數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文矩陣初等變換的若干應(yīng)用

1、 矩矩陣陣初初等等變變換換的的若若干干應(yīng)應(yīng)用用 some applications of elementary transformation of matrix 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校 二一 摘摘 要要 本文介紹了矩陣初等變換在高等代數(shù)中的一些應(yīng)用, 總結(jié)了其在求矩陣和向量組 的秩、求逆矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、求解矩陣方程以及求一元多項(xiàng)式最大公因式中 的應(yīng)用. 關(guān)鍵字: 初等變換; 秩; 逆矩陣; 標(biāo)準(zhǔn)形; 矩陣方程; 最大公因式 abstractabstract in this paper, we introduce some applications of el

2、ementary transformation of matrix in algebra, and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solving the matrix equation and the monadic polynomial greatest common factor. ke

3、ywords: elementary transformation; rank; inverse matrix; standard form; matrix equation; greatest common factor 目 錄 摘 要 .i abstract .ii 0 引言 .1 1 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念 .1 2 用初等變換求矩陣和向量組的秩 .2 3 用初等變換法求逆矩陣 .3 4 用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 .4 5 用初等變換求解矩陣方程 .5 5.1 當(dāng),b可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解 .5a 5.2 當(dāng)a,b不可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解 .6 6 用初等變

4、換討論一元多項(xiàng)式最大公因式的求法 .8 參考文獻(xiàn) .11 0 引言 矩陣?yán)碚撌谴鷶?shù)的主要內(nèi)容之一, 在數(shù)學(xué)及其它科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用. 在 矩陣的應(yīng)用中, 矩陣的初等變換起著關(guān)鍵作用. 關(guān)于矩陣初等變換的應(yīng)用, 前人已經(jīng) 得出了很多有價(jià)值的結(jié)論, 本文在前人理論的基礎(chǔ)上對(duì)矩陣的初等變換在代數(shù)中的若 干應(yīng)用進(jìn)行了一些討論. 歸納了初等變換在求矩陣和向量組的秩, 矩陣的逆, 化二次 型為標(biāo)準(zhǔn)形, 線性矩陣方程的解以及求一元多項(xiàng)式的最大公因式等方面的應(yīng)用. 1 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念 我們先來(lái)看看有關(guān)矩陣初等變換和初等矩陣的相關(guān)知識(shí): (1) 對(duì)矩陣施以以下三種變換, 稱為矩陣的初等

5、變換: (i) 交換矩陣的兩行(列); (ii) 以一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某行(列);k (iii) 矩陣的某行(列)加上另一行(列)的倍.k (2) 矩陣的初等變換用如下形式表示: (i) 交換矩陣的第 行(列)與第行(列): 或;ij ji rr ji cc (ii) 非零常數(shù)乘矩陣的第 行(列): 或; ki i kr i kc (iii) 矩陣的第 行(列)加上第行(列)的倍: 或.ijk ji krr ji kcc (3) 初等矩陣 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣, 共 3 類:e (i)交換的第 行與第行(或第 列與第列)得到的初等矩陣;),(jipeijij (ii

6、)（或）用數(shù)域中的非零數(shù)乘的第 行(或第列)( kip)(kjppkeij 得到的初等矩陣; (iii)把的第行的倍加到第 行(或第 列的倍加到列)得)(,(kjipejkiikj 到的初等矩陣. 2 用初等變換求矩陣和向量組的秩 由于初等變換不改變矩陣的秩, 且任意一個(gè)矩陣均可以經(jīng)過(guò)一系列行初等變nm 換化為梯形矩陣; 因此, 我們要確定一個(gè)矩陣的秩, 首先要用行初等變換將其化nm 為梯形矩陣, 然后再由梯形矩陣的秩確定原矩陣的秩. 例 1 設(shè), 求矩陣的秩. 03341 43121 01101 22413 aa 解 03341 43121 01101 22413 a 02240 42220

7、 01101 21110 24 23 21 3 rr rr rr 00000 86200 21110 01101 4321 14 13 4 2 rrrr rr rr 因此矩陣的秩為 3.a 如果我們要求向量組的秩, 可以把每一向量作為矩陣的一行, 從而向量組就轉(zhuǎn)化 為了一個(gè)矩陣, 使求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩, 自然使問(wèn)題簡(jiǎn)單化了. 例 2 求向量組 , , , , )4 , 2 , 0 , 1( 1 )2 , 1, 3 , 1 ( 2 )4 , 5, 1 , 3( 3 )0 , 2 , 1, 1 ( 4 )3 , 5, 1 , 2( 5 的秩. 解 以為列, 構(gòu)造矩陣, 再對(duì)進(jìn)行行初等變換

8、, 化為梯形矩陣: 54321 ,aa 30424 52512 11130 21311 ),( 54321 a 1141660 14110 11130 21311 14 13 4 2 rr rr 17201000 14110 413200 21311 3432 1 63rrrr r 3785000 413200 14110 21311 34 32 5rr rr 因此, 矩陣的秩是 4, 從而向量組的秩也是 4.a 54321 ， 3 用初等變換法求逆矩陣 如果是階可逆矩陣, 我們將與并排放到一起, 形成一個(gè)的矩陣anaenn2 , 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列行初等變換, 將其左)|(ea)|(

9、)|( 11 aeeaa)|(ea 半部分化為單位矩陣, 這時(shí)右半部分就是. 1 a 例 3 設(shè)，求. 111 142 251 a 1 a 解 )|(ea 100111 010142 001251 101140 012360 001251 13 12 2 rr rr 1 3 2 3 1 100 0 6 1 3 1 2 1 10 0 6 5 3 2 2 1 01 2123 2 54 6 1 rrrr r . 1 3 2 3 1 100 2 1 6 1 6 1 010 2 1 2 1 2 1 001 32 31 2 1 2 1 rr rr 因此, . 1 3 2 3 1 2 1 6 1 6 1 2

10、 1 2 1 2 1 1 a 同理, 如果是階可逆矩陣, 我們將與并列放到一起, 形成一個(gè) 的anaenn2 矩陣, 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列列初等變換, 將其上半部分 e a 1 1 a e e a a e a 化為單位矩陣, 這時(shí)下半部分就是. 用初等變換法求逆矩陣是一種通用而較簡(jiǎn)便的 1 a 方法. 正確地選擇和使用它們能更快更好地解決各類求逆矩陣問(wèn)題. 4 用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對(duì)任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化axxxxxf n ),( 21 cyx 為標(biāo)準(zhǔn)形, 即為對(duì)稱矩陣找一個(gè)可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣, 而可逆矩acdacc 陣可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積,

11、所以存在初等矩陣有， s ppp, 21 s pppc 21 從而有是一個(gè)對(duì)角矩陣.dppapppp ss 2112 由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下: 首先, 寫出二次型的矩陣, 構(gòu)造矩陣, 然后對(duì)矩陣每進(jìn)行一次行初nn2 e a e a 等變換后, 就對(duì)進(jìn)行一次同樣的列初等變換, 當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí), 單位矩陣 e a a 將化為可逆矩陣, 此時(shí), 最后得到可逆矩陣和非退化線性變換ecdaccc , 在這個(gè)變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.cyx dyyf 例 4 化二次型 323121 2 3 2 1321 6442),(xxxxxxxxxxxf 為標(biāo)準(zhǔn)形, 并寫出所用的非退化

12、線性替換. 解 題中二次型的矩陣為, 由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 232 302 221 a 的步驟可知: = e a 1 0 0 1 0 0 0 2 0 3 1 2 3 2 0 2 2 1 1313 1212 22 22 ccrr ccrr 1 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 0 1 0 4 0 0 1 , 100 4 1 10 2 3 21 4 7 00 040 001 23 23 4 1 4 1 cc rr 400 110 621 2800 040 001 3 3 4 4 c r 從而非退化線性替換為, 原二次型化為. 3 2 1 x x x 3 2 1 400 110

13、621 y y y 2 3 2 2 2 1 284yyyf 在運(yùn)用矩陣初等變換來(lái)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵: 對(duì)矩陣進(jìn)行的行初等變換和 e a 列初等變換必須是一致的. 5 用初等變換求解矩陣方程 5.1 當(dāng),可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解ab 我們知道的解為bax 1 . 實(shí)際上就是計(jì)算形如ba 1 的矩陣乘積, 因?yàn)閎ax ),(),( 11 baebaa , 所以經(jīng)過(guò)行初等變換可使),(ba化為),( 1b ae , 也即對(duì)nn2矩 陣),(ba作初等行變換, 當(dāng)a處變成單位矩陣e時(shí), b處得到的矩陣就是ba 1 . 例 5 求解矩陣方程bax , 其中 121 011 322 a， 321

14、 011 324 b. 解 321121 011011 324322 ),(ba 330110 302340 011011 13 12 21 2 rr rr rr , 9122100 330110 011011 3 23 23 4 r rr rr 9122100 692010 683001 21 32 rr rr 因此 9122 692 683 1b ax. 5.2 當(dāng),不可逆時(shí)線性矩陣方程的解abbax 當(dāng), ,不可逆時(shí)我們將要用到新的初等變換法來(lái)解這種矩陣方程.ab 定理 5.2.1 如果矩陣方程有解, 且可逆矩陣使, 那bax qp和 00 0 r e paq 么該矩陣方程的通解為, 其

15、中為的前 行組成的矩陣, 中的元素可 1 x bp qx p pr 1 x 以任意取值. （證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)5） 以上定理可給出求解矩陣方程的具體方法:bax （1）把, , ,放到一起, 組成一個(gè)矩陣, 然后對(duì)其做初等行變換, 使abe),(eba 得經(jīng)過(guò)行變換后得到矩陣, 其中是上階三角矩陣, 從而可確定矩陣和矩),( 11 pba 1 aa 陣的秩, 判斷方程是否有解, 同時(shí)取的前面 行作成, 它滿足, 且),(bapr p 1 apa 為的前 行. b p 1 br （2）如果上述方程有解, 則對(duì)作初等列變換. 經(jīng)過(guò)列變換后變成其中 e a1 q d , 必有. 00 0 r e ddp

16、aq （3）從而由定理 5.2.1 可知，的通解公式為.bax 1 x bp qx 例 6 設(shè) , , 5163 3121 4142 1021 a 14102 860 1181 321 b 求矩陣方程的通解.bax 解 根據(jù)求解矩陣方程的步驟, 首先將放到一起, 組成一個(gè)矩陣bax eba, , 如下: ),(eba , 1000141025163 01008603121 001011814142 00013211021 ),(eba 然后對(duì)其作一系列初等行變換, 使得為上三角矩陣, 即a .）（ 行變換行變換 pba, 10110000000 01110000000 00125412100

17、00013211021 11 很明顯, 矩陣和矩陣的秩都是 2, 故該方程有解.a),(ba 取=, 有=, 接下來(lái)對(duì)作初等列變換 p 0 0 0 0 1 0 2 1 p b 5 3 4 2 1 1 e a1 , 1000 2010 0100 1201 0000 0000 0010 0001 1000 0100 0010 0001 0000 0000 2100 1021 1列變換 e a 經(jīng)過(guò)列變換后我們可得到. 1000 2010 0100 1201 q 從而, 由定理 5.2.1 知, 該方程的通解為 1 x bp qx 6 3 5 2 4 1 5 3 4 2 1 1 1000 2010

18、0100 1201 x x x x x x , 1 1 2 0 1 0 0 1 2 0 5 0 3 0 4 0 2 0 1 0 1 x 其中是任意的矩陣. 1 x32 矩陣方程的通解公式和解法與上面類似（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)2或5）, 應(yīng)用bxa 矩陣的初等變換來(lái)求解矩陣方程具有很大優(yōu)點(diǎn), 不但通俗易懂, 而且容易掌握. 6 用初等變換討論一元多項(xiàng)式最大公因式的求法 求一元多項(xiàng)式最大公因式的方法, 目前最常用的方法是輾轉(zhuǎn)相除法和因式分解法. 下面給出用矩陣及其初等變換來(lái)求一元多項(xiàng)式的最大公因式, 而且方便快捷. 定理 6.1 設(shè), 令, 則對(duì)實(shí)施一系列)()( 21 xpxfxf， 10 01 )()

19、( )( 21 xfxf xa)(xa 初等列變換后得, 此時(shí), 且是 22 11 *)( *)( 0)( )( xu xu xd xb)()()()()( 2211 xdxuxfxuxf)(xd 與的最大公因式.)( 1 xf)( 2 xf 證明 若不全為零, 則必有一個(gè)次數(shù)相對(duì)較低的多項(xiàng)式, 不妨設(shè)為)()( 21 xfxf、 , 對(duì)進(jìn)行初等列變換, 第一列乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式加到第二列上, 消去)( 1 xf)(xa 的最高項(xiàng), 由于的次數(shù)有限, 重復(fù)上述過(guò)程, 必然出現(xiàn)矩陣中第一)( 2 xf)()( 21 xfxf、 行只有一個(gè)非零元, 而其它均為零的情形, 即. 22 11 *)(

20、 *)( 0)( )( xu xu xd xb 以上對(duì)所實(shí)施的變換, 即存在初等矩陣, 使得)(xa )()( )()( )( 43 21 xpxp xpxp xp . 22 11 43 21 21 *)( *)( 0)( )()( )()( 10 01 )()( xu xu xd xpxp xpxp xfxf 因而 , , , )()()()()( 3211 xdxpxfxpxf)()( 11 xuxp)()( 23 xuxp 即 .)()()()()( 2211 xdxuxfxuxf 設(shè)矩陣的逆矩陣為, 顯然也是初等矩陣, 由于)(xp )()( )()( )( 43 211 xqxq x

21、qxq xp)( 1 xp . 因而, 即)()()(xpxaxb)()()( 1 xaxpxb , 10 01 )()( )()( )()( *)( *)( 0)( 21 43 21 22 11 xfxf xqxq xqxq xu xu xd 于是, , 從而是與的公因式, 從而)()()( 11 xfxqxd)()()( 22 xfxqxd)(xd)( 1 xf)( 2 xf 可知: 是與的最大公因式.)(xd)( 1 xf)( 2 xf 例 7 求, , 其中)(xf)(xg的最大公因式 , .242)( 234 xxxxxf22)( 234 xxxxxg 解 10 01 )()( )(

22、 xgxf xa 10 01 22242 234234 xxxxxxxx 21 11 22 23 1212 21 x x xxx ccxcc cc 因?yàn)? 所以, 且同時(shí)還滿足)2( | )2( 32 xxx)(),(2 2 xgxfx .)()2()() 1(2 2 xgxxfxx 上述方法可靈活運(yùn)用, 不一定必須用次數(shù)最低的多項(xiàng)式去消其它多項(xiàng)式. 也可以 用次數(shù)較高的多項(xiàng)式去消次數(shù)更高的多項(xiàng)式, 以達(dá)到逐漸消去各多項(xiàng)式最高項(xiàng), 使第 一行只剩下一個(gè)非零元素的目的. 以上方法只討論了列的情形, 行的情形與列相同, 此時(shí), 行初等變換的結(jié)果是第一列只剩下一個(gè)非零元素, 該元素 10)( 01)( )( 2 1 xf xf xa 即為多項(xiàng)式的最大公因式（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)2）. 對(duì)于求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式, 輾轉(zhuǎn)相除法是一種比較好的方法, 但對(duì)于求多 個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式, 輾轉(zhuǎn)相除法在理論上可行