09第九章不等式【講義】

1、第九章不等式、基礎知識不等式的基本性質：(1) ab：0；(3) ab= a+cb+c；(5) ab, c0= acb, bc= ac；(4) ab, c0= acbc；(6) ab0, cd0= acbd;(7) ab0, n N+= anbn;(8) ab0, n N+= na n.b;(9) a0, |x|a： : _axa：a 或 xb0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd；重復利用性質(6)，可得性質(7)；再證 性質(8)，用反證法，若n. a乞n b，由性質(7)得(：a)n遼(n b)n，即利，與ab矛盾，所以假設不成立，所以 Qa;由絕對值的意義知(9)成立；-

2、|a|WHa|,-|b|W)2. xy，當且僅當x=y時，等號 成立，再證另一不等式，令3 x = a,3 y = b,3、Z = C，因為 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc3322222=(a+b) +c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) -(a+b)c+c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)=1(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ，所以 a3+b3+c33abc，即 x+y+z 33 xyz，等號當且僅當 x=y=z 時成立。2二、方法與例題1.不等式證明的基本方法。

3、(1)比較法，在證明 AB或A0 )與1比較大小，最B后得岀結論。例 1設 a, b, cR+任意實數(shù) x, y,abc2 2 2x +y +z _ 2 .Y (a +b)(b +c)(cbxyb c心FFxz,【證明】左邊-右邊=x2+y2+z2abbc2 (b c)(c a)xy 一2 (a b)(c a)ca-2, (a b)(b c)-2abxy+y2(b c)(c a) c a2 (a b)(c a)bc yz 丄 z2 旦 z_2 a +b a +bcaccaJ為x+袞y所以左邊 右邊，不等式成立。例 2 若 axlog(1_x)(1_x)=1c 2xb c2c x -0. b c

4、lga(1-X)(因為 01-x0, 01-x|log a(1-x)|.(2) 分析法，即從欲證不等式岀發(fā)，層層推岀使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為: 要證”，只需證”。例 3 已知 a, b, cR+，求證：a+b+c-3 3 abc 羽+b - 2 ab.【證明】要證 a+b+c 一33 c a b 為+b - 2、ab.只需證 c 2 . ab _ 3? abc，因為c 2= ab二cJab ab _ 33 c b二33 abc，所以原不等式成立。例4 已知實數(shù) a, b, c滿足0a弐 它三1，求證： 一2一 _ 1 12 c(1 c) 一 a(1 b) b(1a)所以a(

5、1 _a)b(1 -b)1c(1 _c)【證明】1因為 0abcw ，由二次函數(shù)性質可證 a(1-a) b(1-b) (k+1)k，當 n=k+1 時，只需證(k+1)k+2(k+2)k+1，即(k 1)k 2(k 2)k 1因為1 1所以2 -_ 2 ，a(1_a) b(1_b)b(1 _b)c(1 - c)1所以只需證明.1(n+1)n 【證明】1)當n=3時，因為34=8164=43，所以命題成立。,k 1(k 1)k 2 k k 1只需證(k+1)2k(k+2)，k -1，所以只需證(k )k 4 k -，即證(k+1)2k+2k(k+2) k+1(k 1)k(k 2)k 1 (k 1

6、)k即證k2+2k+1k2+2k.顯然成立。所以由數(shù)學歸納法，命題成立。(4) 反證法。例 6 設頭數(shù)ao,a1,3 滿足ao=an=O，且ao-2a什a20,ai -2a2+a30,an-2-2an-1 +an20，求證ak0(k=1, 2,n-1).【證明】假設3k(k=1,2,n-1)中至少有一個正數(shù)，不妨設a-是a1,a2,an-1中第一個出現(xiàn)的正數(shù),則 ay, a2切,ar-10, ar0.于是 ar-ar-10，依題設 ak+1-a2ak-ak-1(k=1,2, , , n-1)。所以從 k=r 起有 aak-12n-1-an-2 2 2-ar-10.因為環(huán)為k-12 為+1冋0與

7、an=0矛盾。故命題獲證。(5)分類討論法。例7已知x, y, zR+，求證2 x2-y-+2 2y -z2 2z - xc0.y-zz xx y【證明】不妨設xy, xz.i) X弓注，則1 :11x2 22 宜2：，由排序原理可得x y x+zyz2 22222x丄zy+zx-，原不等式成立。y z z -x x yy z z -x xyii)xzy，則1 :1B，可證 AC1, C12”，Cn-1n, CnB(n N+).1例8求證：1 21【證明】 11+ +31+2312 1”1n .2 -1n(n 亠2).1 + 1 12n2n2n丄二丿，得證。2 2n 2已知a, b, c是AB

8、C的三條邊長,【證明】a b+a m b mba + b+=m0，求證:a ba+a m b m a b m彳 m1 - c m(7 )引入?yún)⒆兞糠?。?0已知X, y R+, I, a, b為待定正數(shù),3 a f(x, y)= r xb 3-2的最小值。y【解】klf(x,y)=(1k)2l2b3 a3k a3k b3k2b3b3kva3k21-2 (a3+b3+3a2b+3ab2)=I2(a b)3I2例11設J3.，等號當且僅當 a = b 時成立。所以 f(x, y) min= ( 2匕)x yI2X1X2 223X4 52, X2+X3+X4 21，求證：(X1+X2+X3+X4)2

9、 詔X1X2X3X4. 、幾1設 X1=k(X2+X3+X4)， 依題 設有一 惑 c)，得證。c m2 2I1,1 上 遞減,(1+k)(X2+X3+X4)4kx2X3X4(X2+X3+X4)，即(1 k)(X2+X3+X4)夯2X3X4，因為 f(k)=k+ 丄在 _4kk IL32(1 + k)211所以(X2+X3+X4)=(k2) (X2+X3+X4)4k4k13 _ 23- 3X2=4X2 _ 2(1(21* -2衛(wèi).丿3.3 2X .2X3同理13.3z1 -Z22-y3.3- 2所以-1X+2 彳 2-X 1 - yz+1 -z23、33 3(x2 y2 z2r2例13已知 o

10、a, b, ci,求證:bc 1 乞2a . a b cb cca 1 ab 1【證明】先證一be +1即 a+b+cW2bc+2.即證(b-1)(c-1)+1+bc sa.因為0Wa, b, c1，所以式成立。同理b 一一 ,c一 2cca+1a+b+cab+1 a+b+c三個不等式相加即得原不等式成立。(9)利用函數(shù)的思想。1 1 1例14已知非負實數(shù) a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。a+bb+cc+a55【解】 當a, b, c中有一個為0,另兩個為1時，f(a, b, c)=,以下證明f(a, b, c).不妨設a%丸,22口“ c 站32c

11、丄 a + b 丄 1則 0 wcw, f(a, b, c)=卡廠3c2 +1c2 +1 a+b2斗(a+b)+(a+b)c,4a+b( . c2 1 -c).1 2,g(t)在.c 1 :：)上單調遞增。 t解關于a+b的不等式得因為 1=(a+b)c+ab 考慮函數(shù)g(t)=c2 +1又因為 0ww3，所以 3c242 2=2下證 3(1 Jc2 +1) +c 啟 0 W 3+C 蘭 3jc2+1= c2+6c+9 為c2+9 w c -3 V33u C .因為c，所以式成立。4 3455所以 f(a, b, c) ，所以 f(a, b, c)min=.222 幾個常用的不等式。n(1 )

12、柯西不等式：若 qR, bjR, i=1,2, , , n，則ai2)C bC L ai bi )2.i Ai 4等號當且僅當存在 衣R，使得對任意i=1,2, , n, ai= ,變式 1 :若 , biCR, i=1, 2, n，則 en y binC ai)2n2C bi )i呂等號成立條件為 ai= 2bi,(i=1,2, , , n)。變式2 :設ai, bi同號且不為0(i=1,2,aibin(二 ai )i n、 ai bii呂等號成立當且僅當b1=b2=, =bn.(2)平均值不等式：設a1, a2, ,an*R+,記 Hn=n11+a1a2an,Gn= ： a?anAn/ W

13、n,Qna2a； a2，則HnGnAnQn.即調和平均 機何平均 傷術n平均 平方平均。其中等號成立的條件均為日1=玄2=, =an.【證明】由柯西不等式得 AnQn,再由GnAn可得Hnkk a1 a2ak2k2ka1a2ak 站=2k2kG=2kGk+1,所以 a1+a2+, +ak+1 k+1)G k+1，即 A k+1 Gk+1.所以由數(shù)學歸納法，結論成立。(3)排序不等式：若兩組實數(shù)a1a2,令n且b燉2W 弐n，則對于b1, b2, , , bn的任意排列b. ,b.,，b.，有a!bn+a2bn-1+,+anb1a1b a2b： an b0，所以-222ai.a2,n.anda3

14、an22.a2_ n. an4a3an證法三： 設a2ai, a2,an從小到大排列為a.|i2an為i+a2+, ai2 、+亞ai丿2an ai +a?+, +an.ai a. na2注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應用,ah2a2a32.+ an-!anan，得證。a希望讀者在解題中再加以總結。三、基礎訓練題1 .已知2.已知3.已知2 .2+a bOvxvi，a, bR，則x i - xixR +，則x+飛的最小值是_Xa, b, cR，且 a2+b2+c2=i, ab+bc+ca 的最大值為 M，最小值為 N，貝U MN=的最小值是x2，卜 ax -14 若不等式_3 ：:2:：

15、: 2對所有實數(shù)X成立，則a的取值范圍是X X +1若不等式. 2x1 : x+a的解是xm，則m的最小值是.a+b=4” 是“不等式 |x-a|+|x-b|8 的解集是x|-2x6的5.6.若a, b R+ ,則a+b=1 ,以下結論成立是條件. a4+b4 J ;81毛3+b3 :Ja +1 +品+丄蘭2 ； ab .28.已知9.已知Q4后00, b0 且 a- b, m=aa3b, n=abba,則比較大?。?m n N+，求證：14 3n22n.12.已知20a1，x +y=0，求證:n2 2n 11x y1loga(a +a ) wloga2+ .813.已知XX1 -2X2四、高

16、考水平訓練題1 .已知 A=asin 2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x R)， 設 m=AB, n=ab, P=A 2+B2, q=a2+b2，則下列結論 成立的有. (1) m刑，p羽；(2) mq, pq; (3) m+pn+q； (4) m+qn+p.2已知 a, b, c, dR，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大?。?MN.3若a=b,a,bR+，且a 3，b= _3，將.3,a,b,-從小到大排列為2b4. 已知ABC的三邊長a, b, c滿足b+cX

17、20, 1a0，記 y1X11 a&已知函數(shù)y1 +cosx的值域是+ 2 y2 =妙+ X2 ，比較大小：僅2 1a 1 a 1 a4i- +=c i，則實數(shù)a的值為._ 3,y1 y2.9 .設avc是直角ABC的三邊長,若不等式丄1恒成立，則M最大值為則匸2的取值范a -1a b c a+b+c10實系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1,另一個根大于1且小于2,圍是.11 .已知a, b, c R+且滿足a+b+cabc，求證：下列三個式子中至少有兩個成立：632632632_+_+_畠2, _ + _+ _2,_+_+_ 2.a b c b c a cab1 112.已知

18、 a, bR+且 一-=1，求證：對一切 n N+，(a+b)n-an-bn22n-2n+1.a b“+ 十r c 1 a 丄 b13. 已知 a, b, c R，求證：一a+b b+c c + a xy + 2yz14. 設x, y, z是3個不全為零的實數(shù)，求 一22x + y + z的最大值。五、聯(lián)賽一試水平訓練題21. 已知印，a2, b1, b2, 5, cR , QCrb =a2c2 -2. 已知 x2+y2-xy=1，則 |x+y-3|+|x+y+2|=3. 二次函數(shù) f(x)=x 2+ax+b，記 M=max|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|，則 M 的最小值為4 .設實數(shù) a, b, c, d滿足aWbCWd或者abcd，比較大?。?(a+c+d)(a+b+d)(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).n 1xi R+, i=1,2, , ,n 且.1，則 X1X2, Xn 的最小值為 _y 1 十 xi22x, y R, f(x, y)=x +6y -2xy-14x-6y+72 的最小值為 .5.6.7.8.9.已知已知已知已知已知0, P=(a1-a2)(c1-c2),