C C A B B x y 在小變形情況下，在小變形情況下，任一截面任一截

8、面的轉(zhuǎn)角等于的轉(zhuǎn)角等于 撓曲線在該截面處的切線斜率。撓曲線在該截面處的切線斜率。 dx d tan 通過(guò)積分求彎曲位移的特征：通過(guò)積分求彎曲位移的特征： 1 1、適用于細(xì)長(zhǎng)梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況下的對(duì)稱(chēng)彎曲。、適用于細(xì)長(zhǎng)梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況下的對(duì)稱(chēng)彎曲。 2 2、積分應(yīng)遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛度不連續(xù)處，其、積分應(yīng)遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛度不連續(xù)處，其 撓曲線的近似微分方程應(yīng)分段列出，并相應(yīng)地分段積分。撓曲線的近似微分方程應(yīng)分段列出，并相應(yīng)地分段積分。 3 3、積分常數(shù)由位移邊界條件確定。、積分常數(shù)由位移邊界條件確定。 積分常數(shù)積分常數(shù)C C1 1、C C2 2由

9、邊界條件確定由邊界條件確定 0 xLx 0 x 0 X y 0 X y 0 0 積分常數(shù)確定積分常數(shù)確定 F AB C F D 0, 0 BA 0, 0 DD 位移邊界條件： 連續(xù)條件： 光滑條件： 右左 CC ? CC 例例3 由積分法求圖示梁的由積分法求圖示梁的A、 A。 F AB l 解：解：1、彎矩方程、彎矩方程 y x x FxxM)( 2、微分方程及積分、微分方程及積分 DCxx F EI Cx F EI FxEI 3 2 6 2 3、確定積分常數(shù) 3 , 0; 2 0, 32 Fl D Fl Clx 4、轉(zhuǎn)角方程，撓度方程 5、最大轉(zhuǎn)角和最大撓度 ? ? EI Fl EI Fl

10、A A 3 2 3 2 )23( 6 )( 2 323 22 lxlx EI F lx EI F 例例4 圖示簡(jiǎn)支梁受分布力作用，確定其撓度、轉(zhuǎn)角圖示簡(jiǎn)支梁受分布力作用，確定其撓度、轉(zhuǎn)角 方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角，方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角，EI為常數(shù)。為常數(shù)。 解：1、彎矩方程為： 2 22 )(x q x ql xM 代入微分方程并積分得 DCxqlx qx xEI Cqlx qx xEI 3 4 2 3 12 1 24 )( 4 1 6 )( y 2 22 x q x ql EI 代入邊界條件：(0)=0, (l)=0 D=0 24 3 ql C 所以 )2( 24 )( )46( 24 )( 3

11、23 323 xlxl EI qx x xlxl EI q x EI ql EI ql BA 384 5 , 24 4 max 3 max 求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉(zhuǎn)角。 l A B x y x 2 2 1 xLqxM 2 2 1 xLqxMEI z 1 3 6 1 CxLqEIEI zz 21 4 24 1 CxCxLqEI z 邊界條件邊界條件 3 3 6 LxL EI q z 43 4 4 24 LxLxL EI q z Lx z B EI qL 6 3 z B EI qL 8 4 0 x0 0 x 0 qL C 6 3 1 qL C 24 4 2 xMEI 積分法求解梁位移的思路：積

12、分法求解梁位移的思路： 建立合適的坐標(biāo)系；建立合適的坐標(biāo)系； 求彎矩方程求彎矩方程M(x) ； 建立近似微分方程：建立近似微分方程： 用約束條件或連續(xù)條件，確定積分常數(shù)；用約束條件或連續(xù)條件，確定積分常數(shù)； 根據(jù)本書(shū)的規(guī)定坐標(biāo)系，取負(fù)號(hào)進(jìn)行分析。根據(jù)本書(shū)的規(guī)定坐標(biāo)系，取負(fù)號(hào)進(jìn)行分析。 EI;EI 積分求積分求和和 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度 或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的 撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲計(jì)算彎曲 變形的疊加原理變形的疊加原理。 11-3 11-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎

13、曲變形 11-3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 疊加法計(jì)算位移的條件：疊加法計(jì)算位移的條件： 1 1、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的； 2 2、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線性關(guān)系；位移與荷載呈線性關(guān)系； 3 3、梁上每個(gè)荷載引起的位移，不受、梁上每個(gè)荷載引起的位移，不受其其他荷載的影響他荷載的影響。 2l F B A q C 2l z EI 試用疊加原理求圖示彎曲剛度為EIz的簡(jiǎn)支梁的跨 中截面撓度c和梁端截面的轉(zhuǎn)角AB. 2l B A q C 2l z EI 2l F B A C 2

14、l z EI Fcqcc z qc EI qL 384 5 4 z Fc EI FL 48 3 zz c EI FL EI qL 48384 5 34 FAqAA z qA EI qL 24 3 z FA EI FL 16 2 zz A EI FL EI qL 1624 23 B 例例7 7 已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示， q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面截面 的撓度的撓度w wC C ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B B 1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解 321CCCC wwww 321BBBB wC1 wC2 wC3 2 2）查表得）查表得3

15、 3種情形下種情形下C C截面的截面的 撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI ql B 3 3 3 EI ql wC 384 5 4 1 EI ql wC 48 4 2 EI ql wC 16 4 3 解解 11-3 11-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 wC1 wC2 wC3 3 3） 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷 作用時(shí)的結(jié)果求和作用時(shí)的結(jié)果求和 )( 384 11 1648384 5 4 4443 1 EI ql EI ql EI ql EI ql ww i CiC )( 48 11 3162

16、4 3 3333 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB 11-3 11-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 11.311.3 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 例例8 8 圖示懸臂梁，其彎曲剛度圖示懸臂梁，其彎曲剛度EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。 F B A 2/ l2/ l q C BF wBF F B A wCq wBq B A q C 1.在在F作用下：作用下： EI Fl w EI Fl BFBF 3 , 2 32 查表： 2.在在q作用下：作用下： EI ql EI lq w EI ql EI lq Cq Cq 1288

17、 )2/( 486 )2/( 44 33 查表： BqBFB BqBFB www 3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下： 目錄 EI qll w EI ql CqCqBq CqBq 384 7 2 48 4 3 w 11-4 單位荷載法單位荷載法 11-4-1 外力的功外力的功 v11-4-1 外力的功外力的功 一、基本概念一、基本概念 1、功：一般來(lái)說(shuō)，力所作的功與其作用點(diǎn)移動(dòng)路線的形狀、路、功：一般來(lái)說(shuō)，力所作的功與其作用點(diǎn)移動(dòng)路線的形狀、路 程的長(zhǎng)短有關(guān)。程的長(zhǎng)短有關(guān)。 dsdsPCOSPdTT SS ),( 或： dsPT 2、實(shí)功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點(diǎn)、

18、實(shí)功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點(diǎn) 移動(dòng)路線的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。移動(dòng)路線的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。 PT 2 1 P 當(dāng)靜力加載時(shí)，即：當(dāng)靜力加載時(shí)，即： P由由0增加至增加至P 由由0增加至增加至 實(shí)功的計(jì)算式為：實(shí)功的計(jì)算式為： dW 11-4-2 線彈性桿件的變形位能線彈性桿件的變形位能 l 1 l F l LFW N 2 1 LFV N 2 1 EA LFN 2 2 L e M e M L Z EI ML MW 2 1 MV 2 1 Z EI LM 2 2 橫力彎曲 dx EI xM dV Z 2 2 dx EI xM V L Z 2 2 e M e M O 剛度條

19、件剛度條件 軸向拉壓扭 轉(zhuǎn) 平面彎曲 剛度條件 max max LL max max 變形剛度條件變形剛度條件位移剛度條件 應(yīng)變能應(yīng)變能 應(yīng)變能 EA LF V N 2 2 P GI LT V 2 2 L Z EI dxxM V 2 )( 2 一一 、單位荷載法、單位荷載法 定義：應(yīng)用外力的功和變形位能的概念，通過(guò)加單位力定義：應(yīng)用外力的功和變形位能的概念，通過(guò)加單位力 求實(shí)際位移的方法。求實(shí)際位移的方法。 11-4-3 單位荷載法單位荷載法 證明女孩是魔鬼 Proof that girls are evil 因?yàn)樽放⑿枰獣r(shí)間和金錢(qián) 所以 Girls=Time*Money 因?yàn)椤皶r(shí)間就是金錢(qián)

20、” 所以 Girls=Money*Money=（Money）2 因?yàn)椤敖疱X(qián)是萬(wàn)惡之源”（英語(yǔ)諺語(yǔ) money is the root of evil）本句中的root取“根源”的意思 但是在數(shù)學(xué)上有平方根的意思 所以Money=根號(hào)下Evil Girls=（Money）2=（根號(hào)下Evil）2 Girls=evil F F k 1F k F 1F k F k ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) F 2 F F 2 1 2 )( L Z EI dxxM k 2 1 2 1 2 )(M L Z EI dxx kFk 2 F 1F 2 1 1 2 1 2 )(M)(M L Z EI dxxx V=W 變形位能在數(shù)值上等于外力在變變形位能在數(shù)值上等于外力在變 形過(guò)程中作的功。形過(guò)程中作的功。 ( b ) ( c ) ( d ) x )x()x( F L d EI MM K 二、位移計(jì)算公式的簡(jiǎn)化二、位移計(jì)算公式的簡(jiǎn)化 1、梁和剛架（略去軸向變形和剪切變形影響）：、梁和剛架（略去軸向變形和剪切變形影響）： 2、桁架（只考慮軸力影響）：、桁架（只考慮軸力影響