專題十三相似三角形定理與圓冪定理

1、專題十三 相似三角形定理與圓冪定理本專題主要復(fù)習(xí)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、圓的進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)通過本專題的復(fù)習(xí)，了解平 行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射 影定理理解圓周角定理及其推論；掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其 推論掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理 【知識(shí)要點(diǎn)】1相似三角形概念 相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形 相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比2相似三角形的判定 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等

2、兩三角形相似 ）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè) 三角形相似 （簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）3直角三角形相似的判定定理 直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比 例，那么這兩個(gè)直角三角形相似4相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角

3、形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形的面積比等于相似比的平方5相關(guān)結(jié)論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊成兩段的長(zhǎng)度比等于夾角兩邊長(zhǎng)度的比經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于底邊的直線平分另一腰 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 若一條直線截三角形的兩邊 （或其延長(zhǎng)線 ）所得對(duì)應(yīng)線段成比例， 則此直線與三角形的第三邊平 行6弦切角定理弦切角定義：切線與弦所夾的角 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半7圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 8圓冪定理相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成

4、的兩條線段長(zhǎng)的積相等 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的 比例中項(xiàng)割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于 A、B、C、D則有PA PB = PC PD .【復(fù)習(xí)要求】1了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解 直角三角形射影定理2理解圓周角定理及其推論；掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論.3 .掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.【例題分析】例1 如圖，在 ABC中，/ BAC= 90, E為AC中點(diǎn)，AD丄BC于D, DE交BA的延長(zhǎng)線 于

5、F .求證：BF : DF = AB : AC .2AB DF【分析】 欲證，雖然四條線段可分配于 ABC和厶DFB中，由于 ABC和厶FBDAC AF一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，不可能由這一對(duì)三角形相似直接找到對(duì)應(yīng)邊而得結(jié)論，Ab bd故需借助中間比牽線搭橋，易證Rt BACs Rt BDA，得出 二，于是只需證出AC ADDF BD，進(jìn)而須證 DFB AFD即可.AF AD證明：/ AB丄 AC, AD 丄 BC,AB B RtA ABD s RtA CAD，/ DAC = Z B ,二AC AD又 AD丄BC, E為AC中點(diǎn)， DE = AE，/ DAE =Z ADE，/ B=Z

6、 ADE ,又/ F = Z FFAD FDB , 匹 二匹AD DF由得ABACBFDF【說明】由于 ABC和厶FBD這兩個(gè)三角形一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，明顯不 相似，不可能由這一對(duì)三角形相似直接找到對(duì)應(yīng)邊而得結(jié)論，且圖中又沒有相等的線段來代換,勢(shì)必要找“過渡”的線段或線段比，這種尋找“中間”搭橋的線段或線段比是重要的解題技巧此題用到直角三角形中斜邊上的高這個(gè)“雙垂直”的基本圖形，這里有三對(duì)相似三角形，這個(gè)圖形 在證相似三角形中非常重要.例 2 ABC 中，/ A = 60, BD ,CE是兩條高，求證:1DE =BC1【分析】欲證DE BC ,只須證2A 1由已知易得，于是只須

7、證明AB 2DEBCDE12 ADBCABAD AE 1 進(jìn)而想到證明 ADE s ABC，這可以由LAD =2 =1證得.AB AC 2證明：/ A= 60, BD , CE 是兩條高，/ ABD = Z ACE = 301 1 “ AD AE1AD AB , AE AC , ，又/ A=/ A2 2AB AC 2DE AD 11 ADE ABC,：=-DE =_BCBC AB 22【說明】在判定相似三角形時(shí)，應(yīng)特別注意應(yīng)用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，則兩三角形 相似”這條判定定理.例3 已知：如圖， ABC中，AD丄BC于D, CE丄AB于E, AD、EC交于F ,求證CD二史AD BD【

8、分析】CD、FD在厶FDC中，AD、BD在厶BDA中，所以證厶FDC與厶BDA相似便可以得 到結(jié)論.證明：/ AD 丄 BC 于 D, CE 丄 AB 于 E,：Z ADC = Z ADB = 90,/BAD + Z B= 90,/ BCE +Z B= 90 ,/ BAD = Z BCE , FDC BDA ,.CD FD二 AD BD【說明】 為什么找到 FDC與厶BDA相似呢？從求證的比例式出發(fā)，“豎看”，線段CD、AD 在厶ADC中，但線段FD、BD卻不在一個(gè)三角形中；那么“橫瞧” ，CD、FD在厶FDC, AD、BD 在厶BDA中，所以證厶FDC與厶BDA相似便可以得到結(jié)論.小結(jié)為“橫

9、瞧豎看分配相似三角形”.例4 如圖，平行四邊形 ABCD , DE丄AB于E, DF丄BC于F，求證：AB DE = BC DFAD DE【分析】化求證的等積式為比例式：ABBCD匸，又因?yàn)镃D = AB, AD = BC,即證明比例式DECDDFADDE證明：平行四邊形ABCD , /C =/ A,/ DE 丄 AB 于 E, DF 丄 BC 于 F,AED = / DFC = 90,.山 CFDAED,CDDFBC DECD = AB, AD = BC,=匹即 ab DE = BC DF .【說明】 竺二 匹,“橫瞧豎看”都不能分配在兩個(gè)三角形中，但題中有相等的線段：CDBC DE=AB,

10、 AD = BC所以可橫瞧豎看用相等線段代換過來的比例式：_CD二 竺，這個(gè)比例式中的四AD DE條線段可分配在兩個(gè)相似三角形中.D.例5 AB是O O的直徑，點(diǎn)C在O O 上, / BAC = 60, P是0B上一點(diǎn)，過P作AB的垂線 與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q ,(1) 求證： CDQ是等腰三角形；(2) 如果 CDQ COB，求 BP : P0 的值.【分析】 證明 CDQ是等腰三角形，只需證明/ DCQ = Z Q,禾U用題目中已有的相似三角形 和等腰三角形把這兩個(gè)角的關(guān)系建立起來并可以得到各邊的比例關(guān)系，不妨把圓的半徑設(shè)為1 ,簡(jiǎn)化計(jì)算.(1) 證明：由已知得/ ACB = 90,/

11、ABC = 30,/Q = 30,/ BCO = / ABC = 30.v CD 丄 OC,/ DCQ =/ BCO = 30，/ DCQ = / Q, CDQ是等腰三角形.(2) 解：設(shè)O O的半徑為1,貝U AB= 2, OC = 1 ,AC = AB =1,BC = . 3.2等腰三角形 CDQ與等腰三角形 COB全等， CQ = BC= , 3 ./ AQ 二 AC CQ = 1. 3 , AP 二丄 AQ-2 21亠 3BP 二 AB - AP = 2PO = AP AO1.323 -12 BP： PO = 3 .【說明】利用好相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的條件，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解題中常用的技

12、巧.例6 ABC內(nèi)接于圓O, / BAC的平分線交O O于D點(diǎn)，交O O的切線BE于F ,連結(jié)BD ,CD.求證：(1)BD 平分/ CBE; (2)AB BF = AF DC .【分析】可根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角及弦切角的關(guān)系推出由條件及(1)的結(jié)論，可知BD = CD ,AB BD因此欲求AB BF = AF DC,可求，因此只須求 ABFBDF即可.AF BF證明： / CAD = Z BAD = Z FBD，/ CAD = Z CBD ,/ CBD =Z FBD , BD 平分/ CBE.(2)在厶DBF與厶BAF中，/人人AB BD/ FBD = Z FAB，/ F =Z F, ABFB

13、DF ,/. AB BF = BD AFAF BF又 BD = CD , AB BF = CD AF .例7 O O以等腰三角形 ABC 一腰AB為直徑，它交另一腰 AC于E ,交BC于D .求證：BC=2DE4【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得/ B =Z C,由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得/B=Z DEC，所以/ C=Z DEC，所以DE = CD，連結(jié)AD，可得AD丄BC,利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)得BC=2CD，即 BC= 2DE .證明：連結(jié)AD / AB是O O直徑 AD丄BC/ AB = AC BC = 2CD，/ B = Z CVO O內(nèi)接四邊形ABDE/ B = Z DEC（四點(diǎn)共圓

14、的一個(gè)內(nèi)角等于對(duì)角的外角）/ C =Z DEC DE = DC BC = 2DE例8 O O內(nèi)兩弦AB, CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn) E,由E引AD的平行線與直線 BC交于 F，作切線FG, G為切點(diǎn)，求證：EF = FG .AB【分析】 由于FG切圓0于G,則有FG2= FB FC,因此，只要證明 FE2= FB FC成立即可.證明：在 BFE與厶EFC中有/ BEF =Z A=Z C,又 / BFE =Z EFC ,FE FC2 BFEEFC, FE2= FB FC.FB FE 又FG2= FB FC , FE2= FG2,： FE = FG .習(xí)題13一、選擇題1. 在厶 ABC 中，/

15、 A ：Z B ：Z C= 1 : 2 : 3, CD丄AB 于 D , AB = a,貝U DB =()aaa3aA.B.C.D.43242. 如圖，AD 是厶 ABC 高線，DE 丄AB 于 E, DF 丄 AC 于 F，則(1)AD2= BD CD(2)AD2= AE AB(3)AD2=AF AC(4)AD2= AC2 AC CF 中正確的有()A. 13.如圖,個(gè)B . 2個(gè)AB是O 0的直徑，C, D是半圓的三等分點(diǎn)，則/D. 4個(gè)C + Z E+Z D =(A. 135B. 110以等腰三角形的腰為直徑作圓，交底邊于O4.如圖,D . 120 D，連結(jié)AD，那么（）B .BAD +

16、Z CAD = 90/ BAD Z CADC. Z二、填空題BAD = Z CADZ BAD vZ CAD5. 在 Rt ABC 中，Z BAC = 90, AD 丄 BC 于 D, AB= 2, DB = 1 ,貝U DC =, AD =6. 在 Rt ABC 中，AD 為斜邊上的高， 0abc = 4Sabd，則 AB : BC=.D7. 如圖，AB是半圓0的直徑，點(diǎn) C在半圓上，CD丄AB于點(diǎn)D，且AD = 3DB , nr2則 tan2 2設(shè)/ COD =v& 如圖，AB是O 0的直徑，CB切O 0與B, CD切O 0與D，交BA的延長(zhǎng)線于ED = 2,貝U BC的長(zhǎng)為.E .若 AB

17、 = 3,B三、解答題9. 如圖，在梯形 ABCD中，AB / CD , O 0為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn),(I )求/ A0D的度數(shù)；(H )若 A0 = 8 cm, D0 = 6 cm,求 0E 的長(zhǎng).OA為半徑的10. 如圖，在 ABC中，/ C= 90, AD是/ BAC的平分線，0是AB上一點(diǎn), O0經(jīng)過點(diǎn)D .(1)求證：BC是O 0切線； 若BD = 5, DC = 3,求AC的長(zhǎng).11. 如圖，AB是O O的直徑，CD是O O的一條弦，且 CD丄AB于E，連結(jié) AC、OC、BC .求證：/ ACO = Z BCD ;若BE= 2, CD = 8,求AB和AC的長(zhǎng).專題十三相似三角形定理

18、與圓幕定理參考答案習(xí)題13、選擇題： 1. A 2. C 3. D 4. C二、填空題5. 3, .31i 6. 1 : 27.-8. 33三、解答題9. ( I )T AB / CD ,/ BAD +Z ADC = 180 . v O 內(nèi)切于梯形 ABCD ,1 AO 平分/ BAD，有/ DAO = - Z BAD ,21 又 DO 平分 Z ADC，有 Z ADO = - Z ADC.21Z DAO + Z ADO = - (Z BAD +Z ADC) = 90,：Z AOD = 180 (Z DAO + Z ADO) = 290.(n )在 RtA AOD 中，AO = 8cm, DO= 6cm,由勾股定理，得AO2 DO2 =10cm. E 為切點(diǎn)， OE丄AD .有Z AEO= 90,Z AEO = Z AOD . 又Z CAD 為公共角， AEOs AOD .OE AOAO