角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理

1、第五章 角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理本章結(jié)構(gòu)框圖學(xué)習(xí)指導(dǎo)本章概念和內(nèi)容是中學(xué)沒有接觸過的， 是大學(xué)物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。 許多 同學(xué)容易將平動(dòng)問題與轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的概念和規(guī)律混淆， 例如兩種沖擊擺問題。 建 議采用類比方法， 對質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、 動(dòng)量與角動(dòng)量、 力與力矩、 沖量與角沖量、 平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、 運(yùn)動(dòng)學(xué)的線量和角量、 動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理、 動(dòng)量守恒 和角動(dòng)量守恒一一加以比較。 本章的重點(diǎn)是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題， 注意定軸條 件下，各種規(guī)律都應(yīng)該用標(biāo)量式表示。 還請注意動(dòng)量守恒在天體問題、 粒子問題 中的應(yīng)用?；疽?. 理解質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量概念。2. 理解定軸剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念

2、，會進(jìn)行簡單計(jì)算。3. 理解力矩的物理意義 , 會進(jìn)行簡單計(jì)算。4. 掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，熟練進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。5. 理解角沖量（沖量矩）概念，掌握質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量定理， 熟練進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。6. 掌握角動(dòng)量守恒的條件，熟練應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律求解有關(guān)問題。內(nèi)容提要1. 基本概念剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：是描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。定義為剛體上每個(gè)質(zhì)元（質(zhì)點(diǎn)、線元、面元、體積元）的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距 離平方之積的總和。即：I 的大小與剛體總質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量： 角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩，它量度物體的轉(zhuǎn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)量，描述物體繞參考點(diǎn)（軸）

3、旋轉(zhuǎn)傾向的強(qiáng)弱。表 5.1 對質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定 軸剛體的角動(dòng)量進(jìn)行了比較。表 5.1 質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和定軸剛體的角動(dòng)量2力矩： 力的作用點(diǎn)對參考點(diǎn)的位矢與力的矢積叫做力對該參考點(diǎn)的力矩（圖5.1 ）：即：大?。?（力力臂）方向：垂直于 決定的平面， 其指向 由右手定則確定對于力矩的概念應(yīng)該注意明確以下問題：?區(qū)分力對參考點(diǎn)的力矩和力對定軸的力矩： 力對某軸的力矩是力對軸上任 意一點(diǎn)的力矩在該軸上的投影。例如：某力對 x、y、z 軸的力矩就是該力對原點(diǎn)的力矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影：由上可知：力對參考點(diǎn)的力矩是矢量，而力對定軸的力矩是代數(shù)量?明確質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩的矢量和恒為零 ：由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)， 作

4、用力和反 作用力等大、反向、在同一直線上，所以對任何參考點(diǎn)內(nèi)力矩的矢量和恒為零。 當(dāng)然，對任意軸，內(nèi)力矩的代數(shù)和也恒為零。?明確質(zhì)點(diǎn)系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩： 合外力矩為各外力對 同一參考點(diǎn)的力矩的矢量和，即：。由于一般情況下，各外力的作用點(diǎn)的位矢各不相同，所以不能先求合力 ，再求合力的力矩。但是存 在特例：在求重力矩時(shí)，可以把系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受重力平移到質(zhì)心C，先求出其合力 ，再由 得到重力的合力矩。由此還可以得到：作用于系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，合外力矩不一定為零（圖5.2 ）；系統(tǒng)的合外力矩為零時(shí)，其合外力也不一定為零（圖 5.3 ）。?明確有心力對其力心的力矩恒為零： 力的作用線始終

5、通過某定點(diǎn)的力稱為有心 力。該定點(diǎn)稱為力心。顯然，有心力對其力心的力臂為零。所以，有心力對其力 心的力矩恒為零。力矩的角沖量（沖量矩）： 見表 5.2表 5.2 力矩的角沖量2. 基本規(guī)律角動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的微分、積分形式如表 5.3 所示 請注意剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律不過是質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理在定軸方向上的分量式而已。表 5.3 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受對某參考點(diǎn)（軸）的合外力矩為零時(shí)，質(zhì) 點(diǎn)系對該參考點(diǎn)（軸）的總角動(dòng)量不隨時(shí)間變化（表 5.4 ）。角動(dòng)量守恒定律反 映了空間的旋轉(zhuǎn)對稱性（見第 7 章），是自然界普遍適用的基本定律之一，在生 活、技術(shù)及科

6、學(xué)研究中有非常廣泛的應(yīng)用。表 5.4 角動(dòng)量守恒定律重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 重點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定義。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理及應(yīng)用。角動(dòng)量守恒定律及應(yīng)用2. 難點(diǎn) 區(qū)別動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理。 區(qū)別動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律的條件，并能綜合運(yùn)用。 動(dòng)量及動(dòng)量定理、角動(dòng)量及角動(dòng)量定理是否與參考系的選擇有關(guān)。1. 動(dòng)量及動(dòng)量定理，角動(dòng)量與角動(dòng)量定理是否與參考系選擇有關(guān)？ 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 ，角動(dòng)量 ，由于 v 和 r 都是相對量，與參考系的 選擇有關(guān)，所以，動(dòng)量和角動(dòng)量應(yīng)與參考系的選擇有關(guān)。動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理只適用于慣性系，對于非慣性系，該兩定理不成立。2. 區(qū)別動(dòng)量定理

7、與角動(dòng)量定理 動(dòng)量定理表示質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量改變與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的合力的時(shí)間累積- 沖量相對應(yīng)；角動(dòng)量定理表示質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的改變與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系 所受的外力矩的矢量和的時(shí)間累積 - 角沖量相對應(yīng)。兩者是不同的概念。 例如： 有力作用下的質(zhì)點(diǎn)系（太陽地球系統(tǒng)），地球在太陽引力作用下，動(dòng)量不斷發(fā)生 變化，但角動(dòng)量卻始終不變， 因引力通過力心 （太陽），對力心的力矩始終為零。3. 動(dòng)量和角動(dòng)量守恒的條件 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的 動(dòng)量將保持不變。 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對某一參考點(diǎn)或參考軸的合外力矩為零時(shí)， 質(zhì)點(diǎn) 或質(zhì)點(diǎn)系對該參考點(diǎn)或參考軸的角動(dòng)量保持不變。 在實(shí)際問題中要認(rèn)真區(qū)

8、別兩個(gè) 守恒定律成立的條件。 許多情況下， 系統(tǒng)對某一參考點(diǎn)的力矩矢量和為零時(shí)， 系 統(tǒng)所受外力不一定為零。即系統(tǒng)角動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量不一定守恒。反之，系統(tǒng)所 受合外力為零時(shí)， 合外力矩不一定為零， 即系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)， 角動(dòng)量不一定是守 恒。（參看教材 P.91【例 2】）。對質(zhì)點(diǎn)系而言，內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，大小相等方向相反，作用在同一直線上，因 此，內(nèi)力的矢量和及內(nèi)力對某一參考點(diǎn)或參考軸的力矩的矢量和始終為零， 因此， 內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量。例1 水分子的形狀如圖 5-2所示。從光譜分析得知水分 子對 AA軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，對BB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是。試由此數(shù)據(jù)和各原子的質(zhì)量

9、求出氫和氧原子間的距離 d 和夾角 。假設(shè)各原子都可當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處理解：由圖可得此二式相加，可得二式相比，可得例2 一質(zhì)量 m = 2200kg 的汽車以 沿一平直公路開行。求汽車對公路一側(cè)距公路 d 大？對公路上任一點(diǎn)的角動(dòng)量又是多大？解： 如圖 5-3所示，汽車對公路一側(cè)距公路 d= 50m的一點(diǎn) P1的角動(dòng)量的大小 為汽車對公路上任一點(diǎn) P2 的角動(dòng)量的大小為7例 3 兩個(gè)質(zhì)量均為 m 的質(zhì)點(diǎn)，用一根長為 2a、質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕桿相聯(lián)， 構(gòu)成一個(gè)簡單的質(zhì)點(diǎn)組。如圖 5-4 所示，兩質(zhì)點(diǎn)繞固定軸 OZ以勻角速度 轉(zhuǎn) 動(dòng)，軸線通過桿的中點(diǎn) O 與桿的夾角為 ，求質(zhì)點(diǎn)組對 O 點(diǎn)的角動(dòng)量大小及方

10、向。解 : 設(shè)兩質(zhì)點(diǎn) A、B 在圖示的位置，它們對 O 點(diǎn)的角動(dòng)量的大小相等、方向相同 （與 OA 和 mv 組成的平面垂直）。角動(dòng)量的大小為例 4 如圖 5-5 所示，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪和， 半 徑分別為 R1、R2。對各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、 J2。輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，輪不轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)輪使兩輪緣互相接觸。 兩軸仍保持平行， 由 于摩擦，兩輪的轉(zhuǎn)速會變化。問轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定后，兩輪 的角速度各為多少？ 辨析 : 首先分析系統(tǒng)所受的外力， 再看這些外力對定軸的合外力矩是否為零， 如 果為零應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律，否則應(yīng)用角動(dòng)量定理。解： 輪、輪接觸時(shí)，輪受到重力 m1g，軸給輪的力 T1，以及摩擦力 f

11、1， 輪施加的正壓力 N1；軸受到重力 m2g，軸給輪的力 T2，以及摩擦力 f 2、輪 施加的正壓力 N2，以及外加力 F。f1和 f2 大小相等、方向相反，對輪和輪 組成的系統(tǒng)來說， f1和 f2 是一對內(nèi)力，它們的力矩和不會改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。 輪、輪系統(tǒng)受到的外力 T1、T2、m1g 和 m2g，它們對 O1軸或者 O2 軸的合外 力矩皆不為零，這個(gè)系統(tǒng)對 O1 或者 O2的角動(dòng)量都不守恒。所以應(yīng)對輪、輪 分別運(yùn)用角動(dòng)量定理。對輪，設(shè)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正向1）對輪，設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正負(fù)2）聯(lián)立（ 1）、（ 2）兩式可得轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，兩輪緣的線速度相等，即3）4）聯(lián)立（ 3）、（ 4）解得例5 唱

12、機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作 用隨轉(zhuǎn)盤移動(dòng)。設(shè)唱片可以看成是半徑為 R 的圓盤，唱片質(zhì)量為 m，唱片與轉(zhuǎn)盤 之間摩擦系數(shù)為 ，求唱片剛放上去時(shí)受到的摩擦力矩 Mf 和唱片由放上去到具 有角速度 所需的時(shí)間 t 1。解： 唱片之所以轉(zhuǎn)動(dòng)是因受到轉(zhuǎn)盤施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是 唱片的動(dòng)力矩。在唱片上選為半徑為r ，寬度為 dr 的圓環(huán)，如圖5-6 所示。它受的動(dòng)力矩為上式中， 是唱片的密度整塊唱片受的摩擦力矩為視唱片為剛體，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 分離變量有例6 如圖 5-7 所示，兩物體質(zhì)量分別為 可視作均勻圓盤 兩段繩子中的張力各是多少？ 摩擦力忽略不計(jì)。解：

13、對 m1 ，由牛頓第二定律m1和 m2，定滑輪的質(zhì)量為 m，半徑為 r ，已知 m2 與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求 m1 下落的加速度和設(shè)繩子和滑輪間無相對滑動(dòng)，滑動(dòng)軸受的對 m2 ，由牛頓第二定律對滑輪，用轉(zhuǎn)動(dòng)定律又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，設(shè)繩在滑輪上不打滑聯(lián)立解以上諸方程，可得10R1和 R2，質(zhì)量分別為 M1 和 M2。二 可以繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。 今 m1和 m2的兩個(gè)物體。求在重力作用例7 如圖 5-8所示。兩個(gè)圓輪的半徑分別為 者都可視為均勻圓柱體而且同軸固結(jié)在一起， 在兩輪上各繞以細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量是 下， m2下落時(shí)輪的角加速度。解： 如圖示，由牛頓第二定律 對 m1 ： 對 m

14、2 ：對整個(gè)輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立解以上諸式，即可得例8 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為 R 和 r ，質(zhì)量分別為 M 和 m，繞在兩柱體上的細(xì)繩 分別與物體 m1 和物體 m2 相連，m1 和 m2 分別掛在圓柱體的兩側(cè)， 如圖 5-9（a） 所示。設(shè) R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且開始時(shí) m1、m2離地均為 h = 2m，求：m1 著地后柱體圖 5-9(a)（1）柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）兩側(cè)細(xì)繩的張力；（3）m1 經(jīng)多長時(shí)間著地？（4）設(shè) m1 與地面

15、作完全非彈性碰撞， 的轉(zhuǎn)速如何變化？11解： 設(shè) a1、a2 分別為 m1、m2的加速度， 為柱體角加速度，方向如圖 5-9（b）所示。（1）m1、m2的平動(dòng)方程和柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程如下：式中：聯(lián)立（ 1）、（ 2）、（ 3）式，解得角加速度為代入數(shù)據(jù)后得2） 由（1） 式得 由（2） 式得3）設(shè) m1 著地時(shí)間為 t ，則（ 4）m1 著地后靜止，這一側(cè)繩子松開。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，因只受另一側(cè)繩子拉力 的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小， m2 減速上升。m1、m2選做一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)受討論 : 如果只求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，可將柱體、 的合外力矩 ，則加速度12本題第二問還要求兩側(cè)細(xì)繩的張力， 故采用本解法是必

16、要的， 即分別討論柱體的 轉(zhuǎn)動(dòng)、 m1和 m2 的平動(dòng)。例9 一輕繩繞過一質(zhì)量可以不計(jì)且軸光滑的滑輪，質(zhì)量皆為 m 的甲、乙二人分 別抓住繩的兩端從同一高度靜止開始加速上爬，如圖 5-10 所示。（1）二人是否同時(shí)達(dá)到頂點(diǎn)？以甲、乙二人為系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒？機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)對滑輪軸的角動(dòng)量是否守恒？ （2）當(dāng)甲相對繩的運(yùn)動(dòng)速度 u 是乙相對繩的速度 2 倍時(shí)，甲、乙二人的速度各 是多少？解： （ 1）甲、乙二人受力情況相同，皆受繩的張力 T，重力 mg，二人的運(yùn)動(dòng)相 同，因?yàn)樗远说募铀俣认嗤说乃俣葹橐虺跛俣?v0 = 0，二人在任一時(shí)刻的速度相同，上升的高度相同，所

17、以同時(shí)到達(dá) 頂點(diǎn)。以二人為系統(tǒng)， 因二人是加速上升， 所受合外力 2（T-mg） 0，故系統(tǒng)的動(dòng)量不守 恒。以人和地球?yàn)橄到y(tǒng)，張力 T 對系統(tǒng)做功，因而系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。顯然人 在上升中機(jī)械能在樣加。但甲、乙二人相對滑輪軸的合外力矩 的角動(dòng)量守恒。M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系統(tǒng)對軸（2）設(shè)甲的速度、乙的速度為，從解（1）知二人的速度相等， 即，這個(gè)結(jié)果也可用角動(dòng)量守恒得到，因故設(shè)繩子的牽連速度為 v0，設(shè)滑輪左側(cè)繩子的 v0 向下，那么滑輪右側(cè)的 v0一定向 上，根據(jù)速度合成定理13所以則討論: 由于人用力上爬時(shí)，人對繩子的拉力可能改變，因此繩對人的拉力也可能 改變，

18、但甲、乙二人受力情況總是相同，因此同一時(shí)刻甲、乙二人的加速度和速 度皆相同，二人總是同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。例 10 哈雷慧星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽最近的距離是，此時(shí)它的速率是 。它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是 ，這時(shí)它離太陽的距離 r 2 是多少？ 解：慧星運(yùn)行受的引力指向太陽， 所以它對太陽的角動(dòng)量守恒， 它在走過離太陽 最近或最遠(yuǎn)的地點(diǎn)時(shí)， 速度的方向均與對太陽的徑矢方向垂直， 所以角動(dòng)量守恒 給出由此得例 11 太陽的熱核燃料耗盡時(shí)，它將急速塌縮成半徑等于地球半徑的一顆白矮 星。如果不計(jì)算質(zhì)量散失， 那時(shí)太陽的轉(zhuǎn)動(dòng)周期將變?yōu)槎嗌?？太陽和白矮星均?均勻球體計(jì)算，目前太陽的自轉(zhuǎn)周期按 26d

19、 計(jì)。解：由太陽的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量守恒可得14= 3.1(min)例 12 一質(zhì)量為 M，半徑為 R，并以角速度 旋轉(zhuǎn)著的飛輪，某瞬時(shí)有一質(zhì)量為 m 的碎片從飛輪飛出。 假設(shè)碎片脫離圓盤時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上， 如圖 5-11 所示。求余下圓盤的角速度、角動(dòng)量。解：破裂瞬間，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒余下圓盤角速度不變 余下圓盤的角動(dòng)量例 13 赤道上有一高樓，樓高 h（圖 5-12 ）。由于地球自轉(zhuǎn)，樓頂 和樓根對地心參考系都有線速度。1）證明：樓頂和樓根的線速度之差為，其中 為地球自轉(zhuǎn)角速度 （2）證明：一物體由樓頂自由下落時(shí)，由于地球自轉(zhuǎn)的影響，著地點(diǎn)將在樓根 東側(cè)約 處。

20、這就是落體偏東現(xiàn)象。計(jì)算 h = 30 m 時(shí)，著地點(diǎn)偏東的 距離。（此結(jié)果利用了物體下落時(shí)“水平”速度不變這一近似處理。 實(shí)際上物體 下落時(shí)應(yīng)該是地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。 利用這一點(diǎn)， 并取樓高對地球半 徑之比的一級近似，則可得更有為準(zhǔn)確的結(jié)果 。）15證：1）樓頂?shù)木€速度為樓根的線速度為。 二者之差2）將樓所在處的地面局部視為向東以速度平移，則落體下落時(shí)間為而著地時(shí)偏東的距離為代入上式可得 例 14 地球的自轉(zhuǎn)軸與它繞太陽的軌道平面的垂線間的夾角是 23.5o（圖 5-13 ） 由于太陽和月亮對地球的引力產(chǎn)生力矩，地球的自轉(zhuǎn)軸繞軌道平面的垂線旋進(jìn)， 旋進(jìn)一周需時(shí)間約 26000a。已

21、知地球繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。求地球自旋角動(dòng)量矢量變化率的大小，即 ，并求太 陽和月亮對地球的合力矩多大？解：太陽和月亮對地球的合力矩的大小為16a）地球、環(huán)管與小球系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒例 15 一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓環(huán)型細(xì)管， 正繞豎直光滑固定軸 OO自由轉(zhuǎn)動(dòng)。 管是剛 性的，環(huán)半徑為 R 。一質(zhì)量為 m的小球靜止于管內(nèi)最高點(diǎn) A處，如圖 5-14所示。 由于微小擾動(dòng)， 小球向下滑動(dòng)， 試判決小球在管內(nèi)下滑過程中， 下列三種說法是 否正確，并說明理由。c）小球?qū)?OO軸的角動(dòng)量守恒。b）小球的動(dòng)量不守恒辨析（a）不正確。對小球、環(huán)管、地球系統(tǒng)，外力為零，外力的功當(dāng)然為零，環(huán)管 與小球間的正壓力 N 和

22、 N 是一對非保守內(nèi)力。在小球下滑過程中，小球受管 壁的壓力 N（與管壁垂直） 始終與小球相對管壁的速度方向 （與管壁相切） 垂直， 所以這一對內(nèi)力做功之和為零， 而且與參考系的選擇無關(guān)。 系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力 （重力）做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。（b）正確。小球在下滑過程中始終受到管壁的壓力和重力，而此二力的方向不 同，所以合力不為零，使得小球的動(dòng)量不斷變化。（ c）不正確。小球在下滑過程中受重力和管壁的壓力，重力和OO軸平行，重力的軸向力矩恒為零， 但管壁對小球的壓力方向不通過 OO軸，對 OO軸有力矩， 所以小球?qū)?OO的角動(dòng)量在變化，角動(dòng)量不守恒。例如小球在位置A 對 OO軸的角動(dòng)量為零，在

23、 B 處小球有垂直于環(huán)半徑的水平分速度，它對 OO軸的角動(dòng) 量不再是零，到達(dá)最低點(diǎn) C 時(shí)，對 OO軸的角動(dòng)量又等于零。運(yùn)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題轉(zhuǎn)動(dòng)定律描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的瞬時(shí)關(guān)系， 常常用來求解角加速度， 一般步驟為：1） 隔離物體： 即明確研究對象。2） 具體分析： 分析所選定的定軸剛體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，畫出受 力圖。3）選定坐標(biāo)： 在慣性系中建立一維坐標(biāo)，即在轉(zhuǎn)軸上選擇正方向。174）建 立 方 程 ： 用 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 列 出 定 軸 剛 體 的 運(yùn) 動(dòng) 微 分 方 程5）要特別注意方程中的力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對同一軸而言。還要注意 此方程是標(biāo)量式， 式中各量均為代數(shù)量， 與所選正方向同向的力矩和角 速度為正，反之為負(fù)。6）求解討論： 求解方程，理解和討論結(jié)果的物理意義。請注意常常與轉(zhuǎn)動(dòng)定律相聯(lián)系的綜合性問題：與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題相聯(lián)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)相聯(lián)系（例如滑輪兩邊懸掛物體）。處理 方法仍然是隔離法， 對定軸剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程， 對平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)用牛頓 第二定律列方程，二者之間用角量與線量的關(guān)系聯(lián)系起來， 求解方程組。運(yùn)用角動(dòng)量定理或角動(dòng)量守恒定律解題因?yàn)閷ΧㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體， 其總動(dòng)量往往并無實(shí)際意義 （例如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪的 總動(dòng)量為零） ，所以只能用角動(dòng)量對其整體機(jī)械運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行量度。 在力