大拇、小拇和三種手機(jī)卡的故事

1、大拇指頭、小拇指頭和三種手機(jī)卡的故事大學(xué)校園里手機(jī)族的選擇徐奇淵 2003/10/9大學(xué)校園里的莘莘學(xué)子，從來(lái)都是郵政、電信事業(yè)的堅(jiān)定支持者，不過在各個(gè)時(shí)期支持的重點(diǎn)有所不同。就當(dāng)前而言，郵遞員叔叔的綠色制服在偶們的心目中已經(jīng)褪色不少，而網(wǎng)絡(luò)和手機(jī)則在更大程度上滿足了象牙塔里那些驛動(dòng)不安的心靈對(duì)交流與溝通的渴望。目前，各地高校中都有若干種手機(jī)卡以便于各種小年輕進(jìn)行選擇。我們現(xiàn)在以地處東北腹地長(zhǎng)春的東北師范大學(xué)為例來(lái)分析一下手機(jī)卡的選擇行為。首先，介紹一下我們可選擇的三種手機(jī)卡吧吧。甲卡：全稱為“校園行卡”，執(zhí)此卡者：無(wú)月租，單向收費(fèi)，市話、長(zhǎng)途分別為角及角每分鐘，另外每月贈(zèng)短信條，超出部分正常

2、計(jì)價(jià)。乙卡：全稱為動(dòng)感地帶（新）卡，執(zhí)此卡者：每月固定繳元作為短信包月費(fèi)，可發(fā)條短信，超出部分正常計(jì)價(jià)。其市話及長(zhǎng)途等項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)同上。丙卡：全稱為動(dòng)感地帶（老）卡，執(zhí)此卡者：每月固定繳元作為短信包月費(fèi)，可發(fā)條短信，超出部分正常計(jì)價(jià)，其他項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)同上。現(xiàn)假定，此三種卡的可得性都沒有問題（當(dāng)然，事實(shí)并非完全如此，校園行卡現(xiàn)已停辦，不過在這里我們?yōu)榉奖阌懻?，先給出此假設(shè)。）另外，此三種卡都屬于移動(dòng)公司推出，若用其發(fā)送短信給聯(lián)通用戶，則每條正常計(jì)價(jià)為0.15元；若發(fā)給移動(dòng)用戶，則每條短信為0.1元。以上是偶們面臨的選擇，下面介紹兩位同學(xué)給大家認(rèn)識(shí)，讓我們的分析從他們開始。（此兩人的故事，都屬虛構(gòu)

3、；如有雷同，純屬巧合。）第一位同學(xué)號(hào)稱“大拇指頭”，他的大拇指頭本也不大，只因女友遠(yuǎn)隔千里，除了利用手機(jī)定期進(jìn)行千里傳聲的訓(xùn)練之外，更需要定期不定期、定時(shí)不定時(shí)的發(fā)送短信對(duì)自己的學(xué)習(xí)、工作、生活進(jìn)行全方位的現(xiàn)場(chǎng)直播以表其赤膽忠心。另外，短信也因其特有的形式而在很多時(shí)候成為其抒發(fā)及存儲(chǔ)愛情、友情的強(qiáng)有力的電子手段。于是，日久天長(zhǎng)，他的拇就變大大的了。他用的是什么卡呢？第二位同學(xué)叫“小拇指頭”，這位弟兄的拇本來(lái)也不小的，不過買來(lái)手機(jī)就是因?yàn)榇螂娫挼男枰蚪o家里（老父母）、找工作（用人單位）他用的又是什么卡？第三位有一位同學(xué)叫“不大不小拇指頭”，還有一位同學(xué)是“比較小拇指頭”，還有我們能否對(duì)他們選擇

4、手機(jī)卡的行為做些較為一般性的解釋呢？按照一般的思路，三種不同的手機(jī)卡給合每個(gè)月的話費(fèi)預(yù)算分別確定了消費(fèi)者可選擇的三個(gè)稟賦點(diǎn)，這進(jìn)而確定了三種情況下的具體預(yù)算線；此時(shí)，我們結(jié)合表示消費(fèi)者效用具體情況的效用函數(shù)即可解得其選擇行為。下面，首先給出相關(guān)的變量：每月總話費(fèi)的預(yù)算額。（）：每月發(fā)送短信中，發(fā)送給移動(dòng)用戶所占的比重。（01）：每月發(fā)送短信的總條數(shù)（包括贈(zèng)送或包月的條數(shù)）折現(xiàn)所得的人民幣。（0I）：每月長(zhǎng)途及市話費(fèi)用支出，這里將長(zhǎng)途及市話費(fèi)用作捆綁考慮，因?yàn)槿N卡在這方面都有相同的內(nèi)容。(0I)：在總話費(fèi)支出預(yù)算中所占的比重。(01)：在總話費(fèi)支出預(yù)算中所占的比重。(00 所以（4）中的（x,

5、y）確實(shí)為極大值。為了確保x落入?yún)^(qū)間以滿足（3）式對(duì)x的限定，就要求：根據(jù)：、，對(duì)上式進(jìn)行整理可得： （5）此時(shí)，理性的消費(fèi)者會(huì)選擇校園行卡，該情況符合圖二（a）。這類消費(fèi)者的杰出代表就是前面已經(jīng)出場(chǎng)的“小拇指頭”同志。同樣的，我們可以得到：當(dāng)時(shí)，理性的消費(fèi)者就會(huì)選擇動(dòng)感地帶（新）卡，該情況即圖二（b）所示；當(dāng)時(shí)，消費(fèi)者就會(huì)選擇動(dòng)感地帶卡，此為圖二（c）的情況。這類消費(fèi)者的典型代表就是前面介紹過的“大拇指頭”選手了。最后，讓我們來(lái)總結(jié)一下圖二所示的三種情況吧。我們有以下的不等式以及相關(guān)的結(jié)論：其中，、分別對(duì)應(yīng)著三種情況下最優(yōu)的手機(jī)卡選擇方案：甲（校園行卡）、乙（動(dòng)感地帶新卡）、丙（動(dòng)感地帶老卡

6、）。這時(shí)本可以盡興的收工了，但是我們又發(fā)現(xiàn)：、取值圍的并集并沒有充滿，區(qū)間，也就是說還存在著一些空檔我們還沒有對(duì)這些情況下的值做出任何解釋。我們將這些空檔分別命名為：下面我們對(duì)區(qū)間進(jìn)行分析：從上文第三部分我們知道，我們將效用函數(shù)與預(yù)算線的切點(diǎn)限定在區(qū)間內(nèi)，從而得到了的范圍。若我們對(duì)的區(qū)間不作任何限制，即：將的定義域向正、負(fù)兩個(gè)方向進(jìn)行擴(kuò)展，則任意給定的效用函數(shù)總能夠與切于某點(diǎn)。讓我們先來(lái)看看向右擴(kuò)展的情況：如圖三，我們可以得到：擴(kuò)展的部分，即線段上的任一點(diǎn)者不可能成為消費(fèi)者的理性選擇。這是因?yàn)?，我們可以在不改變支出I的情況下，選擇B卡從而將預(yù)算線段由向右平推至；而根據(jù)“多多益善”的原則，我們的

7、境況顯然是改善了。所以，永遠(yuǎn)不可能成為有效的預(yù)算線。（同理，對(duì)于我們也有這樣的結(jié)論。） 再來(lái)討論的定義域向左擴(kuò)展的情況： 我們可以看到：向左上方的虛延長(zhǎng)線是消費(fèi)者不可得的預(yù)算線。但也存在著效用函數(shù)與該虛預(yù)算線相切的可能性。如圖三所示：與該虛預(yù)算線段有切點(diǎn)。此時(shí)，這種理想的選擇便與現(xiàn)實(shí)發(fā)生了矛盾，于是消費(fèi)者只好無(wú)奈地放棄并改為選擇，此時(shí)我們得到的是與的角點(diǎn)解A點(diǎn)（而非切點(diǎn)解）。y U1 AU2 0 x圖三這說明，值落于區(qū)間時(shí)，選擇只能為A點(diǎn)；同樣的，我們有：值落于區(qū)間、時(shí)，最優(yōu)選擇分別為B、C兩點(diǎn)。最后，以下面的數(shù)軸來(lái)對(duì)上面的分析做一個(gè)直觀的總結(jié)吧： 丙卡 C點(diǎn) 乙卡 B點(diǎn) 甲卡 A點(diǎn)0 1收工

8、?。?xì)心的讀者可能發(fā)現(xiàn)，還存在一種情況沒有討論即：分別與兩種電話卡相對(duì)應(yīng)的一個(gè)切點(diǎn)解與一個(gè)角點(diǎn)解同時(shí)存在的情況。這種情況分析起來(lái)頗費(fèi)時(shí)間，而且我自己覺得價(jià)值不是很大，不過考慮到討論的全面性，我還是將分析放到附錄中了。）附錄：正文中只討論了有切點(diǎn)解或只有角點(diǎn)解的情況，但也許還存在這樣一種情況，如圖四所示：此時(shí)無(wú)差異曲線U與、分別有一個(gè)切點(diǎn)解（M）各一個(gè)角點(diǎn)解（B）。 y U M 0 x 圖四B下面要討論：1、 這種情況存在嗎？如果存在，有什么條件？如果不存在，為什么？2、 如果這種情況可能成立，則此時(shí)消費(fèi)者的選擇行為？經(jīng)過證明，這種情況確實(shí)是存在的。下面將證明過程簡(jiǎn)要說明如下：如圖四，有：（F1）其中， 由（4）其中，由（F1）有： （F2）進(jìn)而有：（F3）若存在，使得=0，則可能性得到證實(shí)。（其中，）