3.3排序不等式

1、排序不等式排序不等式三三 ? ,? ,: ., ,. ,. , ,., , , ,. , 小小個(gè)個(gè)三三角角形形的的面面積積之之和和最最使使得得到到的的 才才能能如如何何一一一一搭搭配配個(gè)個(gè)三三角角形形面面積積之之和和最最大大得得到到的的 才才能能使使邊邊上上的的點(diǎn)點(diǎn)如如何何一一一一搭搭配配邊邊上上的的點(diǎn)點(diǎn)與與問問 不不同同因因而而三三角角形形面面積積也也可可能能不不同同得得到到的的不不同同 搭搭配配的的方方法法顯顯然然個(gè)個(gè)三三角角形形得得到到 一一共共可可以以這這樣樣一一一一搭搭配配 得得到到連連結(jié)結(jié)某某個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) 與與選選取取某某個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) 邊邊也也依依次次取取點(diǎn)點(diǎn)沿沿 個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)邊邊依依次次取取

2、沿沿自自點(diǎn)點(diǎn) 設(shè)設(shè)如如圖圖探探究究 n n oboa oba n oba njbj niab bboba aanoao aob ji ji in n 21 21 133 21 21 1 b 2 b o 1 a 2 a i a n a j b n b a b 133 .圖圖 ., ,., nn jjii bbbbaaaa njibobaoa 321321 21 得得 由已知條件由已知條件設(shè)設(shè) : , sin,sin 代數(shù)問題代數(shù)問題 歸結(jié)為下面的歸結(jié)為下面的上面的幾何問題就可以上面的幾何問題就可以于是于是數(shù)數(shù) 是常是常而而的面積是的面積是因?yàn)橐驗(yàn)?2 1 2 1 jiji baoba ? , 何

3、時(shí)取得最大值何時(shí)取得最大值 個(gè)乘積的和個(gè)乘積的和問以下的問以下的 的任何一個(gè)排列的任何一個(gè)排列是數(shù)組是數(shù)組 nn nn cacacas n bbbccc 2211 2121 . :, . , , , , 21 3322112 1 231211 21 21 sss babababas ba bababas bbb aaas nn n nnn n n 下下面面的的不不等等式式應(yīng)應(yīng)該該成成立立幾幾何何直直覺覺告告訴訴我我們們 作作同同樣樣的的定定義義我我們們對對一一般般的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)組組也也 稱稱為為和和 的的按按相相同同順順序序相相乘乘所所得得積積稱稱為為 所所得得積積的的和和 其其中中按按相相反反

4、順順序序相相乘乘的的 和和叫叫做做數(shù)數(shù)組組我我們們把把上上面面的的和和 亂亂序序和和 反反序序和和 順順序序 .順順序序和和亂亂序序和和即即反反序序和和 和和 ., , , 反反序序和和是是否否最最小小最最大大 看看看看順順序序和和是是否否試試試試和和例例如如數(shù)數(shù) 不不妨妨用用兩兩組組為為初初步步檢檢驗(yàn)驗(yàn)上上面面的的直直覺覺探探究究 654321 . , 明明下下面面我我們們進(jìn)進(jìn)行行一一般般性性證證直直覺覺一一定定正正確確 但但這這還還不不能能完完全全說說明明致致檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的結(jié)結(jié)果果會會與與直直覺覺一一 . , ! ,!, , , 最大值和最小值 其中必有個(gè)數(shù)個(gè)的不同的值也只有有限 所以個(gè)的全

5、排列只有 因?yàn)榈娜我慌帕惺菙?shù) 為兩組設(shè)證明 n cacacas nb bbbbbccc bbbaaa nn n nn nn 2211 212121 2121 ., kk cckbcbc 1111 1則有某若式考慮 nnkk k cacacas cc 11 1 ,得對換中將 . 0 11 1111 kk kkkk ccaa cacacacass得 .,和式不減小后中的第一項(xiàng)調(diào)換為這說明將 11b a .,并進(jìn)行類似討論則轉(zhuǎn)而考察若 211 cbc ., , 和式不減小后項(xiàng)換為 第二中的第一項(xiàng)換為將可以證明類似地 22 11 ba ba ., , 2 ss ci 即最大和數(shù)是順序和排序的情況 由小

6、到大能是數(shù)組大和數(shù)所對應(yīng)的情況只 最可知一切和中經(jīng)有限步調(diào)整如此繼續(xù)下去 ., 11 ss 即最小和數(shù)是反序和同樣可證 . . 是正確的 面的直覺至此我們已經(jīng)證明了前因此 21 sss ? ,? 么什么條件下兩者相等么什么條件下兩者相等 那那如果能如果能能相等嗎能相等嗎與反序和與反序和順序和順序和思考思考 12 ss ., , 21 2121 sss bbbaaa nn 即順序和等于反序和時(shí) 或當(dāng)容易發(fā)現(xiàn) , , .,),( , , jkilljki kklljjii klji nn babababa babababass bbaanklk lnjiji bbbaaa 2 2121 1 1 考

7、慮和數(shù)的方法 用類似上面證明使得 和則一定可以找到也不全相等 并且不全相等如果事實(shí)上 , jkilkjli kklljjii babababa babababass 2 ., , ssbbaass s lkij 即 而且的形式這兩個(gè)和數(shù)都符合前面可以看出 0 . 21 ssss 進(jìn)而得 得得歸結(jié)上面證明的結(jié)論歸結(jié)上面證明的結(jié)論, . , . , , , 序序和和等等于于順順序序和和 反反時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 那那么么的的任任一一排排列列是是 為為兩兩組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 又又稱稱排排序序原原理理排排序序不不等等式式 定定理理 nn nn nnnnn nn nn bbbaaa bababa ca

8、cacabababa bbbcc cbbbaaa inequalitysequence 2121 2211 22111121 212 12121 . , , 式的應(yīng)用式的應(yīng)用下面舉例說明排序不等下面舉例說明排序不等不等式得到證明不等式得到證明 助排序助排序許多重要不等式可以借許多重要不等式可以借便于記憶和使用便于記憶和使用明了明了 它的思想簡單它的思想簡單重要的不等式重要的不等式排序不等式也是基本而排序不等式也是基本而 ? ?, ,. , , 總總時(shí)時(shí)間間等等于于多多少少 這這個(gè)個(gè)最最少少的的少少使使他他們們等等候候的的總總時(shí)時(shí)間間最最人人的的順順序序 個(gè)個(gè)應(yīng)應(yīng)如如何何安安排排問問只只有有一一

9、個(gè)個(gè)水水龍龍頭頭時(shí)時(shí)各各不不相相同同 假假定定這這些些分分鐘鐘個(gè)個(gè)人人的的水水桶桶需需要要第第 設(shè)設(shè)水水龍龍頭頭注注滿滿人人各各拿拿一一只只水水桶桶去去接接水水有有例例 10 1021 101 i i t tii ; ,. , 分分人所需等候的總時(shí)間是人所需等候的總時(shí)間是 接這桶水時(shí)接這桶水時(shí)分分若第一個(gè)接水的人需若第一個(gè)接水的人需為數(shù)學(xué)問題為數(shù)學(xué)問題 即轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化需要將它數(shù)學(xué)化需要將它數(shù)學(xué)化這是一個(gè)實(shí)際問題這是一個(gè)實(shí)際問題分析分析 1 1 1010t t 第二個(gè)接水的人第二個(gè)接水的人 ;,分分人人所所需需等等候候的的總總時(shí)時(shí)間間是是接接這這桶桶水水時(shí)時(shí)分分需需 22 99tt . , 分分需

10、需要要 只只有有他他一一人人在在等等人人接接水水時(shí)時(shí)到到第第如如此此繼繼續(xù)續(xù)下下去去 10 10 t人人都都接接滿滿水水所所需需的的按按這這個(gè)個(gè)順順序序所所以以10, . 1021 910ttt 是是分分等等待待總總時(shí)時(shí)間間 ., , 最最小小滿滿足足什什么么條條件件這這個(gè)個(gè)和和數(shù)數(shù) 現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮學(xué)學(xué)模模型型這這個(gè)個(gè)和和數(shù)數(shù)就就是是問問題題的的數(shù)數(shù) 102 1 tt t . 1021 910ttt 是分等待總時(shí)間解 . , 時(shí)間取最小值 總時(shí)當(dāng)根據(jù)排序不等式 1021 ttt , , 人等候的總時(shí)間最少 依次接水按水桶的大小由小到大這就是說 10這個(gè)最少時(shí)間是 . 1021 910ttt

11、. 1021 ttt 其中 . , 22 3 2 2 1 21 32 1 3 1 2 1 1 2 n aaa a n naaa n n 求證求證 個(gè)互不相同的正整數(shù)個(gè)互不相同的正整數(shù)是是設(shè)設(shè)例例 . ., , , , 證明的思路證明的思路 不等式不等式由此可以聯(lián)想到用排序由此可以聯(lián)想到用排序 對應(yīng)另一列數(shù)是對應(yīng)另一列數(shù)是可以猜想到與可以猜想到與子子 觀察問題中的式觀察問題中的式排序排序此它們可以從小到大地此它們可以從小到大地 因因個(gè)互不相同的正整數(shù)個(gè)互不相同的正整數(shù)是是分析分析 222 21 21 1 3 1 2 1 1 n aaa naaa n n . , n nn bbb aaabbb 21